Специальные значения L -функций
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( апрель 2019 г. ) |
В математике изучение специальных значений L -функций является разделом теории чисел, посвященным обобщению таких формул, как формула Лейбница для числа пи , а именно:
признанием того, что выражение в левой части также где — Дирихле L -функция для поля гауссовских рациональных чисел. Эта формула является частным случаем аналитической формулы числа классов и в этих терминах означает, что гауссово поле имеет номер класса 1 . Фактор в правой части формулы соответствует тому, что это поле содержит четыре корня из единицы .
Догадки
[ редактировать ]Существует два семейства гипотез, сформулированных для общих классов L -функций (наиболее общая постановка относится к L -функциям, связанным с мотивами Чоу над числовыми полями ), разделение на два, отражающее вопросы:
- как заменить в формуле Лейбница каким-то другим «трансцендентным» числом (независимо от того, возможно ли в настоящее время теории трансцендентных чисел предоставить доказательство трансцендентности); и
- как обобщить рациональный множитель в формуле (номер класса, разделенный на количество корней из единицы) некоторой алгебраической конструкцией рационального числа, которая будет представлять собой отношение значения L -функции к «трансцендентному» множителю.
Дополнительные пояснения даны для целочисленных значений для которых формулы такого типа, включающие можно ожидать, что он удержится.
Гипотезы для (а) называются гипотезами Бейлинсона , для Александра Бейлинсона . [1] [2] Идея состоит в том, чтобы абстрагироваться от регулятора числового поля до некоторого «высшего регулятора» ( регулятор Бейлинсона ), определителя, построенного на реальном векторном пространстве, пришедшего из алгебраической К-теории .
Гипотезы для (b) называются гипотезами Блоха–Като для специальных значений (для Спенсера Блоха и Казуи Като ; этот круг идей отличается от гипотезы Блоха–Като K-теории, расширяющей гипотезу Милнора , доказательство которой было объявлено в 2009 году). Их также называют гипотезой числа Тамагавы , название, возникшее из гипотезы Берча-Суиннертона-Дайера и ее формулировки как эллиптической кривой аналога проблемы числа Тамагавы для линейных алгебраических групп . [3] В дальнейшем расширении была сформулирована гипотеза эквивариантного числа Тамагавы (ETNC), чтобы закрепить связь этих идей с теорией Ивасавы и ее так называемой Основной гипотезой .
Текущий статус
[ редактировать ]Известно, что все эти гипотезы верны лишь в особых случаях.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Кингс, Гвидо (2003), «Гипотеза Блоха – Като о специальных значениях L -функций. Обзор известных результатов» , Journal de theorie des nombres de Bordeaux , 15 (1): 179–198, doi : 10.5802/jtnb .396 , ISSN 1246-7405 , МР 2019010
- «Гипотезы Бейлинсона» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- «К-функтор в алгебраической геометрии» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Матар, Ричард Дж. (2010), «Таблица L-рядов Дирихле и простых дзета-функций для малых модулей», arXiv : 1008.2547 [ math.NT ]