Теорема Гурвица (теория чисел)

Эта статья о теореме теории чисел. Чтобы узнать о других значениях, см. теорему Гурвица .

В чисел теории теорема Гурвица , названная в честь Адольфа Гурвица , дает оценку диофантовой аппроксимации . Теорема утверждает, что для каждого иррационального числа ξ существует бесконечно много относительно простых целых чисел m , n таких, что $$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}.$$

Условие иррациональности ξ опустить нельзя. Более того, константа ${\sqrt {5}}$ является лучшим из возможных; если мы заменим ${\sqrt {5}}$ по любому номеру $A>{\sqrt {5}}$ и мы позволяем $\xi =(1+{\sqrt {5}})/2$ ( золотое сечение ), то существует только конечное число относительно простых целых чисел m , n таких, что справедлива приведенная выше формула.

Теорема эквивалентна утверждению, что постоянная Маркова каждого числа больше, чем ${\sqrt {5}}$.

См. также

• Аппроксимационная теорема Дирихле
• Число Лангранжа

Ссылки

• Гурвиц, А. (1891). «О приближенном представлении иррациональных чисел рациональными дробями» . Математические анналы (на немецком языке). 39 (2): 279–284. дои : 10.1007/BF01206656 . ЖФМ   23.0222.02 . S2CID   119535189 .
• Г.Х. Харди , Эдвард М. Райт, Роджер Хит-Браун, Джозеф Сильверман, Эндрю Уайлс (2008). «Теорема 193». Введение в теорию чисел (6-е изд.). Оксфордские научные публикации. п. 209. ИСБН  978-0-19-921986-5 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Левек, Уильям Джадсон (1956). Темы теории чисел . Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Ридинг, Массачусетс, MR   0080682 .
• Иван Нивен (2013). Диофантовые приближения . Курьерская корпорация. ISBN  978-0486462677 .