Гипотеза Мертенса

На графике представлена ​​функция Мертенса $M(n)$ и квадратные корни $\pm {\sqrt {n}}$ для $n\leq 10,000$. Вычислив эти значения, Мертенс предположил, что абсолютное значение $M(n)$ всегда ограничен ${\sqrt {n}}$. Эта гипотеза, известная как гипотеза Мертенса, была опровергнута в 1985 году Эндрю Одлыжко и Германом те Риле .

В математике — гипотеза Мертенса это утверждение, что функция Мертенса $M(n)$ ограничен $\pm {\sqrt {n}}$. Хотя сейчас это опровергнуто, было показано, что оно подразумевает гипотезу Римана . Это предположение было высказано Томасом Джоаннесом Стилтьесом в письме 1885 года Чарльзу Эрмиту (перепечатано в Стилтьесе ( 1905 )), а затем снова в печати Францем Мертенсом ( 1897 ) и опровергнуто Эндрю Одлызко и Германом те Риле ( 1985 ). Это яркий пример того, как математическая гипотеза оказалась ложной, несмотря на большое количество вычислительных доказательств в ее пользу.

Определение

В теории чисел определяется функция Мертенса как

$M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k),$

где µ(k) – функция Мёбиуса ; состоит гипотеза Мертенса в том, что для всех n > 1

$|M(n)|<{\sqrt {n}}.$

Опровержение гипотезы

В 1885 году Стилтьес утверждал, что доказал более слабый результат, а именно, что $m(n):=M(n)/{\sqrt {n}}$ был ограничен , но не опубликовал доказательства. (С точки зрения $m(n)$Гипотеза Мертенса состоит в том, что $-1<m(n)<1$.)

В 1985 году Эндрю Одлызко и Герман те Риле доказали ложность гипотезы Мертенса, используя алгоритм редукции решеточного базиса Ленстры – Ленстры – Ловаса :

$\liminf m(n)<-1.009$   и   $\limsup m(n)>1.06.$

Позже было показано, что первый контрпример приведен ниже. $e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}$ но выше 10 ¹⁶ . С тех пор верхняя граница была снижена до $e^{1.59\times 10^{40}}$ или приблизительно $10^{6.91\times 10^{39}},$ но явный контрпример неизвестен.

Закон повторного логарифма гласит, что если µ заменить случайной последовательностью +1 и −1, то порядок роста частичной суммы первых n членов будет (с вероятностью 1) примерно √ n log log n , что предполагает, что порядок роста m ( n ) может быть где-то около √ log log n . Фактический порядок роста может быть несколько меньшим; в начале 1990-х годов Стив Гонек предположил, что что порядок роста m ( n ) был $(\log \log \log n)^{5/4},$ что было подтверждено Нг (2004) на основе эвристического аргумента, предполагающего гипотезу Римана и некоторые предположения об усредненном поведении нулей дзета-функции Римана.

В 1979 году Коэн и Платье нашел самое большое известное значение $m(n)\approx 0.570591$ для M (7766842813)=50286, а в 2011 году Кузнецов нашел самое большое известное отрицательное значение (в смысле абсолютного значения ) $m(n)\approx -0.585768$ для М (11609864264058592345) = -1995900927. В 2016 году Херст вычислил M ( n ) для каждого n ≤ 10. ¹⁶ но не нашел больших значений m ( n ) .

В 2006 году Котник и Те Риле улучшили верхнюю границу и показали, что существует бесконечно много значений n , для которых m ( n ) > 1,2184 , но не указали какое-либо конкретное значение для такого n . В 2016 году Херст добился дальнейших улучшений, показав

$\liminf m(n)<-1.837625$   и   $\limsup m(n)>1.826054.$

Римана

Связь с гипотезой Римана основана на ряде Дирихле. для обратной дзета-функции Римана ,

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},$

действителен в регионе ${\mathcal {Re}}(s)>1$. Мы можем переписать это как Интеграл Стилтьеса

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\int _{0}^{\infty }x^{-s}dM(x)$

и после интегрирования по частям получим обратную дзета-функцию как преобразование Меллина

${\frac {1}{s\zeta (s)}}=\left\{{\mathcal {M}}M\right\}(-s)=\int _{0}^{\infty }x^{-s}M(x)\,{\frac {dx}{x}}.$

Используя теорему об обращении Меллина, мы теперь можем выразить M через 1 ⁄ ζ как

$M(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds$

что справедливо для 1 < σ < 2 и справедливо для 1 ⁄ 2 < σ < 2 по гипотезе Римана. Отсюда следует, что интеграл преобразования Меллина должен сходиться, а значит, M ( x ) должно быть O ( x ^Это ) для каждого показателя e , большего 1/2 ​ ​ . Отсюда следует, что

$M(x)=O{\Big (}x^{{\tfrac {1}{2}}+\epsilon }{\Big )}$

для всех положительных ε эквивалентно гипотезе Римана, которая, следовательно, следовала бы из более сильной гипотезы Мертенса, а из гипотезы Стилтьеса следует, что

$M(x)=O{\Big (}x^{\tfrac {1}{2}}{\Big )}.$

Дальнейшее чтение

• Котник, Тадей; те Риле, Герман (2006). «Возвращение к гипотезе Мертенса». В Гессе, Флориане (ред.). Алгоритмическая теория чисел. 7-й международный симпозиум, ANTS-VII, Берлин, Германия, 23-28 июля 2006 г. Труды . Конспекты лекций по информатике. Том. 4076. Берлин: Springer-Verlag . стр. 156–167. дои : 10.1007/11792086_12 . ISBN  3-540-36075-1 . Збл   1143.11345 .
• Котник Т.; ван де Люн, Дж. (2004). «О порядке функции Мертенса» (PDF) . Экспериментальная математика . 13 (4): 473–481. дои : 10.1080/10586458.2004.10504556 . S2CID   2093469 . Архивировано из оригинала (PDF) 3 апреля 2007 г.
• Мертенс, Ф. (1897). «О теоретико-числовой функции». Протоколы заседаний Императорской Академии наук, класса математики и естественных наук, отделения 2а . 106 :761-830.
• Одлизко, А.М. ; те Риле, HJJ (1985), «Опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) , Журнал чистой и прикладной математики , 1985 (357): 138–160, doi : 10.1515/crll.1985.357.138 , ISSN   0075-4102 , МР   0783538 , С2КИД   13016831 , Збл   0544.10047
• Пинц, Дж. (1987). «Эффективное опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) . Астериск . 147–148: 325–333. Збл   0623.10031 .
• Сандор, Джозеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006), Справочник по теории чисел I , Дордрехт: Издательство Springer , стр. 101-1. 187–189, ISBN  1-4020-4215-9 , Збл   1151.11300
• Стилтьес, Т.Дж. (1905), «Письмо Эрмиту от 11 июля 1885 г., письмо № 79», в Байо, Б.; Бурже, Х. (ред.), Переписка Эрмита и Стилтьеса , Париж: Готье-Виллар, стр. 160–164

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Мертенса» . Математический мир .

Внешние ссылки

• «Главный сюрприз (гипотеза Мертенса)» . Числофил . 23 января 2020 г. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г. – на YouTube .