Квадратичное иррациональное число

В математике квадратичное иррациональное число (также известное как квадратичное иррациональное или квадратичное иррациональное число ) — это иррациональное число , которое является решением некоторого квадратного уравнения с рациональными коэффициентами , которое не приводится к рациональным числам . ^[1] Поскольку дроби в коэффициентах квадратного уравнения можно очистить, умножив обе части на наименьший общий знаменатель , квадратичная иррациональная дробь является иррациональным корнем некоторого квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Квадратичные иррациональные числа, подмножество комплексных чисел , являются алгебраическими числами степени 2 и поэтому могут быть выражены как

{a+b{\sqrt {c}} \over d},

для целых чисел $a, b, c, d$ ; с $b$ , $c$ и $d$ ненулевыми и с $c$ без квадратов . Когда $c$ положительно, мы получаем действительные квадратичные иррациональные числа , а отрицательное $c$ дает комплексные квадратичные иррациональные числа , которые не являются действительными числами . Это определяет инъекцию квадратичных иррациональных чисел в четверки целых чисел, поэтому их мощность не более чем счетна ; поскольку, с другой стороны, каждый квадратный корень из простого числа представляет собой отдельную квадратичную иррациональную единицу, а простых чисел счетно много, они, по крайней мере, счетны; следовательно, квадратичные иррациональные числа являются счетным множеством .

иррациональные числа используются в теории поля для построения полевых расширений поля Квадратичные рациональных чисел $Q$ . без квадратов $Учитывая целое число c$ , увеличение $Q$ квадратичными иррациональными числами с использованием $\sqrt c$ дает квадратичное поле $Q (\sqrt c$ ). Например, обратные элементы $Q (\sqrt c$ ) имеют ту же форму, что и приведенные выше алгебраические числа:

{d \over a+b{\sqrt {c}}}={ad-bd{\sqrt {c}} \over a^{2}-b^{2}c}.

Квадратичные иррациональные дроби обладают полезными свойствами, особенно в отношении цепных дробей , где мы получаем результат, что все действительные квадратичные иррациональные дроби и только действительные квадратичные иррациональные дроби имеют периодические формы цепных дробей . Например

{\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]

Периодическим цепным дробям можно поставить во взаимно однозначное соответствие рациональным числам. Соответствие явно обеспечивается функцией вопросительного знака Минковского , и явная конструкция приведена в этой статье. Это полностью аналогично соотношению между рациональными числами и строками двоичных цифр, имеющих постоянно повторяющийся хвост, что также обеспечивается функцией вопросительного знака. Такие повторяющиеся последовательности соответствуют периодическим орбитам двоичного преобразования (для двоичных цифр) и отображению Гаусса . $h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor$ для цепных дробей.

квадратичные иррациональные числа и неопределенные двоичные квадратичные Действительные формы

Мы можем переписать квадратичную иррациональность следующим образом:

{\frac {a+b{\sqrt {c}}}{d}}={\frac {a+{\sqrt {b^{2}c}}}{d}}.

Отсюда следует, что любое квадратичное иррациональное число можно записать в виде

{\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}.

Это выражение не уникально.

Исправьте неквадратное положительное целое число $c$ соответствующий $0$ или $1$ модуль $4$ и определим набор $S_{c}$ как

S_{c}=\left\{{\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}\colon a,d{\text{ integers, }}\,d{\text{ even}},\,a^{2}\equiv c{\pmod {2d}}\right\}.

Всякая квадратичная иррациональность принадлежит некоторому множеству $S_{c}$ , поскольку условия сравнения можно выполнить путем масштабирования числителя и знаменателя соответствующим коэффициентом.

Матрица

{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}

с целочисленными записями и $\alpha \delta -\beta \gamma =1$ можно использовать для преобразования числа $y$ в $S_{c}$ . Преобразованное число

z={\frac {\alpha y+\beta }{\gamma y+\delta }}

Если $y$ находится в $S_{c}$ , затем $z$ тоже.

Отношения между $y$ и $z$ выше это отношение эквивалентности . (Это следует, например, потому, что приведенное выше преобразование дает групповое действие группы определителем целочисленных матриц с 1 на множестве $S_{c}$ .) Таким образом, $S_{c}$ разбиения на классы эквивалентности . Каждый класс эквивалентности представляет собой набор квадратичных иррациональностей, каждая пара которых эквивалентна действию некоторой матрицы. Теорема Серре подразумевает, что разложения эквивалентных квадратичных иррациональностей в регулярные цепные дроби в конечном итоге одинаковы, то есть их последовательности частичных частных имеют одинаковый хвост. Таким образом, все числа в классе эквивалентности имеют разложение в непрерывные дроби, которые в конечном итоге являются периодическими с одним и тем же хвостом.

Существует конечное число классов эквивалентности квадратичных иррациональностей в $S_{c}$ . Стандартное доказательство этого включает рассмотрение отображения $\phi$ из бинарных квадратичных форм дискриминанта $c$ к $S_{c}$ данный

\phi (tx^{2}+uxy+vy^{2})={\frac {-u+{\sqrt {c}}}{2t}}

Расчет показывает, что $\phi$ является биекцией , которая учитывает действие матрицы на каждом наборе. Классы эквивалентности квадратичных иррациональностей тогда находятся в биекции с классами эквивалентности бинарных квадратичных форм, и Лагранж показал, что существует конечное число классов эквивалентности бинарных квадратичных форм данного дискриминанта.

