Симплициальный комплекс

Симплициальный 3-комплекс.

В математике симплициальный комплекс — это набор, состоящий из точек , отрезков прямых , треугольников и их n -мерных аналогов (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества, появляющимся в современной теории симплициальных гомотопий . Чисто комбинаторным аналогом симплициального комплекса является абстрактный симплициальный комплекс . Чтобы отличить симплициальный комплекс от абстрактного симплициального комплекса, первый часто называют геометрическим симплициальным комплексом .

Определения

Симплициальный комплекс ${\mathcal {K}}$ представляет собой набор симплексов , удовлетворяющий следующим условиям:

1. Каждая грань симплекса из ${\mathcal {K}}$ также находится в ${\mathcal {K}}$.

2. Непустое пересечение любых двух симплексов. $\sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}$ это лицо обоих $\sigma _{1}$ и $\sigma _{2}$.

См. также определение абстрактного симплициального комплекса , который, грубо говоря, является симплициальным комплексом без связанной с ним геометрии.

Симплициальный ​ k -комплекс ${\mathcal {K}}$ является симплициальным комплексом, где наибольшая размерность любого симплекса в ${\mathcal {K}}$ равно к . Например, симплициальный 2-комплекс должен содержать хотя бы один треугольник и не должен содержать тетраэдров или симплексов более высокой размерности.

Чистый однородный или . симплициальный k -комплекс ${\mathcal {K}}$ — симплициальный комплекс, в котором каждый симплекс размерности меньше k является гранью некоторого симплекса $\sigma \in {\mathcal {K}}$ размерности ровно k . Неформально чистый 1-комплекс «выглядит» так, как будто он состоит из набора линий, 2-комплекс «выглядит» так, как будто он состоит из набора треугольников и т. д. Примером неоднородного комплекса является треугольник с отрезок прямой, прикрепленный к одной из его вершин. Чистые симплициальные комплексы можно рассматривать как триангуляции и обеспечить определение многогранников .

Фасета — это максимальный симплекс, т. е. любой симплекс в комплексе, который не является гранью какого-либо большего симплекса. (Обратите внимание на отличие от «лица» симплекса ). Чистый симплициальный комплекс можно рассматривать как комплекс, все грани которого имеют одинаковую размерность. Для (граничных комплексов) симплициальных многогранников это совпадает со значением полиэдральной комбинаторики.

Иногда термин грань используется для обозначения симплекса комплекса, не путать с гранью симплекса.

Для симплициального комплекса, вложенного в k -мерное пространство, k -грани иногда называют его ячейками . Термин «клетка» иногда используется в более широком смысле для обозначения множества, гомеоморфного симплексу, что приводит к определению клеточного комплекса .

Базовое пространство , иногда называемое носителем симплициального комплекса, представляет собой объединение его симплексов. Обычно его обозначают $|{\mathcal {K}}|$ или $\|{\mathcal {K}}\|$.

Поддержка

всех Относительные внутренности симплексов в ${\mathcal {K}}$ образуют раздел лежащего в его основе пространства $|{\mathcal {K}}|$: за каждую точку $x\in |{\mathcal {K}}|$, существует ровно один симплекс ${\mathcal {K}}$ содержащий $x$ в его относительном интерьере. симплекс называется носителем x Этот и обозначается $\operatorname {supp} (x)$.

Закрытие, звездочка и ссылка

• 
  Два симплексы и их закрытие .
• 
  А вершина и ее звезда .
• 
  А вершина и ее связь .

Пусть K — симплициальный комплекс и S — набор симплексов в K .

Замыкание ​ S ( обозначается $\mathrm {Cl} \ S$) — наименьший симплициальный подкомплекс K , содержащий каждый симплекс из S . $\mathrm {Cl} \ S$ получается путем многократного добавления к S каждой грани каждого симплекса из S .

Звезда ​ S ( обозначается $\mathrm {st} \ S$) — объединение звезд каждого симплекса из S . Для одного симплекса s звездой s является множество симплексов из K , у которых s является гранью. Звезда S , как правило, сама по себе не является симплициальным комплексом, поэтому некоторые авторы определяют замкнутую звезду S (обозначаемую $\mathrm {St} \ S$) как $\mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S$ закрытие звезды С.

