мера Малера

В математике мера Малера $M(p)$ полинома ​ $p(z)$ с комплексными коэффициентами определяется как

$$M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},$$где $p(z)$ факторизует комплексные числа $\mathbb {C}$ как $$p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).$$

Меру Малера можно рассматривать как своего рода функцию высоты . Используя формулу Йенсена , можно доказать, что эта мера также равна среднему геометрическому $|p(z)|$ для $z$ на единичной окружности (т.е. $|z|=1$): $$M(p)=\exp \left(\int _{0}^{1}\ln(|p(e^{2\pi i\theta })|)\,d\theta \right).$$

В более широком смысле мера Малера алгебраического числа $\alpha$ определяется как мера Малера многочлена минимального $\alpha$ над $\mathbb {Q}$. В частности, если $\alpha$ является числом Писо или числом Салема , то его мера Малера просто $\alpha$.

Мера Малера названа в честь австралийского математика немецкого происхождения Курта Малера .

Характеристики

• Мера Малера мультипликативна: $\forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q).$
• ${\textstyle M(p)=\lim _{\tau \to 0}\|p\|_{\tau }}$ где ${\textstyle \,\|p\|_{\tau }=\left(\int _{0}^{1}|p(e^{2\pi i\theta })|^{\tau }d\theta \right)^{1/\tau }}$ это $L_{\tau }$ норма ​ $p$.
• Теорема Кронекера : если $p$ представляет собой неприводимый монический целочисленный полином с $M(p)=1$, то либо $p(z)=z,$ или $p$ является круговым полиномом .
• ( гипотеза Лемера ) Существует константа $\mu >1$ такое, что если $p$ является неприводимым целым полиномом, то либо $M(p)=1$ или $M(p)>\mu$.
• Мерой Малера монического целочисленного многочлена является число Перрона .

Многомерная мера Малера

Мера Малера $M(p)$ полинома от многих переменных $p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ определяется аналогично по формуле

$$M(p)=\exp \left(\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{2\pi i\theta _{1}},e^{2\pi i\theta _{2}},\ldots ,e^{2\pi i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).$$Он наследует три вышеуказанных свойства меры Малера для многочлена с одной переменной.

Было показано, что в некоторых случаях многомерная мера Малера связана со специальными значениями.дзета -функций и $L$-функции . Например, в 1981 году Смит доказал формулы $$m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)$$где $L(\chi _{-3},s)$ является L-функцией Дирихле и $$m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3),$$где $\zeta$ — дзета-функция Римана . Здесь $m(P)=\log M(P)$ называется логарифмической мерой Малера .

Некоторые результаты Лоутона и Бойда

Из определения мера Малера рассматривается как интегрированные значения многочленов по тору (см. также гипотезу Лемера ). Если $p$ исчезает на торе $(S^{1})^{n}$, то сходимость интеграла, определяющего $M(p)$ не очевидно, но известно, что $M(p)$ сходится и равен пределу мер Малера с одной переменной, что было предположено Бойдом .

Это формулируется следующим образом: Пусть $\mathbb {Z}$ обозначим целые числа и определим $\mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}$ . Если $Q(z_{1},\dots ,z_{N})$ является полиномом по $N$ переменные и $r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}$ определить полином $Q_{r}(z)$ одной переменной на

$$Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}})$$

и определить $q(r)$ к $$q(r):=\min \left\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)~{\text{and}}~\sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\right\}$$

где $H(s)=\max\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}$.

Теорема (Лоутона) — Пусть $Q(z_{1},\dots ,z_{N})$ быть многочленом от N переменных с комплексными коэффициентами. Тогда справедлив следующий предел (даже если выполняется условие, что $r_{i}\geq 0$ расслаблен): $$\lim _{q(r)\to \infty }M(Q_{r})=M(Q)$$

Предложение Бойда

Бойд предоставил более общие утверждения, чем приведенная выше теорема. Он указывал, что классическую теорему Кронекера , которая характеризует унитарные многочлены с целыми коэффициентами, все корни которых находятся внутри единичного круга, можно рассматривать как характеризующую те многочлены от одной переменной, мера которых равна точно 1, и что этот результат распространяется на многочлены от несколько переменных.

Определите расширенный круговой многочлен как многочлен вида $$\Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),$$где $\Phi _{m}(z)$ — m -й круговой многочлен , $v_{i}$ являются целыми числами, а $b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})$ выбираются минимально так, чтобы $\Psi (z)$ является многочленом от $z_{i}$. Позволять $K_{n}$ - набор многочленов, которые являются произведениями мономов $\pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}$ и расширенные круговые полиномы.

Теорема (Бойда) — Пусть $F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]$ быть многочленом с целыми коэффициентами. Затем $M(F)=1$ тогда и только тогда, когда $F$ является элементом $K_{n}$.

