Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях

В теории чисел теорема Дирихле , также называемая теоремой Дирихле о простых числах , утверждает, что для любых двух положительных взаимно простых целых чисел a и d существует бесконечно много простых чисел вида a + nd , где n также является положительным целым числом. существует бесконечно много простых чисел конгруэнтных модулю d Другими словами , , . Числа вида a + nd образуют арифметическую прогрессию

a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ \dots ,\

а теорема Дирихле утверждает, что эта последовательность содержит бесконечно много простых чисел. Теорема, названная в честь Питера Густава Лежена Дирихле , расширяет теорему Евклида о том, что простых чисел бесконечно много. Более сильные формы теоремы Дирихле утверждают, что для любой такой арифметической прогрессии сумма обратных простых чисел в прогрессии расходится и что разные такие арифметические прогрессии с одним и тем же модулем имеют примерно одинаковые пропорции простых чисел. Эквивалентно, простые числа равномерно распределены (асимптотически) среди классов сравнения по модулю d, содержащих a , взаимно простое с d .

Примеры

Простые числа вида 4 n + 3 — это (последовательность A002145 в OEIS )

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, ...

Они соответствуют следующим значениям n : (последовательность A095278 в OEIS )

0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ...

Из сильной формы теоремы Дирихле следует, что

{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{47}}+{\frac {1}{59}}+{\frac {1}{67}}+\cdots

является расходящимся рядом .

Последовательности dn + a с нечетным d часто игнорируются, потому что половина чисел четная, а другая половина — те же числа, что и последовательность с 2 d , если мы начинаем с n = 0. Например, 6 n + 1 дает те же простые числа. как 3 n + 1, а 6 n + 5 дает то же, что и 3 n + 2, за исключением единственного четного простого числа 2. В следующей таблице перечислены несколько арифметических прогрессий с бесконечным количеством простых чисел и первыми несколькими в каждом из них.


Арифметика прогресс	Первые 10 из бесконечного множества простых чисел	OEIS Последовательность
2н 1 +	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …	А065091
4 н + 1	5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, …	А002144
4 н + 3	3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, …	А002145
6 н + 1	7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, …	А002476
6 н + 5	5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, …	А007528
8 н + 1	17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, …	А007519
8 н + 3	3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, …	А007520
8 н + 5	5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, …	А007521
8 н + 7	7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, …	А007522
10 н + 1	11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, …	А030430
10 н + 3	3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, …	А030431
10 н + 7	7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, …	А030432
10 н + 9	19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, …	А030433
12 н + 1	13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, ...	А068228
12 н + 5	5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, ...	А040117
12 н + 7	7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, ...	А068229
12 н + 11	11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, ...	А068231

Распределение

Поскольку простые числа в среднем уменьшаются в соответствии с теоремой о простых числах , то же самое должно быть справедливо и для простых чисел в арифметических прогрессиях. Естественно задаться вопросом о том, как простые числа распределяются между различными арифметическими прогрессиями для данного значения d (по сути, их существует d , если мы не различаем две прогрессии, имеющие почти все свои члены). Ответ дается в такой форме: количество возможных прогрессий по модулю d — тех, в которых a и d не имеют общего множителя > 1 — определяется функцией тотента Эйлера .

\varphi (d).\

Кроме того, доля простых чисел в каждом из них равна

{\frac {1}{\varphi (d)}}.\

Например, если d — простое число q , каждая из q − 1 прогрессий

q+1,2q+1,3q+1,\dots \

q+2,2q+2,3q+2,\dots \

\dots \

q+q-1,2q+q-1,3q+q-1,\dots \

(все кроме $q,2q,3q,\dots \$ )

содержит долю 1/( q простых чисел − 1).

По сравнению друг с другом прогрессии с квадратичным остатком без вычета обычно содержат немного больше элементов, чем прогрессии с квадратичным остатком ( смещение Чебышева ).