Звено ​ S ( обозначается $\mathrm {Lk} \ S$) равно $\mathrm {Cl} {\big (}\mathrm {st} (S){\big )}\setminus \mathrm {st} {\big (}\mathrm {Cl} (S){\big )}$. Это закрытая звезда S звезды всех граней S. минус

Алгебраическая топология

Основная статья: Симплициальная гомология

В алгебраической топологии симплициальные комплексы часто полезны для конкретных вычислений. Для определения групп гомологии симплициального комплекса можно непосредственно прочитать соответствующий цепной комплекс при условии, что все симплексы имеют согласованную ориентацию. Требования теории гомотопий приводят к использованию более общих пространств — комплексов CW . Бесконечные комплексы — это технический инструмент, основной в алгебраической топологии. См. также обсуждение в Polytope симплициальных комплексов как подпространств евклидова пространства, состоящих из подмножеств, каждое из которых является симплексом . Это несколько более конкретное понятие приписывается там Александрову . Любой конечный симплициальный комплекс в том смысле, о котором здесь говорится, может быть вложен как многогранник в этом смысле в некотором большом числе измерений. В алгебраической топологии компактное топологическое пространство , гомеоморфное геометрической реализации конечного симплициального комплекса, обычно называется многогранником ( см. Spanier 1966 , Maunder 1996 , Hilton & Wylie 1967). ).

Комбинаторика

Комбинатористы часто изучают f -вектор симплициального d-комплекса Δ, который представляет собой целочисленную последовательность $(f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})$, где f _i — количество ( i −1)-мерных граней Δ (по соглашению f ₀ = 1, если Δ не является пустым комплексом). Например, если ∆ является границей октаэдра , то его f -вектор равен (1, 6, 12, 8), а если ∆ является первым симплициальным комплексом, изображенным выше, его f -вектор равен (1, 18, 23 , 8, 1). Полную характеристику возможных f -векторов симплициальных комплексов даёт теорема Краскала–Катона .

Используя f -вектор симплициального d -комплекса ∆ в качестве коэффициентов многочлена ( записанного в порядке убывания показателей), мы получаем f-полином от ∆. В наших двух примерах выше f -полиномы будут иметь вид $x^{3}+6x^{2}+12x+8$ и $x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1$, соответственно.

Комбинатористов часто весьма интересует h-вектор симплициального комплекса Δ, который представляет собой последовательность коэффициентов многочлена, полученную в результате подстановки x - 1 в f -полином от Δ. Формально, если мы пишем F _Δ ( x ) для обозначения f -полинома Δ, то h-полином Δ будет

$F_{\Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}$

и h -вектор Δ равен

$(h_{0},h_{1},h_{2},\cdots ,h_{d+1}).$

Мы вычисляем h-вектор границы октаэдра (наш первый пример) следующим образом:

$F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.$

Итак, h -вектор границы октаэдра равен (1, 3, 3, 1). не случайно Этот h -вектор симметричен . Фактически, это происходит всякий раз, когда ∆ является границей симплициального многогранника (это уравнения Дена–Соммервилля ). Однако в общем случае h -вектор симплициального комплекса даже не обязательно положителен. Например, если мы возьмем Δ как 2-комплекс, заданный двумя треугольниками, пересекающимися только в общей вершине, результирующий h -вектор будет (1, 3, −2).

Полную характеристику всех симплициальных многогранных h -векторов дает знаменитая -теорема Стэнли g , Биллеры и Ли.

Видно, что симплициальные комплексы имеют ту же геометрическую структуру, что и контактный граф упаковки сфер (граф, в котором вершины являются центрами сфер, а ребра существуют, если соответствующие элементы упаковки касаются друг друга), и как таковые могут использоваться для определения комбинаторика упаковок сфер , такая как количество соприкасающихся пар (1-симплексов), соприкасающихся троек (2-симплексов) и соприкасающихся четверок (3-симплексов) в упаковке сфер.

Вычислительные задачи

Основная статья: Проблема упрощенного комплексного распознавания

состоит Задача распознавания симплициального комплекса в следующем: учитывая конечный симплициальный комплекс, решить, гомеоморфен ли он заданному геометрическому объекту. Эта проблема неразрешима для любых d -мерных многообразий при d ≥ 5.

См. также

• Абстрактный симплициальный комплекс
• Барицентрическое подразделение
• Причинная динамическая триангуляция
• Дельта-сет
• Петлевая квантовая гравитация
• Полигональная цепочка – одномерный симплициальный комплекс
• Лемма Такера
• Симплексное дерево

Ссылки

• Спэньер, Эдвин Х. (1966), Алгебраическая топология , Springer, ISBN  0-387-94426-5
• Маундер, Чарльз РФ (1996), Алгебраическая топология (перепечатка издания 1980 года), Минеола, Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0-486-69131-4 , МР   1402473
• Хилтон, Питер Дж .; Уайли, Шон (1967), Теория гомологии , Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-09422-4 , МР   0115161

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Симплициальный комплекс» . Математический мир .
• Норман Дж. Вильдбергер. «Симплексы и симплициальные комплексы». Разговор на Ютубе. .