Теория Ивасавы

В чисел теории теория Ивасавы представляет собой исследование объектов, представляющих арифметический интерес, над бесконечными башнями числовых полей . Это началось как модулей Галуа теория групп идеальных классов , инициированная Кенкичи Ивасавой ( 1959 ) ( 岩澤 健吉 ), как часть теории круговых полей . В начале 1970-х годов Барри Мазур рассматривал обобщения теории Ивасавы на абелевы многообразия . Совсем недавно (начало 1990-х годов) Ральф Гринберг предложил теорию мотивов Ивасавы .

Формулировка [ править ]

Ивасава работал с так называемыми -extensions: бесконечные расширения числового поля. с группой Галуа изоморфна аддитивной группе целых p-адических чисел для некоторого простого p . (Они назывались -расширения в ранних статьях. [1] ) Каждая замкнутая подгруппа имеет форму поэтому, согласно теории Галуа, -расширение это то же самое, что башня полей

такой, что Ивасава изучал классические модули Галуа задавая вопросы о структуре модулей

В более общем смысле, теория Ивасавы задает вопросы о структуре модулей Галуа над расширениями с группой Галуа, являющейся p-адической группой Ли .

Пример [ править ]

Позволять быть простым числом и пусть быть полем, сгенерированным по корни единства. Ивасава рассмотрел следующую башню числовых полей:

где поле, порожденное присоединением к п п +1 -ые корни единства и

Тот факт, что подразумевает, согласно бесконечной теории Галуа, что Чтобы получить интересный модуль Галуа, Ивасава взял идеальную группу классов: , и пусть быть его p -торсионной частью. Есть норм . карты в любое время , и это дает нам данные обратной системы . Если мы установим

то из конструкции обратного предела нетрудно увидеть, что это модуль над Фактически, является модулем над алгеброй Ивасавы . Это двумерное , регулярное локальное кольцо и это позволяет описывать над ним модули. Из этого описания можно восстановить информацию о p -части группы классов

Мотивация здесь в том, что p -кручение в идеальной группе классов уже было названо Куммером главным препятствием на пути прямого доказательства Великой теоремы Ферма .

Связи с p анализом адическим -

С этого момента, в 1950-е годы, была создана содержательная теория. Была замечена фундаментальная связь между теорией модулей и p-адическими L-функциями , которые были определены в 1960-х годах Куботой и Леопольдтом. Последние начинаются с чисел Бернулли и используют интерполяцию для определения p-адических аналогов L-функций Дирихле . Стало ясно, что у теории есть перспективы, наконец, продвинуться вперед по сравнению с результатами Куммера столетней давности о регулярных простых числах .

Ивасава сформулировал основную гипотезу теории Ивасавы как утверждение о том, что два метода определения p-адических L-функций (по теории модулей, путем интерполяции) должны совпадать, если это корректно определено. Это было доказано Мазуром и Уайлсом (1984) для и для всех полностью действительных числовых полей Уайлса (1990) . Эти доказательства были созданы по образцу доказательства Кена Рибета , обратного теореме Эрбрана (так называемая теорема Эрбрана-Рибе ).

Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура-Уайлса, используя системы Эйлера Колывагина , описанные в Lang (1990) и Washington (1997) , а позже доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.

Обобщения [ править ]

Группу Галуа бесконечной башни, стартовое поле и тип изучаемого арифметического модуля можно варьировать. В каждом случае существует основная гипотеза, связывающая башню с p -адической L-функцией.

В 2002 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан о доказательстве основной гипотезы GL заявили (2). В 2010 году они опубликовали препринт ( Skinner & Urban 2010 ).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники

Цитаты

  1. ^ Гринберг, Ральф. «Воспоминания о профессоре Ивасаве» . Проверено 25 сентября 2021 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • де Шалит, Эхуд (1987), теория Ивасавы эллиптических кривых с комплексным умножением. p -адические L- функции , Перспективы математики, вып. 3, Бостон и др.: Academic Press, ISBN.  978-0-12-210255-4 , Збл   0674.12004

Внешние ссылки [ править ]