История

В 1737 году Эйлер связал изучение простых чисел с тем, что сейчас известно как дзета-функция Римана: он показал, что значение $\zeta (1)$ сводится к отношению двух бесконечных произведений Π p / Π ( p –1) для всех простых p и что это отношение бесконечно. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} В 1775 году Эйлер сформулировал теорему для случаев a + nd, где a = 1. ^{[ 3 ]} Этот частный случай теоремы Дирихле можно доказать с помощью круговых многочленов . ^{[ 4 ]} Общая форма теоремы была впервые предложена Лежандром в его безуспешных попытках доказательства квадратичной взаимности. ^{[ 5 ]} - как заметил Гаусс в своих «Арифметических исследованиях». ^{[ 6 ]} — но это было доказано Дирихле ( 1837 ) с помощью Дирихле L -серии . Доказательство основано на более ранней работе Эйлера, связывающей дзета-функцию Римана с распределением простых чисел. Теорема представляет собой начало строгой аналитической теории чисел .

Атле Сельберг ( 1949 ) дал элементарное доказательство .

Доказательство

Теорема Дирихле доказывается, показывая, что значение L-функции Дирихле (нетривиального характера ) в точке 1 не равно нулю. Доказательство этого утверждения требует некоторого исчисления и аналитической теории чисел ( Серр, 1973 ). Частный случай a = 1 (т.е. относящийся к простым числам, которые конгруэнтны 1 по модулю некоторого n ) может быть доказан путем анализа поведения расщепления простых чисел в круговых расширениях без использования исчисления ( Neukirch 1999 , §VII.6).

Обобщения

Гипотеза Буняковского обобщает теорему Дирихле на полиномы более высокой степени. Независимо от того, являются ли даже простые квадратичные многочлены, такие как x ² + 1 (известный из четвертой проблемы Ландау ) достигает бесконечного числа простых значений является важной открытой проблемой .

Гипотеза Диксона обобщает теорему Дирихле на более чем один полином.

Гипотеза Шинцеля H обобщает эти две гипотезы, т.е. обобщает более чем один полином со степенью больше единицы.

В алгебраической теории чисел теорема Дирихле обобщается на теорему Чеботарёва о плотности .

Теорема Линника (1944) касается размера наименьшего простого числа в данной арифметической прогрессии. Линник доказал, что прогрессия a + nd (по мере того, как n проходит через целые положительные числа) содержит простое число не более cd ^л для абсолютных констант c и L . Последующие исследователи снизили L до 5.

Аналог теоремы Дирихле имеет место в рамках динамических систем ( Т. Сунада и А. Кацуда, 1990).

Шиу показал, что любая арифметическая прогрессия, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, на самом деле будет содержать сколь угодно длинные серии последовательных простых чисел. ^{[ 7 ]}

