Гипотеза Артина о примитивных корнях

Эта статья о гипотезе Эмиля Артина о первобытных корнях. О гипотезе Артина об L-функциях см. L-функция Артина .

В чисел теории гипотеза Артина о примитивных корнях утверждает, что данное целое число a , которое не является ни квадратным числом , ни −1, является примитивным корнем по модулю бесконечного числа простых чисел p . Гипотеза асимптотическую также приписывает плотность этим простым числам . Эта гипотетическая плотность равна постоянной Артина или ее рациональному кратному.

Гипотеза была сделана Эмилем Артином Гельмуту Хассе 27 сентября 1927 года, согласно дневнику последнего. По состоянию на 2024 год эта гипотеза все еще не решена. Фактически, не существует единого значения a , для которого гипотеза Артина была бы доказана.

Формулировка

Пусть a — целое число, не являющееся квадратным числом и не −1. Напишите а = а ₀ б ² с квадратов ₀ без . Обозначим через S ( a ) множество простых чисел p таких, что a является примитивным корнем по модулю p . Тогда гипотеза утверждает

1. S ( a ) имеет положительную асимптотическую плотность внутри множества простых чисел. В частности, S ( a ) бесконечно.
2. В условиях, что a не является идеальной степенью и что 0 _{, которую} не конгруэнтен 1 по модулю 4 (последовательность A085397 в OEIS ), эта плотность не зависит от a и равна константе Артина можно выразить как бесконечное произведение

   $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ (последовательность A005596 в OEIS ).

Подобные формулы предположительного произведения существуют для плотности, когда a не удовлетворяет указанным выше условиям. В этих случаях предполагаемая плотность всегда является рациональным кратным C _Artin .

Пример

Например, возьмем a = 2. Гипотеза утверждает, что множество простых чисел p, для которых 2 является примитивным корнем, имеет указанную выше плотность C _Artin . Набор таких простых чисел (последовательность A001122 в OEIS )

S (2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

В нем 38 элементов меньше 500 и 95 простых чисел меньше 500. Отношение (которое предположительно стремится к C _Artin ) равно 38/95 = 2/5 = 0,4.

Частичные результаты

В 1967 году Кристофер Хули опубликовал условное доказательство гипотезы, предполагая некоторые случаи обобщенной гипотезы Римана .

Без обобщенной гипотезы Римана не существует единственного значения a, для которого была бы доказана гипотеза Артина. Д. Р. Хит-Браун доказал в 1986 году (следствие 1), что по крайней мере одно из 2, 3 или 5 является примитивным корнем по модулю бесконечного числа простых чисел p . Он также доказал (следствие 2), что существует не более двух простых чисел, для которых гипотеза Артина неверна.

Некоторые варианты задачи Артина

Эллиптическая кривая

Эллиптическая кривая $E$ данный $y^{2}=x^{3}+ax+b$Ланг и Троттер выдвинули гипотезу о рациональных точках на $E(\mathbb {Q} )$ аналогично гипотезе Артина о примитивном корне.

В частности, они сказали, что существует константа $C_{E}$ для данной точки бесконечного порядка $P$ в множестве рациональных точек $E(\mathbb {Q} )$ такое, что число $N(P)$ простых чисел ( $p\leq x$), для которого приведение точки $P{\pmod {p}}$ обозначается ${\bar {P}}$ генерирует весь набор точек в $\mathbb {F_{p}}$ в $E$, обозначенный ${\bar {E}}(\mathbb {F_{p}} )$, определяется $N(P)\sim C_{E}\left({\frac {x}{\log x}}\right)$. Здесь мы исключим простые числа, делящие знаменатели координат $P$.

Gupta and Murty proved... the Lang and Trotter conjecture for $E/\mathbb {Q}$ with complex multiplication under the Generalized Riemann Hypothesis, for primes splitting in the relevant imaginary quadratic field, i. e., they proved some asymptotic formula for only half of the prime numbers without actually verifying any particular case of Lang and Trotter conjecture which is stated for all prime numbers and which probably is totally false! Moreover Gupta and Murty proved that the main term of their asymptotic formula is positive for some particular classes of elliptic curves with complex multiplication. If one consideres the group P generated by several independently linear points P1, P2,...,Pg in $E(\mathbb {Q} )$, for g sufficiently large (i.e. g>20), then indeed Goupta and Murty obtainded an asymptotic formula for all prime numbers with positive main term, for some particular classes of elliptic curves with complex multiplication, and one could ask what are the minimum subsets of P1, P2,...,Pg, for which such asymptotic formula exists. This result could be considered as an analogous to Artin's primitive root conjecture!

Даже заказать

Кришнамурти предложил вопрос, как часто период десятичного разложения $1/p$ простого $p$ четный.

Утверждается, что период десятичного разложения простого числа по основанию $g$ даже тогда и только тогда, когда $g^{\left({\frac {p-1}{2^{j}}}\right)}\not \equiv 1{\bmod {p}}$ где $j\geq 1$ и $j$ уникально и p таково, что $p\equiv 1+2^{j}\mod {2^{j}}$.

Результат был доказан Хассе в 1966 году.

См. также

• Константа Стивенса — число, которое играет в обобщении гипотезы Артина ту же роль, что и константа Артина здесь.
• Гипотеза Брауна – Зассенхауза
• Полный отчет премиум
• Циклическое число (теория групп)