Гипотеза Аго-Джуги

В теории чисел гипотеза Аго-Джуги о числах Бернулли B _k постулирует, что p является простым числом тогда и только тогда, когда

$pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.$

Он назван в честь Такаси Аго и Джузеппе Джуги .

Эквивалентная формулировка

Вышеизложенная гипотеза принадлежит Такаши Аго (1990); эквивалентная формулировка принадлежит Джузеппе Джуге в 1950 году и гласит, что p является простым тогда и только тогда, когда

$1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$

что также можно записать как

$\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.$

Тривиально показать, что p простота достаточна для выполнения второй эквивалентности, поскольку, если p простое, малая теорема Ферма утверждает, что

$a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$

для $a=1,2,\dots ,p-1$, и отсюда следует эквивалентность, поскольку $p-1\equiv -1{\pmod {p}}.$

Статус

Это утверждение все еще является гипотезой, поскольку еще не доказано, что если число n не является простым (то есть n является составным ), то формула не выполняется. Было показано, что составное число n удовлетворяет формуле тогда и только тогда, когда оно одновременно является числом Кармайкла и числом Джуги , и что если такое число существует, оно имеет по крайней мере 13 800 цифр (Борвейн, Борвейн, Борвейн, Гиргенсон, 1996). ). Лаэрте Сорини, наконец, в работе 2001 года показал, что возможным контрпримером должно быть число n больше 10. ³⁶⁰⁶⁷ который представляет собой предел, предложенный Бедокки для техники демонстрации, указанной Джугой для его собственной гипотезы.

Связь с теоремой Вильсона

Гипотеза Аго-Джуги имеет сходство с теоремой Вильсона , истинность которой доказана. Теорема Вильсона утверждает, что число p является простым тогда и только тогда, когда

$(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}},$

что также можно записать как

$\prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1{\pmod {p}}.$

Для нечетного простого числа p имеем

$\prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}},$

и для p=2 имеем

$\prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$

Итак, истинность гипотезы Аго-Джуги в сочетании с теоремой Вильсона дала бы: число p является простым тогда и только тогда, когда

$\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$

и

$\prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$

Ссылки

• Джуга, Джузеппе (1951). «О предполагаемом характеристическом свойстве простых чисел». Ist.Lombardo Sci., Rend., Cl. Лыжный мат. Естественный. (на итальянском языке). 83 : 511–518. ISSN   0375-9164 . Збл   0045.01801 .
• Аго, Такаши (1995). «О гипотезе Джуги». рукописи Математические 87 (4): 501–510. дои : 10.1007/bf02570490 . Збл   0845.11004 .
• Борвейн, Д. ; Борвейн, Дж. М. ; Борвейн, ПБ ; Гиргенсон, Р. (1996). «Гипотеза Джуги о первичности» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 103 (1): 40–50. CiteSeerX   10.1.1.586.1424 . дои : 10.2307/2975213 . JSTOR   2975213 . Збл   0860.11003 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 мая 2005 г. Проверено 29 мая 2005 г.
• Сорини, Лаэрт (2001). «Эвристический метод решения гипотезы Джуги». Тетради по экономике, математике и статистике, DESP, Университет Урбино Карло Бо (на итальянском языке). 68 . ISSN   1720-9668 .