См. также

Примечания

^ Эйлер, Леонард (1737). «Различные наблюдения о бесконечных рядах» [Различные наблюдения о бесконечных рядах]. Комментарии Императорской Петрополитанской академии наук 9 : 160–188. ; в частности, теорема 7 на с. 172–174.
^ Сандифер, К. Эдвард, Ранняя математика Леонарда Эйлера (Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 2007), стр. 253.
^ Леонард Эйлер, «О сумме ряда, образованного простыми числами 1/3 — 1/5 + 1/7 + 1/11 — 1/13 — 1/17 + 1/19 + 1/23 — 1/29». + 1/ 31 и т. д., где простые числа вида 4 n − 1 имеют положительный знак, а числа вида 4 n + 1 имеют отрицательный знак» (О сумме рядов, [составленных] из простых чисел числа расположены в следующем порядке: 1/3 – 1/5 + 1/7 + 1/11 – 1/13 – 1/17 + 1/19 + 1/23 – 1/29 + 1/31 и т. д., где простые числа формы 4 n - 1 имеют положительный знак, тогда как [формы] формы 4 n + 1 [имеют] отрицательный знак.) в: Леонард Эйлер, Opuscula Analytical (Санкт-Петербург, Россия: Императорская Академия наук, 1785), вып. 2, с. 240–256; см. стр. 241. Со с. 241: «Поскольку, кроме того, простые числа, кроме двоичных, по своей природе различаются на два класса в зависимости от того, имеют ли они либо форму 4n + 1, либо форму 4n − 1, тогда как все первые представляют собой суммы двух квадратов, тогда как последние совершенно исключены из этого свойства: образовались ряды обратных величин обоих классов, а именно: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + и т. д. и 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + и т.д. оба будут одинаково бесконечны, что справедливо и для всех видов простых чисел. Таким образом, если выбрать только те простые числа, которые имеют вид 100n + 1, например 101, 401, 601, 701 и т. д., то не только их совокупность будет бесконечной, но и сумма этого ряда, образованного из них, очевидно : 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + и т.д. ( Поскольку, кроме того, простые числа больше двух разделены как бы Природой на два класса, в зависимости от того, были ли они либо вида 4 n + 1, либо вида 4 n − 1, так как все первые являются суммами два квадрата, но последние полностью исключены из этого свойства: из обоих классов образуются обратные ряды, а именно: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + и т.д. и 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + и т.д. оба будут одинаково бесконечны, и это [свойство] также должно принадлежать всем типам простых чисел. Таким образом, если из простых чисел выбрать только те, которые имеют вид 100n + 1, к которым относятся 101, 401, 601, 701 и т. д., то не только множество их будет бесконечным, но и сумма из этого [набора] образовался ряд, а именно: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + и т.д. также оно бесконечно.)
^ Нойкирх (1999) , §I.10, Упражнение 1.
^
См.:
- Ле Жандр (1785) «Исследования интердетерминированного анализа», История Королевской академии наук, с мемуарами математиков и физиков , стр. 465–559; см. особенно стр. 552. Со с. 552: «34. Примечание . Возможно, было бы необходимо строго продемонстрировать то, что мы предполагали в нескольких местах этой статьи, а именно, что существует бесконечное число простых чисел, включенных во все арифметические прогрессии, первый член и причина которых просты между собой, или, что то же самое, в формуле 2mx + µ, когда 2m и µ не имеют общего делителя. Однако это утверждение довольно трудно доказать. мы можем убедиться в ее истинности, сравнивая рассматриваемую арифметическую прогрессию с обычной прогрессией 1, 3, 5, 7 и т. д. Если мы возьмем большое количество членов этих прогрессий, то в обеих будет одинаково, и если. расположим их, например, так, чтобы наибольший член был равен и находился в одном и том же месте с обеих сторон, мы увидим, что, опуская с каждой стороны кратные 3, 5, 7, и т. д. до определенного простого числа. p , il doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou même il en restera moins dans la Progression 1, 3, 5, 7 и т. д. Mais comme dans celle-ci, il reste nécessairement des nombres premiers, il en doit rester aussi dans l'autre» (34. Замечание . Возможно, придется строго доказать то, что мы предполагали в нескольких местах этой статьи: а именно, что существует бесконечное число простых чисел, включенных в каждую арифметическую прогрессию, первый