Через биекцию $\phi$ , расширяя число в $S_{c}$ в цепной дроби соответствует приведению квадратичной формы. В конечном счете периодическая природа цепной дроби затем отражается в конечном периодическом характере орбиты квадратичной формы при сокращении, с уменьшенными квадратичными иррациональностями (теми, которые имеют чисто периодическую цепную дробь), соответствующими приведенными квадратичными формами.

из неквадратного иррационален корень Квадратный

Определение квадратичных иррациональных чисел требует, чтобы они удовлетворяли двум условиям: они должны удовлетворять квадратному уравнению и быть иррациональными. Решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 являются

{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

Таким образом, квадратичные иррациональные числа — это именно те действительные числа в этой форме, которые не являются рациональными. Поскольку b и 2 a являются целыми числами, вопрос, является ли указанная выше величина иррациональной, аналогичен вопросу, когда квадратный корень целого числа иррационален. Ответ на этот вопрос заключается в том, что квадратный корень из любого натурального числа, не являющегося квадратным, иррационален.

Квадратный корень из 2 был первым таким числом, иррациональность которого была доказана. Феодор Киренский доказал иррациональность извлечения квадратных корней из неквадратных натуральных чисел до 17, но остановился на этом, вероятно, потому, что используемая им алгебра не могла быть применена к квадратному корню из чисел, больших 17. 10-я книга Евклида «Начала» посвящена к классификации иррациональных величин. Первоначальное доказательство иррациональности неквадратных натуральных чисел зависит от леммы Евклида .

Многие доказательства иррациональности квадратных корней неквадратных натуральных чисел неявно предполагают фундаментальную теорему арифметики , которая была впервые доказана Карлом Фридрихом Гауссом в его Disquisitiones Arithmeticae . Это утверждает, что каждое целое число имеет уникальную разложение на простые числа. Для любого рационального нецелого числа в самых простых терминах в знаменателе должно быть простое число, которое не делится на числитель. Когда числитель возведен в квадрат, это простое число все равно не будет делиться на него из-за уникальной факторизации. Следовательно, квадрат рационального нецелого числа всегда является нецелым; по контрапозитиву квадратный корень из целого числа всегда является либо другим целым числом, либо иррациональным.

Евклид использовал ограниченную версию основной теоремы и некоторые осторожные аргументы для доказательства теоремы. Его доказательство находится в книге X «Начал» Евклида , предложение 9. ^[2]

Однако фундаментальная теорема арифметики на самом деле не требуется для доказательства результата. Есть самостоятельные доказательства Ричарда Дедекинда . ^[3] среди других. Следующее доказательство было адаптировано Колином Ричардом Хьюзом на основе доказательства иррациональности квадратного корня из 2, найденного Теодором Эстерманном в 1975 году. ^[4]^[5]

Если D — неквадратное натуральное число, то существует натуральное число n такое, что:

н ² < Д < ( п + 1) ²,

так в частности

0 < √ D − n < 1.

Если квадратный корень из D рационален, то его можно записать как неприводимую дробь p / q , так что q — наименьший возможный знаменатель и, следовательно, наименьшее число, для которого q √ D также является целым числом. Затем:

( √ D - п ) q √ D знак равно qD - nq √ D

что, таким образом, также является целым числом. Но 0 < ( √ D - n ) < 1, поэтому ( √ D - n ) q < q . Следовательно ( √ D − n ) q — целое число, меньшее q , которое, умноженное на √ D, дает целое число. Это противоречие, поскольку q было определено как наименьшее такое число. Следовательно, √ D не может быть рациональным.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Йорн Штойдинг, Диофантовый анализ , (2005), Chapman & Hall, стр.72.
^ Евклид. «Начала Евклида, книга X, предложение 9» . Д.Э.Джойс, Университет Кларка . Проверено 29 октября 2008 г.
^ Богомольный, Александр . «Квадратный корень из 2 иррационален» . Интерактивная математика. Сборники и головоломки . Проверено 5 мая 2016 г.
^ Хьюз, Колин Ричард (1999). «Иррациональные корни». Математический вестник . 83 (498): 502–503. дои : 10.2307/3620972 . JSTOR 3620972 . S2CID 149602021 .
^ Эстерманн, Теодор (1975). «Иррациональность √2». Математический вестник . 59 (408): 110. дои : 10.2307/3616647 . JSTOR 3616647 . S2CID 126072097 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Йорн Штойдинг, Диофантовый анализ , (2005), Chapman & Hall, стр.72.

[2] Евклид. «Начала Евклида, книга X, предложение 9» . Д.Э.Джойс, Университет Кларка . Проверено 29 октября 2008 г.

[3] Богомольный, Александр . «Квадратный корень из 2 иррационален» . Интерактивная математика. Сборники и головоломки . Проверено 5 мая 2016 г.

[4] Хьюз, Колин Ричард (1999). «Иррациональные корни». Математический вестник . 83 (498): 502–503. дои : 10.2307/3620972 . JSTOR 3620972 . S2CID 149602021 .

[5] Эстерманн, Теодор (1975). «Иррациональность √2». Математический вестник . 59 (408): 110. дои : 10.2307/3616647 . JSTOR 3616647 . S2CID 126072097 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]