Гипотеза Шона – Яу

В математике гипотеза Шона-Яу — опровергнутая гипотеза в гиперболической геометрии , названная в честь математиков Ричарда Шона и Шинг-Тунг Яу .

Он был вдохновлен теоремой Эрхарда Хайнца (1952). Одним из методов опровержения является использование поверхностей Шерка , использованных Гарольдом Розенбергом и Паскалем Коллином (2006).

Постановка и формулировка гипотезы

Позволять $\mathbb {C}$ — комплексная плоскость, рассматриваемая как риманово многообразие с обычной (плоской) римановой метрикой. Позволять $\mathbb {H}$ обозначим гиперболическую плоскость , т.е. единичный круг

$\mathbb {H} :=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}<1\}$

наделенный гиперболической метрикой

$\mathrm {d} s^{2}=4{\frac {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}.$

Э. Хайнц в 1952 году доказал, что не может существовать гармонического диффеоморфизма.

$f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} .\,$

В свете этой теоремы Шен предположил, что не существует гармонического диффеоморфизма.

$g:\mathbb {C} \to \mathbb {H} .\,$

(Неясно, как имя Яу стало ассоциироваться с этой гипотезой: в неопубликованной переписке с Гарольдом Розенбергом и Шен, и Яу идентифицируют Шона как постулировавшего гипотезу). Гипотеза Шёна(-Яу) с тех пор была опровергнута.

Комментарии

Акцент делается на существовании или отсутствии гармонического диффеоморфизма и на том, что это свойство является «односторонним». Более подробно: предположим, что мы рассматриваем два римановых многообразия M и N (с их соответствующими метриками) и пишем

$M\sim N\,$

если существует диффеоморфизм M на N (в обычной терминологии M и N диффеоморфны). Писать

$M\propto N$

если существует гармонический диффеоморфизм M на N . Нетрудно показать, что $\sim$ будучи диффеоморфным) является отношением эквивалентности на объектах категории ( римановых многообразий. В частности, $\sim$ является симметричным отношением :

$M\sim N\iff N\sim M.$

Можно показать, что гиперболическая плоскость и (плоская) комплексная плоскость действительно диффеоморфны:

$\mathbb {H} \sim \mathbb {C} ,$

поэтому вопрос в том, являются ли они «гармонически диффеоморфными». Однако, как показывают истинность теоремы Хайнца и ложность гипотезы Шёна – Яу, $\propto$ не является симметричным отношением:

$\mathbb {C} \propto \mathbb {H} {\text{ but }}\mathbb {H} \not \propto \mathbb {C} .$

Таким образом, «гармонически диффеоморфность» является гораздо более сильным свойством, чем просто диффеоморфность, и может быть «односторонним» отношением.

Ссылки

• Хайнц, Эрхард (1952). «О решениях уравнения минимальной площади». Новости академической науки Геттинген. Матем.-Физ. кл. Матем.-Физ.-Хим. Аббат . 1952 : 51–56.
• Коллин, Паскаль; Розенберг, Гарольд (2010). «Построение гармонических диффеоморфизмов и минимальных графов». Энн. математики . 2. 172 (3): 1879–1906. arXiv : math/0701547 . дои : 10.4007/анналы.2010.172.1879 . ISSN   0003-486X . МИСТЕР 2726102