Марковское число

Число Маркова или число Маркова — это целое положительное число x , y или z , которое является частью решения диофантового уравнения Маркова.

x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,

изучал Андрей Марков ( 1879 , 1880 ).

Первые несколько чисел Маркова

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (последовательность A002559 в OEIS )

появляются как координаты троек Маркова

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325), ...

Существует бесконечно много марковских чисел и марковских троек.

Дерево Маркова

Есть два простых способа получить новую тройку Маркова из старой ( x , y , z ). Во-первых, можно переставить местами три числа x , y , z , так что, в частности, можно нормализовать тройки так, чтобы x ≤ y ≤ z . Во-вторых, если ( x , y , z ) является марковской тройкой, то и ( x , y , 3 xy − z ) тоже. Применение этой операции дважды возвращает ту же самую тройную операцию, с которой она началась. Присоединение каждой нормализованной тройки Маркова к 1, 2 или 3 нормализованным тройкам, которые можно получить из этого, дает граф, начинающийся с (1,1,1), как показано на диаграмме. Этот граф связен ; другими словами, каждую марковскую тройку можно соединить с (1,1,1) последовательностью этих операций. ^{[ 1 ]} Если начать, например, с (1, 5, 13), мы получим трех его соседей (5, 13, 194) , (1, 13, 34) и (1, 2, 5) в дереве Маркова, если z установлено на 1, 5 и 13 соответственно. Например, начиная с (1, 1, 2) и меняя y и z перед каждой итерацией преобразования, вы получаете тройки Маркова с числами Фибоначчи . Начиная с той же тройки и меняя x и z перед каждой итерацией, получаем тройки с числами Пелла .

Все числа Маркова в областях, прилегающих к области 2, являются нечетным числами Пела с индексом (или числами n такими, что 2 n ² − 1 — квадрат , OEIS : A001653 ), а все числа Маркова в областях, прилегающих к области 1, являются числами Фибоначчи с нечетным индексом ( OEIS : A001519 ). Таким образом, существует бесконечно много марковских троек вида

(1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,

где Fk _— число k- е Фибоначчи . Аналогично существует бесконечно много марковских троек вида

(2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,

где Pk _– е k- Пелля число . ^{[ 2 ]}

Другие объекты недвижимости

За исключением двух наименьших сингулярных троек (1, 1, 1) и (1, 1, 2), каждая марковская тройка состоит из трех различных целых чисел. ^{[ 3 ]}

Гипотеза единственности , как заметил Фробениус в 1913 году, ^{[ 4 ]} утверждает, что для данного марковского числа c существует ровно одно нормализованное решение, имеющее c как самый большой элемент: были заявлены доказательства этой гипотезы , но ни одно из них не кажется правильным. ^{[ 5 ]} Мартин Айгнер ^{[ 6 ]} исследует несколько более слабых вариантов гипотезы единственности. Его гипотеза о фиксированном числителе была доказана Рабидо и Шиффлером в 2020 году. ^{[ 7 ]} в то время как гипотеза о фиксированном знаменателе и гипотеза о фиксированной сумме были доказаны Ли, Ли, Рабидо и Шиффлером в 2023 году. ^{[ 8 ]}

Нечетные числа Маркова на 1 больше, чем кратные 4, а четные числа Маркова на 2 больше, чем кратные 32. ^{[ 9 ]}

В своей статье 1982 года Дон Загер предположил, что n -е марковское число асимптотически определяется выражением

m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{with }}C=2.3523414972\ldots \,.

Ошибка $(\log(3m_{n})/C)^{2}-n$ изображено ниже.

Ошибка аппроксимации больших чисел Маркова.

Более того, он отметил, что $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9$ , аппроксимация исходного диофантова уравнения, эквивалентна $f(x)+f(y)=f(z)$ где f ( t ) = аркош (3 t /2). ^{[ 10 ]} Гипотеза была доказана ^{[ оспаривается – обсуждаем ]} Грегом МакШейном и Игорем Ривином в 1995 году с использованием методов гиперболической геометрии . ^{[ 11 ]}

число n -е Лагранжа можно вычислить по n- му числу Маркова по формуле

L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,

Числа Маркова представляют собой суммы (неединственных) пар квадратов.

Теорема Маркова

Марков ( 1879 , 1880 ) показал, что если

f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}

- неопределенная двоичная квадратичная форма с действительными коэффициентами и дискриминантом $D=b^{2}-4ac$ , то существуют целые числа x , y, для которых f принимает ненулевое значение по абсолютной величине не более

{\frac {\sqrt {D}}{3}}

если только f не является марковской формой : ^{[ 12 ]} константа, умноженная на форму

px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}

такой, что

{\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}

где ( p , q , r ) — марковская тройка.

