Гипотеза о пеленании

Сумматорная функция Лиувилля L ( n ) до n = 10 ⁷ . Гипотеза (опровергнутая) утверждает, что эта функция всегда отрицательна. Хорошо видимые колебания обусловлены первым нетривиальным нулем дзета-функции Римана .

Крупный план суммирующей функции Лиувилля L ( n ) в области, где гипотеза Полиа не выполняется.

Логарифмический график отрицательной суммирующей функции Лиувилля L ( n ) до n = 2 × 10 ⁹ . Зеленый пик показывает саму функцию (а не ее отрицательную величину) в узкой области, где гипотеза не подтверждается; синяя кривая показывает колебательный вклад первого нуля Римана.

В теории чисел гипотеза Полиа (или гипотеза Полиа ) утверждает, что «большинство» (т. е. 50% или более) натуральных чисел, меньших, чем любое заданное число, имеют нечетное количество простых делителей . Гипотеза была выдвинута венгерским математиком Джорджем Полиа в 1919 году. и доказал ложность в 1958 году К. Брайаном Хазелгроувом . Хотя математики обычно называют это утверждение гипотезой Полиа, Полиа на самом деле никогда не предполагал, что это утверждение верно; скорее, он показал, что истинность этого утверждения подразумевает гипотезу Римана . По этой причине ее точнее назвать «проблемой Полиа».

Размер наименьшего контрпримера часто используется, чтобы продемонстрировать тот факт, что гипотеза может быть верной во многих случаях, но в целом не верна. иллюстрируя сильный закон малых чисел .

Заявление

Гипотеза Полиа утверждает, что для любого n > 1, если натуральные числа, меньшие или равные n (исключая 0), разделить на числа с нечетным числом простых множителей и числа с четным числом простых множителей, то первое множество имеет по крайней мере столько же членов, сколько последний набор. Повторяющиеся простые множители подсчитываются повторно; например, мы говорим, что 18 = 2 × 3 × 3 имеет нечетное количество простых множителей, а 60 = 2 × 2 × 3 × 5 имеет четное количество простых множителей.

Эквивалентно это можно сформулировать в терминах суммирующей функции Лиувилля , при этом гипотеза состоит в том, что

$L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0$

для всех n > 1. Здесь λ( k ) = (−1) ^{Ом( к )} положительно, если количество простых делителей целого числа k четно, и отрицательно, если оно нечетно. Функция Big Omega подсчитывает общее количество простых множителей целого числа.

Опровержение

Гипотеза Полиа была опровергнута К. Брайаном Хазелгроувом в 1958 году. Он показал, что у этой гипотезы есть контрпример, размер которого, по его оценкам, составляет около 1,845 × 10. ³⁶¹ .

Явный контрпример (гораздо меньшего размера) с n = 906 180 359 был приведен Р. Шерманом Леманом в 1960 году; наименьший контрпример — n = 906 150 257, найденный Минору Танакой в ​​1980 году.

Гипотеза не верна для большинства значений n в районе 906 150 257 ≤ n ≤ 906 488 079. В этой области сумматорная функция Лиувилля достигает максимального значения 829 при n = 906 316 571.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Полиа» . Математический мир .