Вторая гипотеза Харди – Литтлвуда

Вторая гипотеза Харди – Литтлвуда

Сюжет $\pi (x)+\pi (y)-\pi (x+y)$ для $x,y\leq 200$
Поле	Теория чисел
Предполагается	Г.Х. Харди Джон Эденсор Литтлвуд
Предполагается в	1923
Открытая проблема	да

В теории чисел вторая гипотеза Харди-Литтлвуда касается количества простых чисел в интервалах . Наряду с первой гипотезой Харди-Литтлвуда , вторая гипотеза Харди-Литтлвуда была предложена Г.Х. Харди и Джоном Эденсором Литтлвудом в 1923 году.

Заявление

Гипотеза утверждает, что

$\pi (x+y)\leq \pi (x)+\pi (y)$

для целых чисел x , y ≥ 2 , где π ( z ) обозначает функцию подсчета простых чисел , определяющую количество простых чисел до z включительно .

Связь с первой гипотезой Харди – Литтлвуда

Утверждение второй гипотезы Харди–Литтлвуда эквивалентно утверждению, что количество простых чисел от x + 1 до x + y всегда меньше или равно количеству простых чисел от 1 до y . Было доказано, что это несовместимо с первой гипотезой Харди – Литтлвуда о простых k -кортежах, и ожидается, что первое нарушение, вероятно, произойдет для очень больших значений x . Например, допустимый k -кортеж (или простое созвездие ) из 447 простых чисел можно найти в интервале y = 3159 целых чисел, тогда как π (3159) = 446 . Если первая гипотеза Харди–Литтлвуда верна, то первый такой набор k ожидается при x больше 1,5 × 10. ¹⁷⁴ но менее 2,2 × 10 ¹¹⁹⁸ .

Внешние ссылки

• Энгельсма, Томас Дж. «Допустимые шаблоны k-кортежей» . Проверено 12 августа 2008 г.
• Оливейра и Силва, Томас. «Допустимые простые созвездия» . Проверено 28 сентября 2023 г.