Категория Люстерника – Шнирельмана

В математике категория Люстерника –Шнирельмана (или категория Люстерника–Шнирельмана , LS-категория ) топологического пространства . $X$ — гомотопический инвариант, определяемый как наименьшее целое число $k$ так, что есть открытое покрытие $\{U_{i}\}_{1\leq i\leq k}$ из $X$ со свойством, что каждое отображение включения $U_{i}\hookrightarrow X$ является нульгомотопным . Например, если $X$ является сферой, оно принимает значение два.

Иногда принимается другая нормировка инварианта, которая на единицу меньше определения, приведенного выше. Такая нормализация была принята в полноценной монографии Корнеа, Луптона, Опреа и Танре (см. ниже).

, непросто В общем, вычислить этот инвариант, первоначально введенный Лазарем Люстерником и Львом Шнирельманом в связи с вариационными задачами . Она имеет тесную связь с алгебраической топологией , в частности с длиной чашки . В современной нормализации длина чашки является нижней границей LS-категории.

Это было так, как первоначально было определено для случая $X$ многообразие , , нижняя граница числа критических точек которые имеет вещественная функция на $X$ (это следует сравнить с результатом теории Морса , показывающим, что сумма чисел Бетти является нижней оценкой числа критических точек функции Морса).

Инвариант был обобщен в нескольких различных направлениях (групповые действия, слоения , симплициальные комплексы и т. д.).

См. также

• Он предполагает
• Систолическая категория

Ссылки

• Ральф Х. Фокс , О категории Люстерника-Шнирельмана , Annals of Mathematics 42 (1941), 333–370.
• Флорис Такенс , Минимальное число критических точек функции на компактных многообразиях и категория Люстерника-Шнирельмана , Inventiones Mathematicae 6 (1968), 197–244.
• Тудор Ганеа , Некоторые задачи о числовых гомотопических инвариантах , Конспект лекций по математике. 249 (Springer, Берлин, 1971), стр. 13–22 MR. 0339147
• Иоан Джеймс , О категории в смысле Люстерника-Шнирельмана , Топология 17 (1978), 331–348.
• Моника Клапп и Дитер Пуппе, Инварианты типа Люстерника-Шнирельмана и топология критических множеств , Труды Американского математического общества 298 (1986), вып. 2, 603–620.
• Октав Корнеа, Грегори Луптон, Джон Опрея, Дэниел Танре, категория Люстерника-Шнирельмана , Математические обзоры и монографии, 103. Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 2003. ISBN   0-8218-3404-5