Это побудило Бойда рассмотреть набор ценностей $$L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},$$и профсоюз ${\textstyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}}$. Он высказал далеко идущую гипотезу что набор ${L}_{\infty }$ является закрытым подмножеством $\mathbb {R}$. Непосредственным следствием этой гипотезы была бы истинность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку результат Смита предполагает, что $L_{1}\subsetneqq L_{2}$ , Бойд далее предполагает, что $$L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots .$$

Мера Малера и энтропия

Действие $\alpha _{M}$ из $\mathbb {Z} ^{n}$ автоморфизмами двойственности компактной метризуемой абелевой группы может быть сопоставлен посредством любому счетному модулю $N$ по рингу $R=\mathbb {Z} [z_{1}^{\pm 1},\dots ,z_{n}^{\pm 1}]$. Топологическая энтропия (которая равна теоретико -мерной энтропии ) этого действия, $h(\alpha _{N})$, задается мерой Малера (или бесконечна). В случае циклического модуля $M=R/\langle F\rangle$ для ненулевого полинома $F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]$ формула, доказанная Линдом, Шмидтом и Уордом, дает $h(\alpha _{N})=\log M(F)$, логарифмическая мера Малера $F$. В общем случае энтропия действия выражается как сумма логарифмических мер Малера по образующим главных ассоциированных простых идеалов модуля. Как указывал ранее Линд в деле $n=1$ автоморфизма одиночной компактной группы, это означает, что множество возможных значений энтропии таких действий либо все из $[0,\infty ]$ или счетное множество в зависимости от решения задачи Лемера . Линд также показал, что бесконечномерный тор $\mathbb {T} ^{\infty }$ либо имеет эргодические автоморфизмы конечной положительной энтропии, либо имеет только автоморфизмы бесконечной энтропии в зависимости от решения проблемы Лемера.

См. также

• Норма Бомбьери
• Высота многочлена

Ссылки

• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсы по анализу и теории чисел . Книги CMS по математике. Том. 10. Спрингер . стр. 3, 15. ISBN  978-0-387-95444-8 . Збл   1020.12001 .

• Бойд, Дэвид (1981a). «Рассуждения о пределах меры Малера» . Канадский математический бюллетень . 24 (4): 453–469. дои : 10.4153/cmb-1981-069-5 .

• Бойд, Дэвид (1981b). «Теорема Кронекера и проблема Лемера для многочленов от нескольких переменных» . Журнал теории чисел . 13 : 116–121. дои : 10.1016/0022-314x(81)90033-0 .

• Бойд, Дэвид (2002a). «Мера Малера и инварианты гиперболических многообразий». В Беннетте, Массачусетс (ред.). Теория чисел для тысячелетия . АК Петерс. стр. 127–143.

• Бойд, Дэвид (2002b). «Мера Малера, гиперболические многообразия и дилогарифм». Заметки Канадского математического общества . 34 (2): 3–4, 26–28.

• Бойд, Дэвид ; Родригес Вильегас, Фернандо (2002). «Мера Малера и дилогарифм, часть 1» . Канадский математический журнал . 54 (3): 468–492. дои : 10.4153/cjm-2002-016-9 . S2CID   10069657 .
• Брюно, Франсуа; Зудилин, Вадим (2020). Множество вариаций мер Малера: продолжительная симфония . Кембридж, Великобритания Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-108-79445-9 . OCLC   1155888228 .

• Эверест, Грэм и Уорд, Томас (1999). «Высоты полиномов и энтропия в алгебраической динамике» . Springer-Verlag London , Ltd., Лондон. xii+211 стр. ISBN : 1-85233-125-9

• «Мера Малера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994] .
• Дженсен, Дж. Л. (1899). «Об одной новой и важной теореме теории функций» . Акта Математика . 22 :359–364. дои : 10.1007/BF02417878 . ЖФМ   30.0364.02 .

• Кнут, Дональд Э. (1997). «4.6.2 Факторизация многочленов». Получисловые алгоритмы . Искусство компьютерного программирования . Том. 2 (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 439–461, 678–691. ISBN  978-0-201-89684-8 .

• Лоутон, Уэйн М. (1983). «Задача Бойда о средних геометрических многочленов» . Журнал теории чисел . 16 (3): 356–362. дои : 10.1016/0022-314X(83)90063-X . Збл   0516.12018 .

• Моссингхофф, Майкл Дж. (1998). «Полиномы с малой мерой Малера» . Математика вычислений . 67 (224): 1697–1706. дои : 10.1090/S0025-5718-98-01006-0 . Збл   0918.11056 .

• Шинцель, Анджей (2000). Полиномы с особым учетом сводимости . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 77. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-66225-3 . Збл   0956.12001 .

• Смит, Крис (2008). «Мера Малера алгебраических чисел: обзор». В Макки, Джеймс; Смит, Крис (ред.). Теория чисел и полиномы . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 352. Издательство Кембриджского университета . стр. 322–349. ISBN  978-0-521-71467-9 . Збл   1334.11081 .

Внешние ссылки

• Мера Малера в MathWorld
• Формула Дженсена в MathWorld