Автоморфная L -функция

В математике автоморфная π L -функция — это функция L ( s ,π, r ) комплексной переменной s , связанная с автоморфным представлением редуктивной группы G над полем и конечномерным комплексным представлением r глобальным Двойная группа Ленглендса ^л G of G , обобщающий L-ряд Дирихле характера Дирихле и преобразование Меллина модулярной формы . Они были представлены Ленглендсом ( 1967 , 1970 , 1971 ).

Борель (1979) и Артур и Гелбарт (1991) дали обзоры автоморфных L-функций.

Свойства

Автоморфный $L$-функции должны обладать следующими свойствами (которые в некоторых случаях доказаны, но в других случаях остаются гипотетическими).

L-функция $L(s,\pi ,r)$ должен быть продукт на местах $v$ из $F$ местных $L$ функции.

$L(s,\pi ,r)=\prod _{v}L(s,\pi _{v},r_{v})$

Здесь автоморфное представление $\pi =\otimes \pi _{v}$ является тензорным произведением представлений $\pi _{v}$ местных групп.

Ожидается, что L-функция будет иметь аналитическое продолжение как мероморфная функция всех комплексных $s$, и удовлетворяют функциональному уравнению

$L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,\pi ,r^{\lor })$

где фактор $\epsilon (s,\pi ,r)$ является продуктом «локальных констант»

$\epsilon (s,\pi ,r)=\prod _{v}\epsilon (s,\pi _{v},r_{v},\psi _{v})$

почти все из них 1.

Общие линейные группы

Годеман и Жаке (1972) построили автоморфные L-функции для общих линейных групп со стандартным представлением (так называемые стандартные L-функции ) и проверили аналитическое продолжение и функциональное уравнение, используя обобщение метода, изложенного в диссертации Тейта . В программе Ленглендса повсеместно встречаются произведения Ранкина-Сельберга представлений GL(m) и GL(n). Полученные L-функции Ранкина-Сельберга удовлетворяют ряду аналитических свойств, их функциональное уравнение впервые доказывается методом Ленглендса-Шахиди .

В общем, гипотезы о функториальности Ленглендса подразумевают, что автоморфные L-функции связной редуктивной группы равны произведениям автоморфных L-функций общих линейных групп. Доказательство функториальности Ленглендса также привело бы к глубокому пониманию аналитических свойств автоморфных L-функций.

См. также

• Гипотеза Большого Римана

Ссылки

• Артур, Джеймс; Гелбарт, Стивен (1991), «Лекции по автоморфным L-функциям», Коутс, Джон; Тейлор, М.Дж. (ред.), L-функции и арифметика (Дарем, 1989) (PDF) , London Math. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 153, Cambridge University Press , стр. 1–59, номер номера : 10.1017/CBO9780511526053.003 , ISBN.  978-0-521-38619-7 , МР   1110389
• Борель, Арманд (1979), «Автоморфные L-функции», в Борель, Арманд ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Университет штата Орегон, Корваллис, Орегон, 1977), Часть 2 , том. XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 27–61, doi : 10.1090/pspum/033.2/546608 , ISBN  978-0-8218-1437-6 , МР   0546608
• Когделл, Джеймс В.; Ким, Генри Х.; Мурти, Марути Рам (2004), Лекции по автоморфным L-функциям , Монографии Института Филдса, том. 20, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3516-6 , МР   2071722
• Гелбарт, Стивен ; Пятецкий-Шапиро, Илья; Раллис, Стивен (1987), Явные конструкции автоморфных L-функций , Конспект лекций по математике, том. 1254, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0078125 , ISBN.  978-3-540-17848-4 , МР   0892097
• Годемент, Роджер ; Жаке, Эрве (1972), Дзета-функции простых алгебр , Конспект лекций по математике, том. 260, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0070263 , ISBN.  978-3-540-05797-0 , МР   0342495
• Жаке, Х.; Пятецкий-Шапиро, II; Шалика, Дж. А. (1983), «Извилины Рэнкина-Сельберга», амер. Дж. Математика. , 105 (2): 367–464, номер документа : 10.2307/2374264 , JSTOR   2374264.
• Ленглендс, Роберт (1967), Письмо профессору Вейлю
• Ленглендс, Р.П. (1970), «Проблемы теории автоморфных форм», Лекции по современному анализу и приложениям, III , Конспекты лекций по математике, том. 170, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN.  978-3-540-05284-5 , МР   0302614
• Ленглендс, Роберт П. (1971) [1967], Продукты Эйлера , издательство Йельского университета, ISBN  978-0-300-01395-5 , МР   0419366
• Шахиди, Ф. (1981), «О некоторых «L»-функциях», Amer. Дж. Математика. , 103 (2): 297–355, номер документа : 10.2307/2374219 , JSTOR   2374219.