Использование теоремы Борсука–Улама
«Использование теоремы Борсука-Улама: Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии» — учебник математики для аспирантов по топологической комбинаторике . Он описывает использование результатов в топологии , и в частности теоремы Борсука-Улама , для доказательства теорем в комбинаторике и дискретной геометрии . Он был написан чешским математиком Иржи Матушеком и опубликован в 2003 году издательством Springer-Verlag в серии Universitext ( ISBN 978-3-540-00362-5 ). [1] [2]
Темы
[ редактировать ]Тема книги является частью относительно новой области математики, пересекающей топологию и комбинаторику, которая теперь называется топологической комбинаторикой . [2] [3] Начальная точка поля, [3] и одним из главных источников вдохновения для книги стало опубликованное в 1978 году Ласло Ловасом доказательство гипотезы Мартина Кнезера 1955 года , согласно которой Кнезер строит графики не иметь раскраски графика с цвета. Ловас использовал теорему Борсука-Улама в своем доказательстве, а Матушек собирает множество связанных с ней результатов, опубликованных впоследствии, чтобы показать, что эта связь между топологией и комбинаторикой - это не просто трюк с доказательством, а целая область. [4]
В книге шесть глав. После двух глав, в которых рассматриваются основные понятия алгебраической топологии и доказываются теоремы Борсука-Улама , в третьей главе начинаются приложения к комбинаторике и геометрии, включающие такие темы, как теорема о сэндвиче с ветчиной , проблема расщепления ожерелья , лемма Гейла о точках в полушариях. и несколько результатов о раскрасках графов Кнезера . [1] [2] После еще одной главы, посвященной более сложным темам эквивариантной топологии , следуют еще две главы приложений, разделенные в зависимости от того, является ли эквивариантность по модулю два или с использованием более сложного группового действия . [5] Темы в этих главах включают теорему Ван Кампена-Флореса о вложимости скелетов симплексов в меньшей размерности евклидовы пространства , а также топологические и многоцветные варианты теоремы Радона и теоремы Тверберга о разбиениях на подмножества с пересекающимися выпуклыми оболочками. [1] [2]
Аудитория и прием
[ редактировать ]Книга написана для студентов-выпускников и содержит упражнения, позволяющие использовать ее в качестве учебника для выпускников. Некоторые знания топологии будут полезны читателям, но не обязательны. Рецензент Михаэла Попличер пишет, что ее нелегко читать, но она «очень хорошо написана, очень интересна и очень информативна». [2] А рецензент Имре Барань пишет: «Книга хорошо написана, ее стиль ясный и приятный, с множеством наглядных примеров».
Матушек намеревался сделать этот материал частью более широкого учебника по топологической комбинаторике, написанного совместно с ним, Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером . [2] [5] Однако это не было завершено до безвременной кончины Матушека в 2015 году. [6]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с Дзеджей, Здзислав (2004), «Обзор использования теоремы Борсука-Улама », Mathematical Reviews , MR 1988723
- ^ Перейти обратно: а б с д и ж Попличер, Михаэла (январь 2005 г.), «Обзор использования теоремы Борсука-Улама », MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
- ^ Перейти обратно: а б де Лонгвиль, Марк, «25 лет доказательства гипотезы Кнезера: появление топологической комбинаторики» (PDF) , Информационный бюллетень EMS , Европейское математическое общество : 16–19
- ^ Циглер, Гюнтер М. , «Обзор использования теоремы Борсука-Улама », zbMATH , Zbl 1016.05001
- ^ Перейти обратно: а б Барань, Имре (март 2004 г.), «Обзор использования теоремы Борсука-Улама », Combinatorics, Probability and Computing , 13 (2): 281–282, doi : 10.1017/s096354830400608x
- ^ Краточвил, Ян; Лебл, Мартин; Он не пощадил, Ярик; Валтр, Павел, проф. Иржи Матушек