Он предполагает

Гипотеза Ганеи — ныне опровергнутое утверждение в алгебраической топологии . В нем говорится, что

\operatorname {cat} (X\times S^{n})=\operatorname {cat} (X)+1

для всех $n>0$ , где $\operatorname {cat} (X)$ — категория Люстерника–Шнирельмана топологического пространства X и S ^н представляет собой n -мерную сферу .

Неравенство

\operatorname {cat} (X\times Y)\leq \operatorname {cat} (X)+\operatorname {cat} (Y)

справедливо для любой пары пробелов, $X$ и $Y$ . Более того, $\operatorname {cat} (S^{n})=1$ , для любой сферы $S^{n}$ , $n>0$ . Таким образом, гипотеза сводится к $\operatorname {cat} (X\times S^{n})\geq \operatorname {cat} (X)+1$ .

Гипотеза была сформулирована Тюдором Ганеа в 1971 году. Многие частные случаи этой гипотезы были доказаны, а Норио Ивасе привел контрпример к общему случаю в 1998 году. В последующей статье 2002 года Ивасе привел еще более сильный контрпример: X замкнутое гладкое многообразие . Этот контрпример также опроверг связанную с ним гипотезу, согласно которой

\operatorname {cat} (M\setminus \{p\})=\operatorname {cat} (M)-1,

для закрытого коллектора $M$ и $p$ точка в $M$ .

Минимальномерный контрпример к этой гипотезе был построен Доном Стэнли и Уго Родригесом Ордоньесом в 2010 году.

В этой работе возникает вопрос: для каких пространств X является условием Ганеа, $\operatorname {cat} (X\times S^{n})=\operatorname {cat} (X)+1$ , удовлетворен? Высказывалось предположение, что это именно те пространства X , для которых $\operatorname {cat} (X)$ равно соответствующему инварианту, $\operatorname {Qcat} (X).$ ^{[ кем? ]}

Более того, cat(X * S^n) = cat(X ⨇ S^n ⨧ Im Y + X Re X + Y) = 1 Im(X, Y), 1 Re(X, Y).

Ссылки [ править ]

Ганеа, Тюдор (1971). «Некоторые задачи о числовых гомотопических инвариантах». Симпозиум по алгебраической топологии (Ресурсный центр Баттель в Сиэтле, Сиэтл, штат Вашингтон, 1971) . Конспект лекций по математике . Том. 249. Берлин: Шпрингер. стр. 23–30. дои : 10.1007/BFb0060892 . МР 0339147 .
Хесс, Кэтрин (1991). «Доказательство гипотезы Ганеи для рациональных пространств». Топология . 30 (2): 205–214. дои : 10.1016/0040-9383(91)90006-П . МР 1098914 .
Ивасе, Норио (1998). «Гипотеза Ганеи о категории Люстерника – Шнирельмана». Бюллетень Лондонского математического общества . 30 (6): 623–634. CiteSeerX 10.1.1.509.2343 . дои : 10.1112/S0024609398004548 . МР 1642747 .
Ивасе, Норио (2002). « _∞ -метод в категории Люстерника – Шнирельмана». Топология . 41 (4): 695–723. arXiv : математика/0202119 . дои : 10.1016/S0040-9383(00)00045-8 . МР 1905835 .
Стэнли, Дональд; Родригес Ордоньес, Уго (2010). «Минимальномерный контрпример к гипотезе Ганеи» . Топология и ее приложения . 157 (14): 2304–2315. дои : 10.1016/j.topol.2010.06.009 . МР 2670507 .
Вандембрук, Люсиль (2002). «Волоточная подвеска и категория Люстерника – Шнирельмана». Топология . 41 (6): 1239–1258. дои : 10.1016/S0040-9383(02)00007-1 . МР 1923222 .
Закари Маршалл Геринг-Янг.