Гипотеза Лежандра

Гипотеза Лежандра , предложенная Адрианом-Мари Лежандром , утверждает, что существует простое число между $n^{2}$ и $(n+1)^{2}$ для каждого положительного целого числа $n$ . Эта гипотеза является одной из проблем Ландау (1912 г.) о простых числах и одной из многих открытых проблем о пространстве между простыми числами.

Нерешенная задача по математике :

Всегда ли существует хотя бы одно простое число между

n^{2}

и

(n+1)^{2}

?

(еще нерешенные задачи по математике)

Основные пробелы

Если гипотеза Лежандра верна, разрыв между любым простым числом p и следующим по величине простым числом будет равен $O({\sqrt {p}}\,)$ , как это выражается большой буквой O. ^{[ а ]} Это один из семейства результатов и гипотез, связанных с пробелами между простыми числами , то есть с расстоянием между простыми числами. Другие включают постулат Бертрана о существовании простого числа между $n$ и $2n$ , гипотеза Оппермана о существовании простых чисел между $n^{2}$ , $n(n+1)$ , и $(n+1)^{2}$ , гипотеза Андрики и гипотеза Брокара о существовании простых чисел между квадратами последовательных простых чисел, а также гипотеза Крамера о том, что промежутки всегда намного меньше, порядка $(\log p)^{2}$ . Если гипотеза Крамера верна, то гипотеза Лежандра будет следовать для всех достаточно больших n . Харальд Крамер также доказал, что гипотеза Римана предполагает более слабую оценку $O({\sqrt {p}}\log p)$ от размера наибольших простых промежутков. ^{[ 1 ]}

По теореме о простых числах ожидаемое количество простых чисел между $n^{2}$ и $(n+1)^{2}$ примерно $n/\ln n$ , и дополнительно известно, что почти для всех интервалов этой формы фактическое количество простых чисел ( OEIS : A014085 ) асимптотично этому ожидаемому числу. ^{[ 2 ]} Поскольку это число велико для больших $n$ , это подтверждает гипотезу Лежандра. ^{[ 3 ]} Известно, что теорема о простых числах дает точный подсчет простых чисел за короткие промежутки времени, либо безоговорочно ^{[ 4 ]} или на основе гипотезы Римана , ^{[ 5 ]} но длина интервалов, для которых это было доказано, больше, чем интервалы между последовательными квадратами, и слишком велика, чтобы доказать гипотезу Лежандра.

Частичные результаты

Из результата Ингэма следует , что для всех достаточно больших $n$ находится простое число , между соседними кубами $n^{3}$ и $(n+1)^{3}$ . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} Дудек доказал, что это справедливо для всех $n\geq e^{e^{33.3}}$ . ^{[ 8 ]}

Дудек также доказал, что для $m=4.971\times 10^{9}$ и любое положительное целое число $n$ , между $n^{m}$ и $(n+1)^{m}$ . Мэттнер снизил это значение до $m=1438989$ ^{[ 9 ]} который в дальнейшем был сокращен до $m=155$ Калли-Хьюгилл. ^{[ 10 ]}

Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале существует простое число $[x-x^{21/40},\,x]$ для всех больших $x$ . ^{[ 11 ]}

Таблица максимальных простых пробелов показывает, что гипотеза верна по крайней мере $n^{2}=4\cdot 10^{18}$ , значение $n=2\cdot 10^{9}$ . ^{[ 12 ]}

Примечания

^ Это следствие того факта, что разница между двумя последовательными квадратами имеет порядок их квадратных корней .

