Дирихле L -функция

В математике Дирихле — это L -ряд функция вида

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

где $\chi$ является характером Дирихле и переменной комплексной больше с действительной частью 1. Это частный случай ряда Дирихле . Аналитическим продолжением ее можно расширить до мероморфной функции на всей комплексной плоскости , и тогда она называется Дирихле L -функцией и также обозначается L ( s , χ ).

Эти функции названы в честь Питера Густава Лежена Дирихле, который ввел их в ( Дирихле, 1837 ) для доказательства теоремы о простых числах в арифметических прогрессиях , которая также носит его имя. В ходе доказательства Дирихле показывает, что L ( s , χ ) отлична от нуля при s = 1. Более того, если χ главная, то соответствующая L -функция Дирихле имеет простой полюс в точке s = 1. В противном случае функция L - целая .

произведение Эйлера

Поскольку характер Дирихле χ , вполне мультипликативен его L -функция также может быть записана как произведение Эйлера в полуплоскости сходимости абсолютной :

$L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,$

где произведение находится по всем простым числам .

Примитивные персонажи

Результаты, касающиеся L -функций, часто излагаются проще, если предполагается, что иероглиф примитивен, хотя результаты обычно можно распространить на импримитивные иероглифы с небольшими осложнениями. Это происходит из-за связи между импримитивным персонажем $\chi$ и примитивный характер $\chi ^{\star }$ что вызывает это:

$\chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}$

(Здесь q — модуль х .) Применение произведения Эйлера дает простую связь между соответствующими L -функциями:

$L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)$

(Эта формула верна для всех s , в силу аналитического продолжения, даже несмотря на то, что произведение Эйлера действительно только тогда, когда Re( s ) > 1.) Формула показывает, что L -функция х равна L -функции примитивного характера что индуцирует χ , умноженное только на конечное число множителей.

В частном случае L -функция главного характера $\chi _{0}$ по модулю q можно выразить через дзета-функцию Римана :

$L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s})$

Функциональное уравнение

-функции Дирихле L удовлетворяют функциональному уравнению , которое позволяет аналитически продолжить их по всей комплексной плоскости. Функциональное уравнение связывает значение $L(s,\chi )$ к значению $L(1-s,{\overline {\chi }})$. Пусть χ — примитивный характер по модулю q , где q > 1. Один из способов выразить функциональное уравнение:

$L(s,\chi )=W(\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+\delta )\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}).$

В этом уравнении Γ обозначает гамма-функцию ;

$\chi (-1)=(-1)^{\delta }$ ; и

$W(\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{\delta }{\sqrt {q}}}}$

где τ ( χ ) — сумма Гаусса :

$\tau (\chi )=\sum _{a=1}^{q}\chi (a)\exp(2\pi ia/q).$

Это свойство сумм Гаусса, что | τ ( χ ) | = q ^1/2 , вот так | W ( х ) | = 1.

Другой способ сформулировать функциональное уравнение — через

$\Lambda (s,\chi )=q^{s/2}\pi ^{-(s+\delta )/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+\delta }{2}}\right)L(s,\chi ).$

Функциональное уравнение можно выразить как:

$\Lambda (s,\chi )=W(\chi )\Lambda (1-s,{\overline {\chi }}).$

Из функционального уравнения следует, что $L(s,\chi )$ (и $\Lambda (s,\chi )$ являются целыми функциями s ) . (Опять же, это предполагает, что χ является примитивным характером по модулю q с q > 1. Если q = 1, то $L(s,\chi )=\zeta (s)$ имеет полюс в точке s = 1.)

Обобщения см.: Функциональное уравнение (L-функция) .

Нули

Дирихле L -функция L ( s , χ ) знак равно 1 - 3 ^{− с} + 5 ^{− с} − 7 ^{− с} + ⋅⋅⋅ (иногда дается специальное название бета-функция Дирихле ), с тривиальными нулями в отрицательных нечетных целых числах

Пусть χ — примитивный характер по модулю q , причем q > 1.

Не существует нулей L ) > 1. Для ( s , χ ) с Re( s Re( s ) <0 существуют нули в некоторых отрицательных целых числах s :

• Если χ (−1) = 1, единственные нули L ( s , χ ) с Re( s ) < 0 являются простыми нулями в точках -2, -4, -6, .... (Существует также нуль в точке s = 0.) Они соответствуют полюсам $\textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})$.
• Если χ (−1) = −1, то единственные нули L ( s , χ ) с Re( s ) < 0 являются простыми нулями в точках −1, −3, −5, .... Они соответствуют полюсам из $\textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})$.

Их называют тривиальными нулями.

Остальные нули лежат в критической полосе 0 ⩽ Re( s ) ⩽ 1 и называются нетривиальными нулями. Нетривиальные нули симметричны относительно критической линии Re( s ) = 1/2. То есть, если $L(\rho ,\chi )=0$ затем $L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0$ тоже из-за функционального уравнения. Если χ — вещественный характер, то нетривиальные нули также симметричны относительно вещественной оси, но не в том случае, если χ — комплексный характер. Обобщенная гипотеза Римана — это гипотеза о том, что все нетривиальные нули лежат на критической прямой Re( s ) = 1/2.

Вплоть до возможного существования нуля Зигеля -функций Дирихле существуют области без нуля, включающие и за пределами прямой Re( s ) = 1, аналогичные области дзета-функции Римана , как известно, для всех L : например, для χ a невещественный характер модуля q , имеем

$\beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\$

для β + iγ невещественный нуль.

Связь с дзета-функцией Гурвица

-функции Дирихле L можно записать как линейную комбинацию дзета-функции Гурвица при рациональных значениях. Зафиксировав целое число k -функции Дирихле ≥ 1, L для персонажей по модулю k представляют собой линейные комбинации с постоянными коэффициентами ζ ( s , a ), где a = r / k и r = 1, 2, ..., k . Это означает, что дзета-функция Гурвица для рационального a обладает аналитическими свойствами, тесно связанными с L -функциями Дирихле. В частности, пусть χ — характер по модулю k . -функцию Дирихле Тогда мы можем записать L как:

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).$

См. также

• Обобщенная гипотеза Римана
• L-функция
• Теорема модульности
• Гипотеза Артина
• Специальные значения L-функций

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001
• Апостол, ТМ (2010), «L-функция Дирихле» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Давенпорт, Х. (2000). Мультипликативная теория чисел (3-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-95097-4 .
• Дирихле, ПГЛ (1837). «Доказательство теоремы о том, что каждая неограниченная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой являются целыми числами без общего множителя, содержит бесконечно много простых чисел». Абханд. Ак. Знать. Берлин . 48 .
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.). Спрингер-Верлаг.
• Монтгомери, Хью Л .; Воган, Роберт С. (2006). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-84903-6 .
• Иванец, Хенрик ; Ковальски, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• «L-функция Дирихле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]