Теория Ивасавы
В чисел теории теория Ивасавы представляет собой исследование объектов, представляющих арифметический интерес, над бесконечными башнями числовых полей . Это началось как модулей Галуа теория групп идеальных классов , инициированная Кенкичи Ивасавой ( 1959 ) ( 岩澤 健吉 ), как часть теории круговых полей . В начале 1970-х годов Барри Мазур рассматривал обобщения теории Ивасавы на абелевы многообразия . Совсем недавно (начало 1990-х годов) Ральф Гринберг предложил теорию мотивов Ивасавы .
Формулировка [ править ]
Ивасава работал с так называемыми -extensions: бесконечные расширения числового поля. с группой Галуа изоморфна аддитивной группе целых p-адических чисел для некоторого простого p . (Они назывались -расширения в ранних статьях. [1] ) Каждая замкнутая подгруппа имеет форму поэтому, согласно теории Галуа, -расширение это то же самое, что башня полей
такой, что Ивасава изучал классические модули Галуа задавая вопросы о структуре модулей
В более общем смысле, теория Ивасавы задает вопросы о структуре модулей Галуа над расширениями с группой Галуа, являющейся p-адической группой Ли .
Пример [ править ]
Позволять быть простым числом и пусть быть полем, сгенерированным по корни единства. Ивасава рассмотрел следующую башню числовых полей:
где поле, порожденное присоединением к п п +1 -ые корни единства и
Тот факт, что подразумевает, согласно бесконечной теории Галуа, что Чтобы получить интересный модуль Галуа, Ивасава взял идеальную группу классов: , и пусть быть его p -торсионной частью. Есть норм . карты в любое время , и это дает нам данные обратной системы . Если мы установим
то из конструкции обратного предела нетрудно увидеть, что это модуль над Фактически, является модулем над алгеброй Ивасавы . Это двумерное , регулярное локальное кольцо и это позволяет описывать над ним модули. Из этого описания можно восстановить информацию о p -части группы классов
Мотивация здесь в том, что p -кручение в идеальной группе классов уже было названо Куммером главным препятствием на пути прямого доказательства Великой теоремы Ферма .
Связи с p анализом адическим -
С этого момента, в 1950-е годы, была создана содержательная теория. Была замечена фундаментальная связь между теорией модулей и p-адическими L-функциями , которые были определены в 1960-х годах Куботой и Леопольдтом. Последние начинаются с чисел Бернулли и используют интерполяцию для определения p-адических аналогов L-функций Дирихле . Стало ясно, что у теории есть перспективы, наконец, продвинуться вперед по сравнению с результатами Куммера столетней давности о регулярных простых числах .
Ивасава сформулировал основную гипотезу теории Ивасавы как утверждение о том, что два метода определения p-адических L-функций (по теории модулей, путем интерполяции) должны совпадать, если это корректно определено. Это было доказано Мазуром и Уайлсом (1984) для и для всех полностью действительных числовых полей Уайлса (1990) . Эти доказательства были созданы по образцу доказательства Кена Рибета , обратного теореме Эрбрана (так называемая теорема Эрбрана-Рибе ).
Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура-Уайлса, используя системы Эйлера Колывагина , описанные в Lang (1990) и Washington (1997) , а позже доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.
Обобщения [ править ]
Группу Галуа бесконечной башни, стартовое поле и тип изучаемого арифметического модуля можно варьировать. В каждом случае существует основная гипотеза, связывающая башню с p -адической L-функцией.
В 2002 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан о доказательстве основной гипотезы GL заявили (2). В 2010 году они опубликовали препринт ( Skinner & Urban 2010 ).
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
Источники
- Коутс, Дж .; Суджата, Р. (2006), Циклотомные поля и дзета-значения , Монографии Springer по математике, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33068-4 , Збл 1100.11002
- Гринберг, Ральф (2001), «Теория Ивасавы — прошлое и настоящее» , в Мияке, Кацуя (ред.), Теория поля классов — ее столетие и перспективы (Токио, 1998) , Adv. Стад. Чистая математика., вып. 30, Токио: Матем. Соц. Япония, стр. 335–385, ISBN. 978-4-931469-11-2 , МР 1846466 , Збл 0998.11054
- Ивасава, Кенкичи (1959), «О Γ-расширениях полей алгебраических чисел», Бюллетень Американского математического общества , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN 0002 -9904 , МР 0124316 , Збл 0089.02402
- Като, Казуя (2007), «Теория и обобщения Ивасавы» (PDF) , в Санс-Соле, Марта ; Сория, Хавьер; Варона, Джон Луи; и др. (ред.), Международный конгресс математиков. Том. Я , Евр. Математика. Soc., Цюрих, стр. 1-14. 335–357, номер домена : 10.4171/022-1/14 , ISBN. 978-3-03719-022-7 , MR 2334196 , заархивировано из оригинала (PDF) 22 сентября 2017 г. , получено 8 мая 2011 г.
- Ланг, Серж (1990), Циклотомические поля I и II , Тексты для аспирантов по математике , том. 121, С приложением Карла Рубина (объединенное 2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-96671-7 , Збл 0704.11038
- Мазур, Барри ; Уайлс, Эндрю (1984), «Поля классов абелевых расширений Q », Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330, Bibcode : 1984InMat..76..179M , doi : 10.1007/BF01388599 , ISSN 0020-9910 , МР 0742853 , С2КИД 122576427 , Збл 0545.12005
- Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей , Основы математических наук, том. 323 (второе изд.), Берлин: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-3-540-37889-1 , ISBN. 978-3-540-37888-4 , МР 2392026 , Збл 1136.11001
- Рубин, Карл (1991), «Основные гипотезы» теории Ивасавы для мнимых квадратичных полей», Inventiones Mathematicae , 103 (1): 25–68, Bibcode : 1991InMat.103...25R , doi : 10.1007/BF01239508 , ISSN 0020-9910 , S2CID 120179735 , Збл 0737.11030
- Скиннер, Крис; Урбан, Эрик (2010), Основные гипотезы Ивасавы для GL 2 (PDF) , стр. 219
- Вашингтон, Лоуренс К. (1997), Введение в круговые поля , Тексты для аспирантов по математике, том. 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
- Уайлс, Эндрю (1990), «Гипотеза Ивасавы для полностью реальных полей», Annals of Mathematics , 131 (3): 493–540, doi : 10.2307/1971468 , JSTOR 1971468 , Zbl 0719.11071 .
Цитаты
- ^ Гринберг, Ральф. «Воспоминания о профессоре Ивасаве» . Проверено 25 сентября 2021 г.
Дальнейшее чтение [ править ]
- де Шалит, Эхуд (1987), теория Ивасавы эллиптических кривых с комплексным умножением. p -адические L- функции , Перспективы математики, вып. 3, Бостон и др.: Academic Press, ISBN. 978-0-12-210255-4 , Збл 0674.12004
Внешние ссылки [ править ]
- «Теория Ивасавы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]