Ссылки

^ Стюарт, Ян (2013), «Видения бесконечности: великие математические проблемы» , Basic Books, стр. 164, ISBN 9780465022403 .
^ Баззанелла, Данило (2000), «Простые числа между последовательными квадратами» (PDF) , Archiv der Mathematik , 75 (1): 29–34, doi : 10.1007/s000130050469 , MR 1764888 , S2CID 16332859
^ Фрэнсис, Ричард Л. (февраль 2004 г.), «Между последовательными квадратами» (PDF) , Журнал математических наук штата Миссури , 16 (1), Университет Центрального Миссури, факультет математики и информатики: 51–57, doi : 10.35834/ 2004/1601051 ; см. стр. 52: «Кажется сомнительным, что это сверхобилие простых чисел может быть сгруппировано в таким образом, чтобы избежать появления хотя бы одного раза между последовательными квадратами».
^ Хит-Браун, Д.Р. (1988), «Число простых чисел в коротком интервале» (PDF) , Журнал чистой и прикладной математики , 1988 (389): 22–63, doi : 10.1515/crll.1988.389.22 , MR 0953665 , S2CID 118979018
^ Сельберг, Атле (1943), «О нормальной плотности простых чисел в малых интервалах и разнице между последовательными простыми числами», Archiv for Mathematik og Naturvidenskab , 47 (6): 87–105, MR 0012624
^ ОЭИС : A060199
^ Ингхэм, AE (1937). «О разнице между последовательными простыми числами». Ежеквартальный математический журнал . ос-8 (1): 255–266. дои : 10.1093/qmath/os-8.1.255 . ISSN 0033-5606 .
^ Дудек, Адриан (декабрь 2016 г.), «Явный результат для простых чисел между кубами», Funct. Прибл. , 55 (2): 177–197, arXiv : 1401.4233 , doi : 10.7169/facm/2016.55.2.3 , S2CID 119143089
^ Мэттнер, Кейтлин (2017). Простые числа в коротких промежутках времени (бакалаврская диссертация). Австралийский национальный университет. дои : 10.25911/5d9efba535a3e .
^ Калли-Хугилл, Микаэла (1 июня 2023 г.). «Простые числа между последовательными степенями» . Журнал теории чисел . 247 : 100–117. arXiv : 2107.14468 . дои : 10.1016/j.jnt.2022.12.002 . ISSN 0022-314X .
^ Бейкер, Р.К.; Харман, Г.; Пинц, Дж. (2001), «Разница между последовательными простыми числами, II» (PDF) , Proceedings of the London Mathematical Society , 83 (3): 532–562, doi : 10.1112/plms/83.3.532 , S2CID 8964027
^ Оливейра и Силва, Томас; Херцог, Зигфрид; Парди, Сильвио (2014), «Эмпирическая проверка гипотезы четного Гольдбаха и вычисление простых пробелов до $4\cdot 10^{18}$ S0025-5718-2013-02787-1 (PDF) , Математика вычислений , 83 (288): 2033–2060, doi : 10.1090/ , MR 3194140 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Гипотеза Лежандра» , MathWorld

Эта теории чисел статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Это следствие того факта, что разница между двумя последовательными квадратами имеет порядок их квадратных корней .

[2] Стюарт, Ян (2013), «Видения бесконечности: великие математические проблемы» , Basic Books, стр. 164, ISBN 9780465022403 .

[3] Баззанелла, Данило (2000), «Простые числа между последовательными квадратами» (PDF) , Archiv der Mathematik , 75 (1): 29–34, doi : 10.1007/s000130050469 , MR 1764888 , S2CID 16332859

[4] Фрэнсис, Ричард Л. (февраль 2004 г.), «Между последовательными квадратами» (PDF) , Журнал математических наук штата Миссури , 16 (1), Университет Центрального Миссури, факультет математики и информатики: 51–57, doi : 10.35834/ 2004/1601051 ; см. стр. 52: «Кажется сомнительным, что это сверхобилие простых чисел может быть сгруппировано в таким образом, чтобы избежать появления хотя бы одного раза между последовательными квадратами».

[5] Хит-Браун, Д.Р. (1988), «Число простых чисел в коротком интервале» (PDF) , Журнал чистой и прикладной математики , 1988 (389): 22–63, doi : 10.1515/crll.1988.389.22 , MR 0953665 , S2CID 118979018

[6] Сельберг, Атле (1943), «О нормальной плотности простых чисел в малых интервалах и разнице между последовательными простыми числами», Archiv for Mathematik og Naturvidenskab , 47 (6): 87–105, MR 0012624

[7] ОЭИС : A060199

[8] Ингхэм, AE (1937). «О разнице между последовательными простыми числами». Ежеквартальный математический журнал . ос-8 (1): 255–266. дои : 10.1093/qmath/os-8.1.255 . ISSN 0033-5606 .

[9] Дудек, Адриан (декабрь 2016 г.), «Явный результат для простых чисел между кубами», Funct. Прибл. , 55 (2): 177–197, arXiv : 1401.4233 , doi : 10.7169/facm/2016.55.2.3 , S2CID 119143089

[10] Мэттнер, Кейтлин (2017). Простые числа в коротких промежутках времени (бакалаврская диссертация). Австралийский национальный университет. дои : 10.25911/5d9efba535a3e .

[11] Калли-Хугилл, Микаэла (1 июня 2023 г.). «Простые числа между последовательными степенями» . Журнал теории чисел . 247 : 100–117. arXiv : 2107.14468 . дои : 10.1016/j.jnt.2022.12.002 . ISSN 0022-314X .

[baker-12] Бейкер, Р.К.; Харман, Г.; Пинц, Дж. (2001), «Разница между последовательными простыми числами, II» (PDF) , Proceedings of the London Mathematical Society , 83 (3): 532–562, doi : 10.1112/plms/83.3.532 , S2CID 8964027

[13] Оливейра и Силва, Томас; Херцог, Зигфрид; Парди, Сильвио (2014), «Эмпирическая проверка гипотезы четного Гольдбаха и вычисление простых пробелов до $4\cdot 10^{18}$ S0025-5718-2013-02787-1 (PDF) , Математика вычислений , 83 (288): 2033–2060, doi : 10.1090/ , MR 3194140 .

[ а ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]