член которой и общая разность взаимно просты, или, что то же самое, в формуле 2mx + µ, когда 2m и µ вообще не имеют общих делителей. Это утверждение довольно трудно доказать, однако можно быть уверенным в его истинности, сравнивая арифметическую прогрессию. считать обычной прогрессией 1, 3, 5, 7 и т. д. Если взять большое число членов этих прогрессий, то одинаковое [число членов] в обеих, и если расположить их, например, таким образом, чтобы самый большой член был равен и находился в одном и том же месте в обоих случаях, можно увидеть это, опуская из каждого числа, кратные 3, 5, 7 и т. д., до определенного простого числа; p , в обоих должно остаться одинаковое количество членов или даже их останется меньше в прогрессии 1, 3, 5, 7 и т. д. Но так как в этом [множестве] обязательно останутся простые числа, то должны также остаются некоторые в другом [наборе].)
- А. М. Лежандр, Очерк теории чисел (Париж, Франция: Дюпра, 1798), Введение, стр. 9–16. Из стр. 12: «XIX. … Вообще, а — любое заданное число, все нечетные числа можно представить формулой 4ax ± b, в которой b нечетно и меньше 2а. Если среди всех возможных значений b вычесть те, которые имеют общий делитель с а, остальные формы 4ax ± b будут включать в себя все общие простые числа,...» (XIX. ...В общем, если а — любое заданное число, все нечетные числа могут быть представлены формулой 4ax ± b , в котором b нечетно и меньше 2a . Если среди всех возможных значений b убрать те, которые имеют общий делитель с a , то остальные формулы 4ax ± b включают в себя все простые числа среди них…)
- А. М. Лежандр, Очерк теории чисел , 2-е изд. (Париж, Франция: Курсье, 1808), с. 404. Со с. 404: «Дана любая арифметическая прогрессия A — C, 2A — C, 3A — C и т. д., в которой A и C взаимно просты; также дана последовательность θ, λ, µ… ψ, ω, состоящая из k нечетных простых чисел , взятые произвольно и расположенные в любом порядке, если мы вообще называем π; ^(С) буква z ^й член натуральной последовательности простых чисел 3, 5, 7, 11 и т. д., я говорю, что на π ^(к-1) consécutifs члены предлагаемой прогрессии, y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun des nombres premiers θ, λ, µ… ψ, ω». (Пусть задана любая арифметическая прогрессия A − C , 2 A − C , 3 A − C и т. д., в которых A и C просты между собой [т. е. Coverme]; ряды θ, λ, µ… ψ, ω, составленные из k нечетных простых чисел, взятых произвольно и расположенных в любом порядке; ^{( С )} буква z ^й член натурального ряда простых чисел 3, 5, 7, 11 и т. д., я утверждаю, что среди π ^{( к -1)} последовательных членов предлагаемой прогрессии, будет по крайней мере один из них, который не будет делиться ни на одно из простых чисел θ, λ, µ… ψ, ω.) Это утверждение было опровергнуто в 1858 году Антаназом Луи Дюпре (1808). –1869). Видеть:
- Дюпре, А. (1859) Исследование предложения Лежандра относительно теории чисел (Париж, Франция: Малле-Башелье, 1859).
- Наркевич, Владислав, Развитие теории простых чисел: от Евклида до Харди и Литтлвуда (Берлин, Германия: Springer, 2000); см. особенно стр. 50.
^ Карл Фридрих Гаусс, Арифметические исследования (Лейпциг, (Германия): Герхард Флейшер-младший, 1801), раздел 297, стр. 507–508. Из пп. 507–508: «Илл. Сам Ле Жандр признает, что демонстрация теоремы в такой форме, как kt + l , учитывая k и l как простые числа между собой, а t неопределенный, чтобы наверняка содержать простые числа, кажется довольно труден, и он, кстати, добавляет метод, который, как нам кажется, требует многих предварительных исследований, прежде чем этим путем можно будет прийти к строгому доказательству». (Сам прославленный Ле Жандр признает, [что] доказательство теоремы — [а именно, что] среди [целых чисел] вида kt + l , [где] k и l обозначают данные целые числа, [которые] являются простыми между собой [т.е. , взаимно-простые] [и] t обозначает переменную, несомненно, в ней содержатся простые числа — кажется достаточно трудным, и, между прочим, он указывает на метод, который, возможно, мог бы привести к этому, однако, многие предварительные и; необходимые исследования [предвидены] нами, прежде чем эта [гипотеза] действительно сможет достичь пути к строгому доказательству.)
^ Шиу, ДКЛ (2000). «Строки совпадающих простых чисел». Дж. Лондон Математика. Соц . 61 (2): 359–373. дои : 10.1112/s0024610799007863 .

