Ограниченные частичные отношения

В математике и, в частности, в аналитической теории правильных цепных дробей , бесконечная правильная цепная дробь x называется ограниченной или составленной из ограниченных частичных частных , если последовательность знаменателей ее частичных частных ограничена; то есть

$x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}+\ddots }}}}}}}}=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{K}}}{\frac {1}{a_{i}}},\,$

и существует некоторое положительное целое число M что все ( целые ) частичные знаменатели a _i меньше или равны M. такое ,

Периодические непрерывные дроби

Правильная периодическая цепная дробь состоит из конечного начального блока частичных знаменателей, за которым следует повторяющийся блок; если

$\zeta =[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}],\,$

тогда ζ — квадратичное иррациональное число и его представление в виде правильной цепной дроби является периодическим. может быть больше наибольшего из чисел от ₀ до k _{Очевидно, что любая правильная периодическая цепная дробь состоит из ограниченных частичных частных, поскольку ни один из частичных знаменателей не + m} . Исторически сложилось так, что математики изучали периодические непрерывные дроби, прежде чем рассмотреть более общую концепцию ограниченных частичных частных.

Ограниченные КФ и множество Кантора

— Множество Кантора это множество C нулевой меры из которого простым сложением может быть построен полный интервал действительных чисел, то есть любое действительное число из интервала может быть выражено как сумма ровно двух элементов множества C. , Обычное доказательство существования множества Кантора основано на идее пробивания «дыры» в середине интервала, затем пробивания дырок в остальных подинтервалах и повторения этого процесса до бесконечности .

Процесс прибавления еще одного частного частного к конечной цепной дроби во многом аналогичен этому процессу «пробивания дырки» в интервале действительных чисел. Размер «дыры» обратно пропорционален следующему выбранному частичному знаменателю: если следующий частичный знаменатель равен 1, разрыв между последовательными подходящими значениями максимизируется.Чтобы уточнить следующие теоремы, мы рассмотрим CF( M ), набор ограниченных цепных дробей, значения которых лежат в открытом интервале (0, 1) и чьи частичные знаменатели ограничены положительным целым числом M , то есть

$\mathrm {CF} (M)=\{[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]:1\leq a_{i}\leq M\}.\,$

Приведя аргументы, параллельные тем, которые использовались для построения множества Кантора, можно получить два интересных результата.

• Если M ≥ 4, то любое действительное число в интервале можно составить как сумму двух элементов из CF( M ), где интервал задается формулой

$(2\times [0;{\overline {M,1}}],2\times [0;{\overline {1,M}}])=\left({\frac {1}{M}}\left[{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right],{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right).$

• Простое рассуждение показывает, что ${\scriptstyle [0;{\overline {1,M}}]-[0;{\overline {M,1}}]\geq {\frac {1}{2}}}$ выполняется, когда M ≥ 4, а это, в свою очередь, означает, что если M ≥ 4, каждое действительное число можно представить в виде n + CF ₁ + CF ₂ , где n — целое число, а CF ₁ и CF ₂ — элементы CF. ( М ).

Гипотеза Зарембы

Заремба выдвинул гипотезу о существовании абсолютной константы A , такой что рациональные числа с частичными частными, ограниченными A, содержат по крайней мере одно для каждого (положительного целого) знаменателя. Выбор A = 5 совместим с численными данными. Дальнейшие предположения уменьшают это значение в случае всех достаточно больших знаменателей. Жан Бурген и Алекс Конторович показали, что A можно выбрать так, чтобы вывод был справедлив для набора знаменателей плотности 1.

См. также

• Марковский спектр