постоянная Маркова

Эта статья о свойстве иррационального числа . Чтобы узнать о целочисленных решениях диофантового уравнения Маркова, см. число Маркова . Чтобы узнать о наборе действительных чисел, см. Марковский спектр .

Марковская постоянная числа
Домен, кодомен и изображение
Домен	Иррациональные числа
Кодомен	Спектр Лагранжа с $\infty$
Основные функции
Паритет	даже
Период	1
Конкретные значения
Максима	$+\infty$
Минимумы	√ 5
Стоимость в $\phi$	√ 5
Значение при √ 2	2 √ 2
Эта функция не определена для рациональных чисел; следовательно, он не является непрерывным.

В теории чисел , особенно в диофантового приближения теории , постоянная Маркова $M(\alpha )$ иррационального числа $\alpha$ - коэффициент, при котором аппроксимационная теорема Дирихле может быть улучшена для $\alpha$.

История и мотивация

Определенные числа можно хорошо аппроксимировать определенными рациональными числами ; в частности, подходящие дроби цепной дроби являются лучшими приближениями рациональных чисел, имеющих знаменатели меньше определенной границы. Например, приближение $\pi \approx {\frac {22}{7}}$ является лучшим рациональным приближением среди рациональных чисел со знаменателем до 56. Кроме того, некоторые числа можно аппроксимировать легче, чем другие. Дирихле доказал в 1840 году, что наименее легко аппроксимируемые числа являются рациональными числами в том смысле, что для каждого иррационального числа существует бесконечное множество рациональных чисел, приближающих его с определенной степенью точности, и только конечное число таких рациональных приближений существует для рациональных чисел. В частности, он доказал, что для любого числа $\alpha$ существует бесконечно много пар относительно простых чисел $(p,q)$ такой, что $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ иррационально.

51 год спустя Гурвиц еще больше улучшил аппроксимационную теорему Дирихле в √ 5 раз : улучшение правой части от $1/q^{2}$ к $1/{\sqrt {5}}q^{2}$ для иррациональных чисел:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.$

Приведенный выше результат является наилучшим из возможных, поскольку золотое сечение $\phi$ иррационально, но если мы заменим √ 5 на любое большее число в приведенном выше выражении, то мы сможем найти только конечное число рациональных чисел, которые удовлетворяют неравенству для $\alpha =\phi$.

Более того, он показал, что среди иррациональных чисел наименее легко приближаемыми являются числа вида ${\frac {a\phi +b}{c\phi +d}}$ где $\phi$ это золотое сечение , $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ и $ad-bc=\pm 1$. (Говорят, что эти эквивалентны числа $\phi$.) Если мы опустим эти числа, как мы опустили рациональные числа в теореме Дирихле, то мы сможем увеличить число √ 5 до 2 √ 2 . И снова эта новая граница является наилучшей в новых условиях, но на этот раз число √ 2 и эквивалентные ему числа ограничивают границу. Если мы не допустим эти числа, мы можем снова увеличить число в правой части неравенства с 2 √ 2 до √ 221/5 , для которых числа, эквивалентные ${\frac {1+{\sqrt {221}}}{10}}$ ограничить границы. Полученные числа показывают, насколько хорошо эти числа можно аппроксимировать; это можно рассматривать как свойство действительных чисел.

Однако вместо того, чтобы рассматривать теорему Гурвица (и упомянутые выше расширения) как свойство действительных чисел, за исключением некоторых специальных чисел, мы можем рассматривать ее как свойство каждого исключенного числа. Таким образом, теорему можно интерпретировать как «числа, эквивалентные $\phi$, √ 2 или ${\frac {1+{\sqrt {221}}}{10}}$ Это заставляет нас задуматься о том, насколько точно каждое число может быть аппроксимировано рациональными числами, в частности, насколько можно увеличить множитель в аппроксимационной теореме Дирихле до 1 для этого конкретного числа.

Определение

Математически константа Маркова иррационального $\alpha$ определяется как $M(\alpha )=\sup \left\{\lambda \in \mathbb {R} |\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{\lambda q^{2}}}{\text{ has infinitely many solutions for }}p,q\in \mathbb {N} \right\}$. Если множество не имеет верхней границы, определим $M(\alpha )=\infty$.

Альтернативно, его можно определить как $\limsup _{k\to \infty }{\frac {1}{k^{2}\left\vert \alpha -{\frac {f(k)}{k}}\right\vert }}$ где $f(k)$ определяется как ближайшее целое число к $\alpha k$.

Свойства и результаты

Из теоремы Гурвица следует, что $M(\alpha )\geq {\sqrt {5}}$ для всех $\alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q}$.

