L -функция

Дзета -функцию Римана можно рассматривать как архетип всех L -функций.

В математике L -функция — это мероморфная функция на комплексной плоскости , связанная с одной из нескольких категорий математических объектов . L - ряд — это ряд Дирихле , обычно сходящийся в полуплоскости , который может порождать L -функцию посредством аналитического продолжения . Дзета -функция Римана является примером L -функции, а некоторые важные гипотезы, связанные с L -функциями, представляют собой гипотезу Римана и ее обобщения .

Теория L -функций стала весьма существенной и до сих пор во многом предположительной частью современной аналитической теории чисел . В ней построены широкие обобщения дзета-функции Римана и L -ряда для характера Дирихле и систематически изложены их общие свойства, в большинстве случаев еще не доказуемые. Благодаря формуле произведения Эйлера существует глубокая связь между L -функциями и теорией простых чисел .

Математическая область, изучающая L -функции, иногда называется аналитической теорией L -функций .

Строительство

Вначале мы различаем L -ряд , представление бесконечной серии (например, ряд Дирихле для дзета-функции Римана ), и L -функцию , функцию на комплексной плоскости, которая является ее аналитическим продолжением . Общие конструкции начинаются с L -ряда, определяемого сначала как ряд Дирихле , а затем путем разложения как произведения Эйлера, индексированного простыми числами. Оценки необходимы, чтобы доказать, что это сходится в некоторой правой полуплоскости комплексных чисел . Затем возникает вопрос, может ли определенная таким образом функция быть аналитически продолжена на остальную часть комплексной плоскости (возможно, с некоторыми полюсами ).

Именно это (гипотетическое) мероморфное продолжение на комплексную плоскость называется L -функцией. Уже в классических случаях известно, что полезная информация содержится в значениях и поведении L -функции в точках, где представление ряда не сходится. Общий термин L -функция здесь включает многие известные типы дзета-функций. Класс Сельберга — это попытка уловить основные свойства L -функций в наборе аксиом, тем самым поощряя изучение свойств класса, а не отдельных функций.

Предполагаемая информация

Можно перечислить характеристики известных примеров L -функций, которые хотелось бы видеть обобщенными:

• расположение нулей и полюсов;
• функциональное уравнение относительно некоторой вертикальной линии Re( s ) = константа;
• интересные значения целых чисел, связанные с величинами из алгебраической K -теории .

Детальная работа привела к появлению большого количества правдоподобных предположений, например, о том, какой именно тип функционального уравнения следует применять. Поскольку дзета-функция Римана соединяется через свои значения в положительных четных целых числах (и отрицательных нечетных целых числах) с числами Бернулли , нужно искать подходящее обобщение этого явления. В этом случае получены результаты для p -адических L -функций , описывающих некоторые модули Галуа .

Статистика нулевых распределений представляет интерес из-за их связи с такими проблемами, как обобщенная гипотеза Римана, распределение простых чисел и т. д. связи с теорией случайных матриц и квантовым хаосом Интерес также представляют . Фрактальная структура распределений изучалась с помощью масштабированного анализа диапазонов . Самоподобие нулевого распределения весьма примечательно и характеризуется большой фрактальной размерностью 1,9. Эта довольно большая фрактальная размерность находится по нулям, охватывающим не менее пятнадцати порядков для дзета-функции Римана , а также для нулей других L -функций разных порядков и проводников.

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Основная статья: гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Одним из влиятельных примеров как для истории более общих L -функций, так и для все еще открытой исследовательской проблемы является гипотеза, разработанная Брайаном Берчем и Питером Суиннертоном-Дайером в начале 1960-х годов. Он применяется к эллиптической кривой E , и проблема, которую он пытается решить, — это предсказание ранга эллиптической кривой по рациональным числам (или другому глобальному полю ): то есть количества свободных образующих ее группы рациональных точек. Многие предыдущие работы в этой области стали сводиться к лучшему знанию L -функций. Это было что-то вроде парадигмального примера зарождающейся теории L -функций.

Расцвет общей теории

Эта разработка на несколько лет предшествовала программе Ленглендса и может рассматриваться как дополняющая ее: работа Ленглендса в основном связана с Артина L -функциями , которые, как и Хекке L -функции , были определены несколькими десятилетиями ранее, а также с L -функциями. присоединены к общим автоморфным представлениям .

Постепенно стало яснее, в каком смысле конструкция дзета-функций Хассе-Вейля может использоваться для обеспечения действительных L -функций в аналитическом смысле: должны быть некие входные данные от анализа, что означало автоморфный анализ. Общий случай теперь объединяет на концептуальном уровне ряд различных исследовательских программ.

См. также

• Обобщенная гипотеза Римана
• Дирихле L -функция
• Автоморфная L -функция
• Теорема модульности
• Гипотеза Артина
• Специальные значения L -функций
• Явные формулы для L-функций
• Симидзу L -функция

Ссылки

• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .

Внешние ссылки

• «LMFDB, база данных L-функций, модульных форм и связанных объектов» .
• Лаврик, А.Ф. (2001) [1994]. «L-функция» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс .

Статьи о прорывной трансцендентной L-функции третьей степени

• «Взгляды на новый (математический) мир» . Математика. Физорг.com . Американский институт математики. 13 марта 2008 г.
• Ремейер, Джули (2 апреля 2008 г.). «Подкрадываясь к Риману» . Новости науки . Архивировано из оригинала 16 февраля 2012 года . Проверено 5 августа 2008 г.
• «Охота на неуловимую L-функцию» . Математика. Физорг.com . Бристольский университет. 6 августа 2008 г.