Проблемы Ландау

Эдмунд Ландау , немецкий математик

На Международном конгрессе математиков 1912 года Ландау Эдмунд перечислил четыре основные проблемы, связанные с простыми числами . Эти проблемы были охарактеризованы в его речи как «непреодолимые при современном состоянии математики» и теперь известны как проблемы Ландау . Они заключаются в следующем:

1. Гипотеза Гольдбаха : можно ли каждое четное целое число больше 2 представить в виде суммы двух простых чисел?
2. Гипотеза о простых числах-близнецах : существует ли бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 является простым?
3. Гипотеза Лежандра : всегда ли существует хотя бы одно простое число между последовательными полными квадратами ?
4. Существует ли бесконечно много простых чисел p таких, что p − 1 — полный квадрат? Другими словами: существует ли бесконечно много простых чисел вида n ²  + 1?

По состоянию на 2024 год , все четыре проблемы нерешены.

Прогресс в поиске решений

Гипотеза Гольдбаха

Слабая гипотеза Гольдбаха о том, что каждое нечетное число больше 5 может быть выражено как сумма трех простых чисел, является следствием гипотезы Гольдбаха . Иван Виноградов доказал это для достаточно больших n ( теорема Виноградова ) в 1937 году: а Харальд Хелфготт расширил это до полного доказательства слабой гипотезы Гольдбаха в 2013 году.

Теорема Чена , еще одно ослабление гипотезы Гольдбаха, доказывает, что для всех достаточно n больших $2n=p+q$ где p — простое число, а q — простое или полупростое число . Бординьон, Джонстон и Старичкова, исправление и улучшение Ямады, доказал явную версию теоремы Чена: каждое четное число, большее $e^{e^{32,7}}\approx 1.4\cdot 10^{69057979807814}$ является суммой простого числа и произведением не более двух простых чисел. Бординьон и Старичкова сократить это до $e^{e^{15.85}}\approx 3.6\cdot 10^{3321634}$ принимая Обобщенную гипотезу Римана (GRH) для L-функций Дирихле . Джонсон и Старичкова предлагают версию, работающую для всех n >= 4, за счет использования числа, которое является произведением не более 369 простых чисел, а не простого или полупростого числа; при GRH они улучшаются с 369 до 33.

Монтгомери и Воган показали, что исключительный набор четных чисел, не выражаемый в виде суммы двух простых чисел, имеет нулевую плотность , хотя не доказано, что этот набор конечен. Наилучшие текущие границы исключительного набора: $E(x)<x^{0.72}$ (при достаточно большом x ) по Пинцу , и $E(x)\ll x^{0.5}\log ^{3}x$ под РХ , из-за Голдстона .

Линник доказал, что достаточно большие четные числа могут быть выражены как сумма двух простых чисел и некоторой ( неэффективной ) константы K степеней двойки. После многих достижений (см. Пинц для обзора), Пинц и Ружа улучшил это значение до K = 8. Если предположить, что GRH, это можно улучшить до K = 7.

Гипотеза о простых числах-близнецах

Итан Чжан показал что существует бесконечно много пар простых чисел с пробелом, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до пробелов длиной 246 совместными усилиями Polymath Project . Согласно обобщенной гипотезе Эллиотта – Хальберштама это число было улучшено до 6, расширив более раннюю работу Мейнарда. и Голдстон , Пинц и Йылдырым .

Чен показал, что существует бесконечно много простых чисел p (позже названных простыми числами Чена ) таких, что p + 2 является либо простым, либо полупростым числом.

Гипотеза Лежандра

Достаточно проверить, что каждый простой разрыв, начиная с p, меньше, чем $2{\sqrt {p}}$. Таблица максимальных простых пробелов показывает, что гипотеза верна до 2 ⁶⁴ ≈ 1.8 × 10 ¹⁹ . Противоположный пример такого размера потребовал бы простого разрыва, в сто миллионов раз превышающего средний разрыв.

Ярвиниеми, улучшение Хита-Брауна и Матомяки, показывает, что существует не более $x^{7/100+\varepsilon }$ исключительные простые числа, за которыми следуют пробелы, превышающие ${\sqrt {2p}}$; в частности,

$\sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>{\sqrt {p_{n}}}^{1/2}}{p_{n}\leq x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{0.57+\varepsilon }.$

Результат Ингама показывает, что между $n^{3}$ и $(n+1)^{3}$ для каждого достаточно большого n .

Почти квадратные простые числа

Четвертая проблема Ландау заключалась в том, существует ли бесконечно много простых чисел вида $p=n^{2}+1$ для целого числа n . (Список известных простых чисел этой формы — A002496 .) Существование бесконечного числа таких простых чисел следует как следствие других теоретико-числовых гипотез, таких как гипотеза Буняковского и гипотеза Бейтмана-Хорна . По состоянию на 2024 год , эта проблема открыта.

Одним из примеров почти квадратных простых чисел являются простые числа Ферма . Хенрик Иванец показал, что существует бесконечно много чисел вида $n^{2}+1$ не более чем с двумя простыми делителями. Анкени и Кубилюс доказал, что в предположении расширенной гипотезы Римана для L -функций на характерах Гекке существует бесконечно много простых чисел вида $p=x^{2}+y^{2}$ с $y=O(\log p)$. Гипотеза Ландау в пользу более сильного $y=1$. Лучший безоговорочный результат у Хармана и Льюиса. и это дает $y=O(p^{0.119})$.

Мерикоски, улучшение предыдущих работ, показал, что существует бесконечно много чисел вида $n^{2}+1$ по крайней мере с наибольшим простым множителем $n^{1.279}$. Замена показателя степени на 2 привела бы к гипотезе Ландау.

Теорема Фридлендера – Иванца показывает, что бесконечно много простых чисел имеют вид $x^{2}+y^{4}$.

Байер и Чжао докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида $p=an^{2}+1$ с $a<p^{5/9+\varepsilon }$; показатель степени можно улучшить до $1/2+\varepsilon$ согласно обобщенной гипотезе Римана для L-функций и $\varepsilon$ согласно некоторой гипотезе типа Эллиота-Хальберштама.

Решето Бруна устанавливает верхнюю границу плотности простых чисел вида $p=n^{2}+1$: есть $O({\sqrt {x}}/\log x)$ такие простые числа до $x$. Следовательно, почти все числа вида $n^{2}+1$ являются составными.

См. также

• Список нерешенных задач по математике
• Проблемы Гильберта

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Проблемы Ландау» . Математический мир .