Если $\alpha =[a_{0};a_{1},a_{2},...]$ это расширение его непрерывной дроби, тогда $M(\alpha )=\limsup _{k\to \infty }{([a_{k+1};a_{k+2},a_{k+3},...]+[0;a_{k},a_{k-1},...,a_{2},a_{1}])}$.

Из вышесказанного, если $p=\limsup _{k\to \infty }{a_{k}}$ затем $p<M(\alpha )<p+2$. Это означает, что $M(\alpha )=\infty$ тогда и только тогда, когда $(a_{k})$ не ограничен . В частности, $M(\alpha )<\infty$ если $\alpha$ есть квадратичная иррациональность . Фактически нижняя граница $M(\alpha )$ можно усилить до $M(\alpha )\geq {\sqrt {p^{2}+4}}$, максимально плотный.

Значения $\alpha$ для чего $M(\alpha )<3$ являются семействами квадратичных иррациональностей, имеющих один и тот же период (но с разными смещениями), а значения $M(\alpha )$ для этих $\alpha$ ограничиваются числами Лагранжа . Существует бесчисленное множество чисел, для которых $M(\alpha )=3$, среди которых нет двух с одинаковым окончанием; например, для каждого числа $\alpha =[\underbrace {1;1,...,1} _{r_{1}},2,2,\underbrace {1,1,...,1} _{r_{2}},2,2,\underbrace {1,1,...,1} _{r_{3}},2,2,...]$ где $r_{1}<r_{2}<r_{3}<\cdots$, $M(\alpha )=3$.

Если $\beta ={\frac {p\alpha +q}{r\alpha +s}}$ где $p,q,r,s\in \mathbb {Z}$ затем $M(\beta )\geq {\frac {M(\alpha )}{\left\vert ps-rq\right\vert }}$. В частности, если $\left\vert ps-rq\right\vert =1$ их $M(\beta )=M(\alpha )$.

Набор $L=\{M(\alpha )|\alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \}$ образует спектр Лагранжа . Он содержит интервал $[F,\infty ]$ где F — постоянная Фреймана. Следовательно, если $m>F\approx 4.52783$ тогда существует иррациональное $\alpha$ чья постоянная Маркова равна $m$.

Числа, имеющие постоянную Маркова меньше 3

Бургер и др. (2002) дает формулу, для которой квадратичная иррациональность $\alpha _{n}$ чья постоянная Маркова равна n ^й Число Лагранжа :

$\alpha _{n}={\frac {2u-3m_{n}+{\sqrt {9m_{n}^{2}-4}}}{2m_{n}}}$ где $m_{n}$ это н ^й Марковское число , а u — наименьшее целое положительное число такое, что $m_{n}\mid u^{2}+1$.

Николлс (1978) предоставляет геометрическое доказательство этого (на основе окружностей, касающихся друг друга), предоставляя метод, позволяющий систематически находить эти числа.

Примеры

Демонстрация того, что √ 10 /2 имеет постоянную Маркова √ 10 , как указано в примере ниже. Этот график графиков y ( k ) = ⁠ 1 / к ² | а - ⁠ ж ( α k) / k ⁠ | ⁠ против log( k ) (натуральный журнал k ), где f ( x ) — ближайшее целое число к x . Точки вверху, соответствующие значениям по оси X 0,7, 2,5, 4,3 и 6,1 (k=2,12,74,456), представляют собой точки, для которых верхний предел √ 10 . достигается

Константа Маркова из двух чисел

С ${\frac {\sqrt {10}}{2}}=[1;{\overline {1,1,2}}]$,

${\begin{aligned}M\left({\frac {\sqrt {10}}{2}}\right)&=\max([1;{\overline {2,1,1}}]+[0;{\overline {1,2,1}}],[1;{\overline {1,2,1}}]+[0;{\overline {2,1,1}}],[2;{\overline {1,1,2}}]+[0;{\overline {1,1,2}}])\\&=\max \left({\frac {2{\sqrt {10}}}{3}},{\frac {2{\sqrt {10}}}{3}},{\sqrt {10}}\right)\\&={\sqrt {10}}.\end{aligned}}$

Как $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ],M(e)=\infty$ потому что в виде цепной дроби представление e неограничено.

Числа α _n, имеющие постоянную Маркова меньше 3

Учитывать $n=6$; Затем $m_{n}=34$. Методом проб и ошибок можно обнаружить, что $u=13$. Затем

${\begin{aligned}\alpha _{6}&={\frac {2u-3m_{6}+{\sqrt {9m_{6}^{2}-4}}}{2m_{6}}}\\[6pt]&={\frac {-76+{\sqrt {10400}}}{68}}\\[6pt]&={\frac {-19+5{\sqrt {26}}}{17}}\\[6pt]&=[0;{\overline {2,1,1,1,1,1,1,2}}].\end{aligned}}$

См. также

• Число Лагранжа
• Непрерывная дробь
• Спектр Лагранжа