Квадратный корень из 6

Квадратный корень из 6
Рациональность	иррациональный
Представительства
десятичный	2.44948 97427 83178 098...
Алгебраическая форма
Непрерывная дробь

Квадратный корень из 6 — это положительное действительное число , которое при умножении само на себя дает натуральное число 6 . Точнее, его называют главным квадратным корнем из 6 , чтобы отличить его от отрицательного числа с тем же свойством. Это число появляется во многих геометрических и теоретико-числовых контекстах. форме это можно обозначить В иронической как: ^[1]

{\sqrt {6}}\,,

и в показательной форме как:

6^{\frac {1}{2}}.

Это иррациональное алгебраическое число . ^[2] Первые шестьдесят значащих цифр его десятичного расширения :

2.44948 97427 83178 09819 72840 74705 89139 19659 47480 65667 01284 3269... . ^[3]

которое можно округлить до 2,45 с точностью около 99,98% (около 1 части из 4800); то есть оно отличается от правильного значения примерно на 1/2000 . Чтобы уменьшить ошибку примерно вдвое, нужны еще две цифры (2,4495). Приближение 218/89 равен знаменатель (≈ 2,449438...) почти в десять раз лучше: несмотря на то, что всего 89, оно отличается от правильного значения менее чем на 1/20 000 . или менее одной части из 47 000

Поскольку 6 является произведением 2 и 3, квадратный корень из 6 является средним геометрическим из 2 и 3 и является произведением квадратного корня из 2 и квадратного корня из 3 , оба из которых являются иррациональными алгебраическими числами.

НАСА опубликовало более миллиона десятичных цифр квадратного корня из шести. ^[4]

приближения Рациональные

Квадратный корень из 6 можно выразить как непрерывную дробь.

[2;2,4,2,4,2,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}.

(последовательность A040003 в OEIS )

Последовательные частичные оценки цепной дроби, называемые ее подходящими числами , приближаются ${\sqrt {6}}$ :

{\frac {2}{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {22}{9}},{\frac {49}{20}},{\frac {218}{89}},{\frac {485}{198}},{\frac {2158}{881}},{\frac {4801}{1960}},\dots

Их числители — 2, 5, 22, 49, 218, 485, 2158, 4801, 21362, 47525, 211462, … (последовательность A041006 в OEIS ), а знаменатели — 1, 2, 9, 20, 89, 198, 881, 1960, 8721, 19402, 86329, … (последовательность A041007 в OEIS ). ^[5]

Каждая конвергенция представляет собой рациональное приближение наилучшее ${\sqrt {6}}$ ; другими словами, это ближе к ${\sqrt {6}}$ чем любое рациональное с меньшим знаменателем. Десятичные эквиваленты улучшаются линейно, со скоростью почти одна цифра на каждую дробь:

{\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {5}{2}}=2.5,\quad {\frac {22}{9}}=2.4444\dots ,\quad {\frac {49}{20}}=2.45,\quad {\frac {218}{89}}=2.44943...,\quad {\frac {485}{198}}=2.449494...,\quad \ldots

Конвергенты, выраженные как $x / y$ , удовлетворяют попеременно уравнениям Пелла ^[5]

x^{2}-6y^{2}=-2\quad \mathrm {and} \quad x^{2}-6y^{2}=1

Когда ${\sqrt {6}}$ аппроксимируется вавилонским методом , начиная с $x 0 = 2$ и используя $x n +1 = 1/2 (х п + 6 / x n)$ n- $я$ аппроксимация $x n$ равна $2 н$ -я подходящая дробь цепной дроби:

x_{0}=2,\quad x_{1}={\frac {5}{2}}=2.5,\quad x_{2}={\frac {49}{20}}=2.45,\quad x_{3}={\frac {4801}{1960}}=2.449489796...,\quad x_{4}={\frac {46099201}{18819920}}=2.449489742783179...,\quad \dots

Вавилонский метод эквивалентен методу Ньютона для поиска корня, примененному к многочлену. $x^{2}-6$ . Обновление метода Ньютона, $x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}),$ равно $(x_{n}+6/x_{n})/2$ когда $f(x)=x^{2}-6$ . Таким образом, метод сходится квадратично .

Геометрия [ править ]

В плоской геометрии квадратный корень из 6 можно построить с помощью последовательности динамических прямоугольников , как показано здесь. ^[6]^[7]^[8]

В твердотельной геометрии квадратный корень из 6 выглядит как самое длинное расстояние между углами ( вершинами ) двойного куба, как показано выше. Квадратные корни всех младших натуральных чисел выглядят как расстояния между другими парами вершин в двойном кубе (включая вершины двух включенных кубов). ^[8]

Длина ребра куба с общей площадью поверхности 1 равна ${\frac {\sqrt {6}}{6}}$ или обратный квадратный корень из 6. Длины ребер правильного тетраэдра ( $t$ ), правильного октаэдра ( $o$ ) и куба ( $c$ ) с равными полными площадями поверхности удовлетворяют ${\frac {t\cdot o}{c^{2}}}={\sqrt {6}}$ . ^[3]^[9]

Длина ребра правильного октаэдра равна квадратному корню из 6-кратного радиуса вписанной сферы (то есть расстояния от центра твердого тела до центра каждой грани). ^[10]

Квадратный корень из 6 появляется в различных других геометрических контекстах, таких как длина стороны. ${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{2}}$ для квадрата, охватывающего равносторонний треугольник со стороной 2 (см. рисунок).

Тригонометрия [ править ]

Квадратный корень из 6 с квадратного корня из 2 добавлением или вычитанием появляется в нескольких точных тригонометрических значениях для углов, кратных 15 градусам ( $\pi /12$ радианы). ^[11]

радианы	Степени	$грех$	$потому что$	$загар$	$детская кроватка$	$сек$	$csc$
${\frac {\pi }{12}}$	$15^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	$2-{\sqrt {3}}$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$
${\frac {5\pi }{12}}$	$75^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	$2+{\sqrt {3}}$	$2-{\sqrt {3}}$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$