Матрицы

Обозначим через tr функцию следа над матрицами . Если X и Y находятся в SL ₂ ( $\mathbb {C}$ ), затем

\operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}

так что если ${\textstyle \operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})=-2}$ затем

\operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}

В частности, если X и Y также имеют целочисленные элементы, то tr( X )/3, tr( Y )/3 и tr( XY )/3 являются марковской тройкой. Если X ⋅ Y ⋅ Z = I , то tr( XtY ) = tr( Z ), поэтому более симметрично, если X , Y и Z находятся в SL ₂ ( $\mathbb {Z}$ ) с X ⋅ Y ⋅ Z = I и коммутатор двух из них имеет след −2, то их следы/3 являются марковской тройкой. ^{[ 13 ]}

См. также

Марковский спектр

Примечания

^ Кассельс (1957) стр.28
^ OEIS : A030452 перечисляет числа Маркова, которые появляются в решениях, где один из двух других членов равен 5.
^ Кассельс (1957) стр.27
^ Фробениус, Г. (1913). «О числах Маркова». С.Б. Прейсс Академическая наука : 458-487.
^ Гай (2004) стр.263
^ Айгнер, Мартин (29 июля 2013 г.). Теорема Маркова и 100 лет гипотезы единственности: математическое путешествие от иррациональных чисел к идеальным соответствиям . Чам Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-319-00887-5 .
^ Рабидо, Мишель; Шиффлер, Ральф (2020). «Цепные дроби и порядки чисел Маркова». Достижения в математике . 370 : 107231. arXiv : 1801.07155 . дои : 10.1016/j.aim.2020.107231 .
^ Ли, Кёнён; Ли, Ли; Рабидо, Мишель; Шиффлер, Ральф (2023). «О порядке чисел Маркова» . Достижения прикладной математики . 143 : 102453. doi : 10.1016/j.aam.2022.102453 .
^ Чжан, Ин (2007). «Сравнение и единственность некоторых чисел Маркова» . Акта Арифметика . 128 (3): 295–301. arXiv : математика/0612620 . Бибкод : 2007AcAri.128..295Z . дои : 10.4064/aa128-3-7 . МР 2313995 . S2CID 9615526 .
^ Загер, Дон Б. (1982). «О количестве чисел Маркова ниже заданной границы» . Математика вычислений . 160 (160): 709–723. дои : 10.2307/2007348 . JSTOR 2007348 . МР 0669663 .
^ Грег МакШейн; Игорь Ривин (1995). «Простые кривые на гиперболических торах». Доклады Академии наук, серия I. 320 (12).
^ Кассельс (1957) стр.39
^ Айгнер, Мартин (2013), «Дерево Кона», теорема Маркова и 100 лет гипотезы единственности , Springer, стр. 63–77, doi : 10.1007/978-3-319-00888-2_4 , ISBN 978-3-319-00887-5 , МР 3098784 .

Ссылки

Айгнер, Мартин (29 июля 2013 г.). Теорема Маркова и 100 лет гипотезы единственности . Чам Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-319-00887-5 .
Кассельс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 45. Издательство Кембриджского университета . Збл 0077.04801 .
Кьюсик, Томас; Флахайв, Мэри (1989). Спектры Маркова и Лагранжа . Математика. Обзоры и монографии. Том. 30. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1531-8 . Збл 0685.10023 .
Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Спрингер-Верлаг . стр. 263–265. ISBN 0-387-20860-7 . Збл 1058.11001 .
Малышев, А.В. (2001) [1994], «Проблема Марковского спектра» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Марков А. «О неопределенных бинарных квадратичных формах». Математический Аннален . Шпрингер Берлин/Гейдельберг. ISSN 0025-5831 .

Марков, А. (1879). «Первые воспоминания» . Математические летописи . 15 (3–4): 381–406. дои : 10.1007/BF02086269 . S2CID 179177894 .

Марков, А. (1880). «Вторые мемуары» . Математические летописи . 17 (3): 379–399. дои : 10.1007/BF01446234 . S2CID 121616054 .

[1] Кассельс (1957) стр.28

[2] OEIS : A030452 перечисляет числа Маркова, которые появляются в решениях, где один из двух других членов равен 5.

[3] Кассельс (1957) стр.27

[Frobenius_1913-4] Фробениус, Г. (1913). «О числах Маркова». С.Б. Прейсс Академическая наука : 458-487.

[5] Гай (2004) стр.263

[Aigner_2013_p.-6] Айгнер, Мартин (29 июля 2013 г.). Теорема Маркова и 100 лет гипотезы единственности: математическое путешествие от иррациональных чисел к идеальным соответствиям . Чам Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-319-00887-5 .

[Rabideau_Schiffler_2020-7] Рабидо, Мишель; Шиффлер, Ральф (2020). «Цепные дроби и порядки чисел Маркова». Достижения в математике . 370 : 107231. arXiv : 1801.07155 . дои : 10.1016/j.aim.2020.107231 .

[Lee_Li_Rabideau_Schiffler_2023-8] Ли, Кёнён; Ли, Ли; Рабидо, Мишель; Шиффлер, Ральф (2023). «О порядке чисел Маркова» . Достижения прикладной математики . 143 : 102453. doi : 10.1016/j.aam.2022.102453 .

[9] Чжан, Ин (2007). «Сравнение и единственность некоторых чисел Маркова» . Акта Арифметика . 128 (3): 295–301. arXiv : математика/0612620 . Бибкод : 2007AcAri.128..295Z . дои : 10.4064/aa128-3-7 . МР 2313995 . S2CID 9615526 .

[10] Загер, Дон Б. (1982). «О количестве чисел Маркова ниже заданной границы» . Математика вычислений . 160 (160): 709–723. дои : 10.2307/2007348 . JSTOR 2007348 . МР 0669663 .

[11] Грег МакШейн; Игорь Ривин (1995). «Простые кривые на гиперболических торах». Доклады Академии наук, серия I. 320 (12).

[12] Кассельс (1957) стр.39

[13] Айгнер, Мартин (2013), «Дерево Кона», теорема Маркова и 100 лет гипотезы единственности , Springer, стр. 63–77, doi : 10.1007/978-3-319-00888-2_4 , ISBN 978-3-319-00887-5 , МР 3098784 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]