Ссылки

Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , МР 0434929 , Збл 0335.10001
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Дирихле» . Математический мир .
Крис Колдуэлл, «Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях» на сайте Prime Pages .
Дирихле, П.Г.Л. (1837), теоремы о том, что всякая неограниченная арифметическая прогрессия, первый член которой и «Доказательство общие разности являются целыми числами без общих множителей, содержит бесконечно много простых чисел», трактаты Королевской прусской академии наук в Берлине , 48 : 45–71
Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел. Переведено с немецкого оригинала 1992 года и с примечанием Норберта Шаппахера , «Фундаментальные принципы математических наук», том. 322, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6 , МР 1697859 , Збл 0956.11021 .
Сельберг, Атле (1949), «Элементарное доказательство теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии», Annals of Mathematics , 50 (2): 297–304, doi : 10.2307/1969454 , JSTOR 1969454 , Zbl 0036.30603 .
Серр, Жан-Пьер (1973), Курс арифметики , Тексты для аспирантов по математике , том. 7, Нью-Йорк; Гейдельберг; Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90040-3 , Збл 0256.12001 .
Сунада, Тошиказу ; Кацуда, Ацуши (1990), «Замкнутые орбиты в классах гомологии» , Опубл. Математика. IHÉS , 71 : 5–32, doi : 10.1007/BF02699875 , S2CID 26251216 .

Внешние ссылки

Сканы оригинальной статьи на немецком языке.
Дирихле: Во всех арифметических прогрессиях существует бесконечно много простых чисел, причем первый член и разность взаимно простые. Английский перевод оригинальной статьи на arXiv.
Теорема Дирихле Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Вольфрама .

[1] Эйлер, Леонард (1737). «Различные наблюдения о бесконечных рядах» [Различные наблюдения о бесконечных рядах]. Комментарии Императорской Петрополитанской академии наук 9 : 160–188. ; в частности, теорема 7 на с. 172–174.

[2] Сандифер, К. Эдвард, Ранняя математика Леонарда Эйлера (Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 2007), стр. 253.

[3] Леонард Эйлер, «О сумме ряда, образованного простыми числами 1/3 — 1/5 + 1/7 + 1/11 — 1/13 — 1/17 + 1/19 + 1/23 — 1/29». + 1/ 31 и т. д., где простые числа вида 4 n − 1 имеют положительный знак, а числа вида 4 n + 1 имеют отрицательный знак» (О сумме рядов, [составленных] из простых чисел числа расположены в следующем порядке: 1/3 – 1/5 + 1/7 + 1/11 – 1/13 – 1/17 + 1/19 + 1/23 – 1/29 + 1/31 и т. д., где простые числа формы 4 n - 1 имеют положительный знак, тогда как [формы] формы 4 n + 1 [имеют] отрицательный знак.) в: Леонард Эйлер, Opuscula Analytical (Санкт-Петербург, Россия: Императорская Академия наук, 1785), вып. 2, с. 240–256; см. стр. 241. Со с. 241: «Поскольку, кроме того, простые числа, кроме двоичных, по своей природе различаются на два класса в зависимости от того, имеют ли они либо форму 4n + 1, либо форму 4n − 1, тогда как все первые представляют собой суммы двух квадратов, тогда как последние совершенно исключены из этого свойства: образовались ряды обратных величин обоих классов, а именно: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + и т. д. и 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + и т.д. оба будут одинаково бесконечны, что справедливо и для всех видов простых чисел. Таким образом, если выбрать только те простые числа, которые имеют вид 100n + 1, например 101, 401, 601, 701 и т. д., то не только их совокупность будет бесконечной, но и сумма этого ряда, образованного из них, очевидно : 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + и т.д. ( Поскольку, кроме того, простые числа больше двух разделены как бы Природой на два класса, в зависимости от того, были ли они либо вида 4 n + 1, либо вида 4 n − 1, так как все первые являются суммами два квадрата, но последние полностью исключены из этого свойства: из обоих классов образуются обратные ряды, а именно: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + и т.д. и 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + и т.д. оба будут одинаково бесконечны, и это [свойство] также должно принадлежать всем типам простых чисел. Таким образом, если из простых чисел выбрать только те, которые имеют вид 100n + 1, к которым относятся 101, 401, 601, 701 и т. д., то не только множество их будет бесконечным, но и сумма из этого [набора] образовался ряд, а именно: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + и т.д. также оно бесконечно.)

