Марковский спектр

В математике марковский спектр , придуманный Андреем Марковым , представляет собой сложный набор действительных чисел, возникающий в диофантовых уравнениях Маркова , а также в теории диофантовых приближений .

Характеристика квадратичной формы

Рассмотрим квадратичную форму, заданную выражением f ( x , y ) = ax ² + bxy + cy ² и предположим, что его дискриминант фиксирован, скажем, равен −1/4. Другими словами, б ² − 4 и = 1.

Можно запросить минимальное значение, достигаемое $\left\vert f(x,y)\right\vert$ когда он оценивается на ненулевых векторах сетки $\mathbb {Z} ^{2}$ , а если этого минимума не существует, то для инфимума .

Марковский спектр M — это набор, полученный повторением этого поиска с различными квадратичными формами с фиксированным дискриминантом, равным −1/4: $M=\left\{\left(\inf _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}|f(x,y)|\right)^{-1}:f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}$

Спектр Лагранжа

Начиная с теоремы Гурвица о диофантовом приближении, что любое действительное число $\xi$ последовательность рациональных аппроксимаций m / n имеет стремящуюся к ней с

\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}},

можно задать вопрос для каждого значения 1/ c при 1/ c ≥ √ 5 о существовании некоторого $\xi$ для чего

\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}

для такой последовательности, для которой c является наилучшим возможным (максимальным) значением. Такие 1/ c составляют спектр Лагранжа L , набор действительных чисел не менее √ 5 (что является наименьшим значением спектра). Формулировка с обратным выражением неудобна, но традиционное определение допускает ее; вместо этого просмотр множества c позволяет дать определение посредством нижнего предела . Для этого рассмотрим

\liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,

где m выбирается как целочисленная функция от n, чтобы разница была минимальной. Это функция $\xi$ , а обратной величиной спектра Лагранжа является диапазон значений, которые он принимает для иррациональных чисел.

Связь с марковским спектром

Начальная часть спектра Лагранжа, а именно часть, лежащая в интервале $[\sqrt 5, 3)$ , равна марковскому спектру. Первые несколько значений: √ 5 , √ 8 , √ 221/5 , √ 1517/13 ,... ^[1] а n -е число этой последовательности (т. е. n- е число Лагранжа ) можно вычислить из n- го числа Маркова по формуле $L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.$ Константа Фреймана — это название конца последней дыры в спектре Лагранжа, а именно:

F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots

(последовательность A118472 в OEIS ).

Действительные числа, большие, чем F, также являются членами марковского спектра. ^[2] Более того, можно доказать, что строго содержится в M. L ^[3]

Геометрия спектра Маркова и Лагранжа

С одной стороны, начальные части спектра Маркова и Лагранжа, лежащие в интервале [ √ 5 , 3), равны и представляют собой дискретное множество. С другой стороны, конечная часть этих множеств, лежащая после константы Фреймана, также равна, но представляет собой непрерывное множество. Геометрия части между начальной и конечной частями имеет фрактальную структуру и может рассматриваться как геометрический переход между дискретной начальной частью и непрерывной конечной частью. Именно это утверждается в следующей теореме: ^[4]

Теорема — Дано $t\in \mathbb {R}$ , Хаусдорфа размерность $L\cap (-\infty ,t)$ равна хаусдорфовой размерности $M\cap (-\infty ,t)$ . Более того, если d — функция, определенная как $d(t):=\dim _{H}(M\cap (-\infty ,t))$ , где dim _H обозначает размерность Хаусдорфа, то d непрерывен и отображает R на [0,1].

См. также

Марковское число

Ссылки

^ Кассельс (1957) стр.18
^ Константа Фреймана Вайсштейн, Эрик В. «Константа Фреймана». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram), по состоянию на 26 августа 2008 г.
^ Кьюсик, Томас; Флахайв, Мэри (1989). «Сравнение спектров Маркова и Лагранжа». Спектры Маркова и Лагранжа . Математические обзоры и монографии. Том. 30. С. 35–45. дои : 10.1090/surv/030/03 . ISBN 9780821815311 .
^ Морейра, Карлос Густаво Т. Де А. (июль 2018 г.). «Геометрические свойства спектров Маркова и Лагранжа». Анналы математики . 188 (1): 145–170. arXiv : 1612.05782 . дои : 10.4007/анналы.2018.188.1.3 . ISSN 0003-486X . JSTOR 10.4007/анналы.2018.188.1.3 . S2CID 15513612 .

Дальнейшее чтение

Айгнер, Мартин (2013). Теорема Маркова и 100 лет гипотезы единственности: математическое путешествие от иррациональных чисел к идеальным паросочетаниям . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-3-319-00887-5 . OCLC 853659945 .
Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К. Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 188–189, 1996.
Кьюсик, Т.В. и Флахайв, М.Э. Спектры Маркова и Лагранжа. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Социум, 1989.
Кассельс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 45. Издательство Кембриджского университета . Збл 0077.04801 .

Внешние ссылки

«Проблема марковского спектра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Кассельс (1957) стр.18

[mathworld2-2] Константа Фреймана Вайсштейн, Эрик В. «Константа Фреймана». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram), по состоянию на 26 августа 2008 г.

[3] Кьюсик, Томас; Флахайв, Мэри (1989). «Сравнение спектров Маркова и Лагранжа». Спектры Маркова и Лагранжа . Математические обзоры и монографии. Том. 30. С. 35–45. дои : 10.1090/surv/030/03 . ISBN 9780821815311 .

[4] Морейра, Карлос Густаво Т. Де А. (июль 2018 г.). «Геометрические свойства спектров Маркова и Лагранжа». Анналы математики . 188 (1): 145–170. arXiv : 1612.05782 . дои : 10.4007/анналы.2018.188.1.3 . ISSN 0003-486X . JSTOR 10.4007/анналы.2018.188.1.3 . S2CID 15513612 .

[1]

[2]

[3]

[4]