Гипотезы Мерсенна

В математике касаются гипотезы Мерсенна характеристики простых чисел, называемых простыми числами Мерсенна , что означает простые числа, являющиеся степенью двойки минус один.

Оригинальная гипотеза Мерсенна

Оригинал, названный гипотезой Мерсенна , представлял собой утверждение Марина Мерсенна в его Cogitata Physico-Mathematica (1644; см., например, Dickson 1919), что числа $2^{n}-1$ были простыми для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и были составными для всех остальных натуральных чисел n ≤ 257. Первые семь записей его списка ( $2^{n}-1$ для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19) еще до времен Мерсенна было доказано, что они являются простыми числами путем пробного деления; ^[1] только последние четыре записи были новыми утверждениями Мерсенна. Из-за размера этих последних чисел Мерсенн не проверял и не мог проверить их все, как и его коллеги в 17 веке. В конце концов, после трех столетий и доступности новых методов, таких как тест Люка-Лемера , было установлено, что гипотеза Мерсенна содержит пять ошибок, а именно: две записи являются составными (соответствующими простым числам n = 67, 257), а три простых числа являются составными. отсутствуют (соответствующие простым числам n = 61, 89, 107). Правильный список для n ≤ 257: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127.

Мерсенна Хотя первоначальная гипотеза ложна, она, возможно, привела к новой гипотезе Мерсенна .

Новая гипотеза Мерсенна

Гипотеза Нью-Мерсенна или гипотеза Бейтмана, Селфриджа и Вагстаффа (Бейтман и др., 1989) утверждает, что для любого нечетного натурального числа p , если выполняются любые два из следующих условий, то выполняется и третье:

р = 2 ^к ± 1 или р = 4 ^к ± 3 для некоторого натурального числа k . ( ОЭИС : A122834 )
2 ^п − 1 — простое число ( простое число Мерсенна ). ( ОЭИС : A000043 )
(2 ^п + 1)/3 — простое число ( простое число Вагстафа ). ( ОЭИС : A000978 )

Если p — нечетное составное число, то 2 ^п − 1 и (2 ^п + 1)/3 оба составные. Следовательно, чтобы убедиться в истинности гипотезы, необходимо проверять только простые числа.

В настоящее время известно девять чисел, для которых выполняются все три условия: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (последовательность A107360 в OEIS ). Бейтман и др. ожидал, что ни одно число больше 127 не удовлетворяет всем трем условиям, и показал, что эвристически ни одно большее число не будет удовлетворять даже двум условиям, что сделало бы новую гипотезу Мерсенна тривиально верной.

По состоянию на 2024 год ^[update], все числа Мерсенна простые до 2 ^57885161 − 1 известны, и ни для одного из них не выполняется третье условие, за исключением только что упомянутых. ^[2]^[3]Простые числа, удовлетворяющие хотя бы одному условию, называются

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (последовательность A120334 в OEIS )

Обратите внимание, что два простых числа, для которых исходная гипотеза Мерсенна неверна (67 и 257), удовлетворяют первому условию новой гипотезы (67 = 2 ⁶ + 3, 257 = 2 ⁸ + 1), но не два других. 89 и 107, пропущенные Мерсенном, удовлетворяют второму условию, но не двум другим. Мерсенн мог подумать, что 2 ^п − 1 является простым, только если p = 2 ^к ± 1 или р = 4 ^к ± 3 для некоторого натурального числа k , но если бы он думал, что это « тогда и только тогда », он бы включил 61.

Статус новой гипотезы Мерсенна для первых 100 простых чисел
2 ^[4]	3	5	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229
233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541

Красный: p имеет форму 2 ^н±1 или 4 ^н±3	Голубой фон: 2 ^п−1 — простое число	Курсив: (2 ^п+1)/3 — простое число	Жирный шрифт: p удовлетворяет хотя бы одному условию.

Гипотезу Нового Мерсенна можно рассматривать как попытку спасти многовековую гипотезу Мерсенна, которая является ложной. Однако, по словам Роберта Д. Сильвермана , Джон Селфридж согласился с тем, что гипотеза Нью-Мерсенна «очевидно верна», поскольку она была выбрана для соответствия известным данным, а контрпримеры, выходящие за рамки этих случаев, крайне маловероятны. Это можно рассматривать скорее как любопытное наблюдение, чем как открытый вопрос, нуждающийся в доказательстве .