[FOOTNOTENeukirch1999§I.10,_Exercise_1-4] Нойкирх (1999) , §I.10, Упражнение 1.

[5] См.:
Ле Жандр (1785) «Исследования интердетерминированного анализа», История Королевской академии наук, с мемуарами математиков и физиков , стр. 465–559; см. особенно стр. 552. Со с. 552: «34. Примечание . Возможно, было бы необходимо строго продемонстрировать то, что мы предполагали в нескольких местах этой статьи, а именно, что существует бесконечное число простых чисел, включенных во все арифметические прогрессии, первый член и причина которых просты между собой, или, что то же самое, в формуле 2mx + µ, когда 2m и µ не имеют общего делителя. Однако это утверждение довольно трудно доказать. мы можем убедиться в ее истинности, сравнивая рассматриваемую арифметическую прогрессию с обычной прогрессией 1, 3, 5, 7 и т. д. Если мы возьмем большое количество членов этих прогрессий, то в обеих будет одинаково, и если. расположим их, например, так, чтобы наибольший член был равен и находился в одном и том же месте с обеих сторон, мы увидим, что, опуская с каждой стороны кратные 3, 5, 7, и т. д. до определенного простого числа. p , il doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou même il en restera moins dans la Progression 1, 3, 5, 7 и т. д. Mais comme dans celle-ci, il reste nécessairement des nombres premiers, il en doit rester aussi dans l'autre» (34. Замечание . Возможно, придется строго доказать то, что мы предполагали в нескольких местах этой статьи: а именно, что существует бесконечное число простых чисел, включенных в каждую арифметическую прогрессию, первый член которой и общая разность взаимно просты, или, что то же самое, в формуле 2mx + µ, когда 2m и µ вообще не имеют общих делителей. Это утверждение довольно трудно доказать, однако можно быть уверенным в его истинности, сравнивая арифметическую прогрессию. считать обычной прогрессией 1, 3, 5, 7 и т. д. Если взять большое число членов этих прогрессий, то одинаковое [число членов] в обеих, и если расположить их, например, таким образом, чтобы самый большой член был равен и находился в одном и том же месте в обоих случаях, можно увидеть это, опуская из каждого числа, кратные 3, 5, 7 и т. д., до определенного простого числа; p , в обоих должно остаться одинаковое количество членов или даже их останется меньше в прогрессии 1, 3, 5, 7 и т. д. Но так как в этом [множестве] обязательно останутся простые числа, то должны также остаются некоторые в другом [наборе].)

А. М. Лежандр, Очерк теории чисел (Париж, Франция: Дюпра, 1798), Введение, стр. 9–16. Из стр. 12: «XIX. … Вообще, а — любое заданное число, все нечетные числа можно представить формулой 4ax ± b, в которой b нечетно и меньше 2а. Если среди всех возможных значений b вычесть те, которые имеют общий делитель с а, остальные формы 4ax ± b будут включать в себя все общие простые числа,...» (XIX. ...В общем, если а — любое заданное число, все нечетные числа могут быть представлены формулой 4ax ± b , в котором b нечетно и меньше 2a . Если среди всех возможных значений b убрать те, которые имеют общий делитель с a , то остальные формулы 4ax ± b включают в себя все простые числа среди них…)

