Салемский номер

График корней полинома Лемера с соответствующим числом Салема рядом $x=1.17628$ в золоте.

В математике Салемское число — это действительное алгебраическое целое число. $\alpha >1$ которого сопряженные корни все имеют абсолютное значение не больше 1, и по крайней мере один из которых имеет абсолютное значение ровно 1. Числа Салема представляют интерес в диофантовом приближении и гармоническом анализе . Они названы в честь Рафаэля Салема .

Свойства

Поскольку его корень имеет абсолютное значение 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть обратным многочленом . Это означает, что $1/\alpha$ также является корнем, и что все остальные корни имеют абсолютное значение ровно единицу. Как следствие, α должна быть единицей в кольце целых алгебраических чисел и иметь норму 1.

Каждое Салемское число является числом Перрона (действительным алгебраическим числом больше единицы, все сопряженные которого имеют меньшее абсолютное значение).

Писо –

Наименьшее известное число Салема — это наибольший действительный корень многочлена Лемера (названного в честь Деррика Генри Лемера ).

$P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1,$

что касается $x=1.17628$ предполагается , это действительно наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера неприводимого : некругового что многочлена.

Полином Лемера является фактором более короткого полинома -12 степени ,

$Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,$

все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношению

$x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}$

Числа Салема могут быть построены из чисел Писо – Виджаярагхавана . Напомним, что наименьшим из последних является единственный действительный корень кубического многочлена ,

$x^{3}-x-1,$

известен как коэффициент пластичности и примерно равен 1,324718. Это можно использовать для генерации семейства чисел Салема, включая наименьшее из найденных на данный момент. Общий подход состоит в том, чтобы взять минимальный полином $P(x)$ числа Писо – Виджаярагавана и его обратного полинома , $P^{*}(x)$, и решим уравнение,

$x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)$

для целого числа $n$ выше границы. Вычитание одной части из другой, факторизация и игнорирование тривиальных факторов дадут минимальный полином некоторых чисел Салема. Например, используя отрицательный случай выше,

$x^{n}(x^{3}-x-1)=-(x^{3}+x^{2}-1)$

тогда для $n=8$, это факторы, как,

$(x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1)=0$

где десятичная дробь — многочлен Лемера. Использование более высокого $n$ даст семейство с корнем, приближающимся к пластическому соотношению. Это можно лучше понять, взяв $n$корни с обеих сторон,

$x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n}$

так как $n$ идет выше, $x$ приблизимся к решению $x^{3}-x-1=0$. Если используется положительный случай, то $x$ приближается к коэффициенту пластичности с противоположной стороны. Использование минимального полинома следующего наименьшего числа Писо – Виджаярагхавана дает

$x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),$

для чего $n=7$ факторы как

$(x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0,$

децик, не сгенерированный в предыдущем, и имеющий корень $x=1.216391\ldots$ что является пятым наименьшим известным числом Салема. Как $n\to \infty$, это семейство, в свою очередь, стремится к большему действительному корню $x^{4}-x^{3}-1=0$.

Ссылки

• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсы по анализу и теории чисел . Книги CMS по математике. Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-95444-9 . Збл   1020.12001 . Глава. 3.
• Бойд, Дэвид (2001) [1994], «Салемское число» , Энциклопедия математики , EMS Press
• М.Дж. Моссингхофф. «Малые Салемские числа» . Проверено 7 января 2016 г.
• Салем, Р. (1963). Алгебраические числа и анализ Фурье . Математические монографии Хита. Бостон, Массачусетс: DC Heath and Company . Збл   0126.07802 .