Prime Pages показывает, что гипотеза Новой Мерсенна верна для всех целых чисел, меньших или равных 30402457. ^[2] путем систематического перечисления всех простых чисел, для которых уже известно, что одно из условий выполняется.

Гипотеза Ленстры – Померанса – Вагстафа

Ленстра , Померанс и Вагстафф предположили, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна и, точнее, что число простых чисел Мерсенна, меньших x, аппроксимируется асимптотически выражением

e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),

^[5]

где γ — постоянная Эйлера–Машерони . Другими словами, количество простых чисел Мерсенна с показателем p меньше y асимптотически равно

e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).

^[5]

Это означает, что в среднем должно быть около $e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)$ ≈ 5,92 простых чисел p заданного количества десятичных цифр таких, что $M_{p}$ является простым. Гипотеза довольно точна для первых 40 простых чисел Мерсенна, но между 2 ^20,000,000 и 2 ^85,000,000 их минимум 12, ^[6] вместо ожидаемого числа, которое составляет около 3,7.

В более общем смысле, количество простых чисел p ≤ y таких, что ${\frac {a^{p}-b^{p}}{a-b}}$ является простым (где a , b — взаимно простые целые числа, a > 1, − a < b < a , a и b не являются одновременно совершенными r -ми степенями для любого натурального числа r > 1, а −4 ab не является полной четвертой мощность) асимптотически

(e^{\gamma }+m\cdot \log _{e}(2))\cdot \log _{a}(y).

где m — наибольшее неотрицательное целое число, такое что a и − b являются совершенными 2 ^м-ые полномочия. Случай простых чисел Мерсенна — это один из случаев ( a , b ) = (2, 1).

См. также

Гипотеза Гиллиса о распределении чисел простых делителей чисел Мерсенна
Тест Лукаса-Лемера на простоту
Тест Лукаса на простоту
Гипотеза Каталана Мерсенна
Законы Мерсенна

Ссылки

Бейтман, Пенсильвания ; Селфридж, JL ; Вагстафф младший, Сэмюэл С. (1989). «Новая гипотеза Мерсенна». Американский математический ежемесячник . 96 (2). Математическая ассоциация Америки: 125–128. дои : 10.2307/2323195 . JSTOR 2323195 . МР 0992073 .
Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел . Институт Карнеги в Вашингтоне. п. 31. ОЛ 6616242М . Перепечатано издательством Chelsea Publishing, Нью-Йорк, 1971 г. ISBN 0-8284-0086-5 .

^ См. источники, данные для отдельных простых чисел в Списке простых чисел Мерсенна и совершенных чисел .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Новая гипотеза простых чисел Мерсенна» . t5k.org .
^ Уэнлесс, Джеймс. «Мерсеннеплюс две факторизации» .
^ 2=2 ⁰ + 1 удовлетворяет ровно двум из трёх условий, но явно исключается из гипотезы ввиду четности
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эвристика: вывод гипотезы Вагстафа-Мерсенна . Главные страницы . Проверено 11 мая 2014 г.
^ Майкл Ле Пейдж (10 августа 2019 г.). «Внутри гонки по поиску первого простого числа, состоящего из миллиарда цифр» . Новый учёный .

Внешние ссылки

Главный глоссарий. Новая гипотеза простого числа Мерсенна.

[1] См. источники, данные для отдельных простых чисел в Списке простых чисел Мерсенна и совершенных чисел .

[auto-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Новая гипотеза простых чисел Мерсенна» . t5k.org .

[3] Уэнлесс, Джеймс. «Мерсеннеплюс две факторизации» .

[4] 2=2 ⁰ + 1 удовлетворяет ровно двум из трёх условий, но явно исключается из гипотезы ввиду четности

[heur-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эвристика: вывод гипотезы Вагстафа-Мерсенна . Главные страницы . Проверено 11 мая 2014 г.

[6] Майкл Ле Пейдж (10 августа 2019 г.). «Внутри гонки по поиску первого простого числа, состоящего из миллиарда цифр» . Новый учёный .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]