А. М. Лежандр, Очерк теории чисел , 2-е изд. (Париж, Франция: Курсье, 1808), с. 404. Со с. 404: «Дана любая арифметическая прогрессия A — C, 2A — C, 3A — C и т. д., в которой A и C взаимно просты; также дана последовательность θ, λ, µ… ψ, ω, состоящая из k нечетных простых чисел , взятые произвольно и расположенные в любом порядке, если мы вообще называем π; ^(С) буква z ^й член натуральной последовательности простых чисел 3, 5, 7, 11 и т. д., я говорю, что на π ^(к-1) consécutifs члены предлагаемой прогрессии, y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun des nombres premiers θ, λ, µ… ψ, ω». (Пусть задана любая арифметическая прогрессия A − C , 2 A − C , 3 A − C и т. д., в которых A и C просты между собой [т. е. Coverme]; ряды θ, λ, µ… ψ, ω, составленные из k нечетных простых чисел, взятых произвольно и расположенных в любом порядке; ^{( С )} буква z ^й член натурального ряда простых чисел 3, 5, 7, 11 и т. д., я утверждаю, что среди π ^{( к -1)} последовательных членов предлагаемой прогрессии, будет по крайней мере один из них, который не будет делиться ни на одно из простых чисел θ, λ, µ… ψ, ω.) Это утверждение было опровергнуто в 1858 году Антаназом Луи Дюпре (1808). –1869). Видеть:

Дюпре, А. (1859) Исследование предложения Лежандра относительно теории чисел (Париж, Франция: Малле-Башелье, 1859).

Наркевич, Владислав, Развитие теории простых чисел: от Евклида до Харди и Литтлвуда (Берлин, Германия: Springer, 2000); см. особенно стр. 50.

[6] Ле Жандр (1785) «Исследования интердетерминированного анализа», История Королевской академии наук, с мемуарами математиков и физиков , стр. 465–559; см. особенно стр. 552. Со с. 552: «34. Примечание . Возможно, было бы необходимо строго продемонстрировать то, что мы предполагали в нескольких местах этой статьи, а именно, что существует бесконечное число простых чисел, включенных во все арифметические прогрессии, первый член и причина которых просты между собой, или, что то же самое, в формуле 2mx + µ, когда 2m и µ не имеют общего делителя. Однако это утверждение довольно трудно доказать. мы можем убедиться в ее истинности, сравнивая рассматриваемую арифметическую прогрессию с обычной прогрессией 1, 3, 5, 7 и т. д. Если мы возьмем большое количество членов этих прогрессий, то в обеих будет одинаково, и если. расположим их, например, так, чтобы наибольший член был равен и находился в одном и том же месте с обеих сторон, мы увидим, что, опуская с каждой стороны кратные 3, 5, 7, и т. д. до определенного простого числа. p , il doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou même il en restera moins dans la Progression 1, 3, 5, 7 и т. д. Mais comme dans celle-ci, il reste nécessairement des nombres premiers, il en doit rester aussi dans l'autre» (34. Замечание . Возможно, придется строго доказать то, что мы предполагали в нескольких местах этой статьи: а именно, что существует бесконечное число простых чисел, включенных в каждую арифметическую прогрессию, первый член которой и общая разность взаимно просты, или, что то же самое, в формуле 2mx + µ, когда 2m и µ вообще не имеют общих делителей. Это утверждение довольно трудно доказать, однако можно быть уверенным в его истинности, сравнивая арифметическую прогрессию. считать обычной прогрессией 1, 3, 5, 7 и т. д. Если взять большое число членов этих прогрессий, то одинаковое [число членов] в обеих, и если расположить их, например, таким образом, чтобы самый большой член был равен и находился в одном и том же месте в обоих случаях, можно увидеть это, опуская из каждого числа, кратные 3, 5, 7 и т. д., до определенного простого числа; p , в обоих должно остаться одинаковое количество членов или даже их останется меньше в прогрессии 1, 3, 5, 7 и т. д. Но так как в этом [множестве] обязательно останутся простые числа, то должны также остаются некоторые в другом [наборе].)

[7] А. М. Лежандр, Очерк теории чисел (Париж, Франция: Дюпра, 1798), Введение, стр. 9–16. Из стр. 12: «XIX. … Вообще, а — любое заданное число, все нечетные числа можно представить формулой 4ax ± b, в которой b нечетно и меньше 2а. Если среди всех возможных значений b вычесть те, которые имеют общий делитель с а, остальные формы 4ax ± b будут включать в себя все общие простые числа,...» (XIX. ...В общем, если а — любое заданное число, все нечетные числа могут быть представлены формулой 4ax ± b , в котором b нечетно и меньше 2a . Если среди всех возможных значений b убрать те, которые имеют общий делитель с a , то остальные формулы 4ax ± b включают в себя все простые числа среди них…)

[8] А. М. Лежандр, Очерк теории чисел , 2-е изд. (Париж, Франция: Курсье, 1808), с. 404. Со с. 404: «Дана любая арифметическая прогрессия A — C, 2A — C, 3A — C и т. д., в которой A и C взаимно просты; также дана последовательность θ, λ, µ… ψ, ω, состоящая из k нечетных простых чисел , взятые произвольно и расположенные в любом порядке, если мы вообще называем π; ^(С) буква z ^й член натуральной последовательности простых чисел 3, 5, 7, 11 и т. д., я говорю, что на π ^(к-1) consécutifs члены предлагаемой прогрессии, y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun des nombres premiers θ, λ, µ… ψ, ω». (Пусть задана любая арифметическая прогрессия A − C , 2 A − C , 3 A − C и т. д., в которых A и C просты между собой [т. е. Coverme]; ряды θ, λ, µ… ψ, ω, составленные из k нечетных простых чисел, взятых произвольно и расположенных в любом порядке; ^{( С )} буква z ^й член натурального ряда простых чисел 3, 5, 7, 11 и т. д., я утверждаю, что среди π ^{( к -1)} последовательных членов предлагаемой прогрессии, будет по крайней мере один из них, который не будет делиться ни на одно из простых чисел θ, λ, µ… ψ, ω.) Это утверждение было опровергнуто в 1858 году Антаназом Луи Дюпре (1808). –1869). Видеть:

[9] Дюпре, А. (1859) Исследование предложения Лежандра относительно теории чисел (Париж, Франция: Малле-Башелье, 1859).

[10] Наркевич, Владислав, Развитие теории простых чисел: от Евклида до Харди и Литтлвуда (Берлин, Германия: Springer, 2000); см. особенно стр. 50.

[6] Карл Фридрих Гаусс, Арифметические исследования (Лейпциг, (Германия): Герхард Флейшер-младший, 1801), раздел 297, стр. 507–508. Из пп. 507–508: «Илл. Сам Ле Жандр признает, что демонстрация теоремы в такой форме, как kt + l , учитывая k и l как простые числа между собой, а t неопределенный, чтобы наверняка содержать простые числа, кажется довольно труден, и он, кстати, добавляет метод, который, как нам кажется, требует многих предварительных исследований, прежде чем этим путем можно будет прийти к строгому доказательству». (Сам прославленный Ле Жандр признает, [что] доказательство теоремы — [а именно, что] среди [целых чисел] вида kt + l , [где] k и l обозначают данные целые числа, [которые] являются простыми между собой [т.е. , взаимно-простые] [и] t обозначает переменную, несомненно, в ней содержатся простые числа — кажется достаточно трудным, и, между прочим, он указывает на метод, который, возможно, мог бы привести к этому, однако, многие предварительные и; необходимые исследования [предвидены] нами, прежде чем эта [гипотеза] действительно сможет достичь пути к строгому доказательству.)

[7] Шиу, ДКЛ (2000). «Строки совпадающих простых чисел». Дж. Лондон Математика. Соц . 61 (2): 359–373. дои : 10.1112/s0024610799007863 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]