Топологическая комбинаторика
Математическая дисциплина топологическая комбинаторика — применение топологических и алгебро-топологических методов к решению задач комбинаторики .
История [ править ]
Дисциплина комбинаторная топология использовала комбинаторные понятия топологии и в начале 20 века превратилась в область алгебраической топологии .
В 1978 году ситуация изменилась — методы алгебраической топологии были использованы для решения задачи комбинаторики — когда Ласло Ловас доказал гипотезу Кнезера , положив начало новой области топологической комбинаторики . В доказательстве Ловаса использовалась теорема Борсука – Улама , и эта теорема сохраняет заметную роль в этой новой области. Эта теорема имеет множество эквивалентных версий и аналогов и использовалась при изучении проблем справедливого дележа .
В другом применении гомологических методов к теории графов Ловаш доказал как ненаправленную, так и направленную версии гипотезы Андраша Франка : для данного k -связного графа G . существует k точек и k положительных целых чисел это суммируется до , существует раздел из такой, что , , и охватывает связный подграф.
В 1987 году проблема расщепления ожерелья была решена Ногой Алоном с использованием теоремы Борсука – Улама. Он также использовался для изучения проблем сложности в алгоритмах линейного дерева решений и гипотезы Андераа-Карпа-Розенберга . Другие области включают топологию частично упорядоченных множеств и порядков Брюа .
Кроме того, методы дифференциальной топологии теперь имеют комбинаторный аналог в дискретной теории Морса .
См. также [ править ]
- тема Спернера
- Дискретное внешнее исчисление
- Топологическая теория графов
- Комбинаторная топология
- Конечное топологическое пространство
Ссылки [ править ]
- де Лонгвиль, Марк (2004), «25 лет доказательства гипотезы Кнезера - появление топологической комбинаторики» (PDF) , Информационный бюллетень EMS , Саутгемптон, Хэмпшир: Европейское математическое общество, стр. 16–19 , получено 29 июля 2008 г. .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Бьорнер, Андерс (1995), «Топологические методы», Грэм, Рональд Л .; Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло (ред.), Справочник по комбинаторике (PDF) , том. 2, Пресса Массачусетского технологического института, ISBN 978-0-262-07171-0 .
- Козлов, Дмитрий (2005), Тенденции в топологической комбинаторике , arXiv : math.AT/0507390 , Бибкод : 2005math......7390K .
- Козлов, Дмитрий (2007), Комбинаторная алгебраическая топология , Springer, ISBN 978-3-540-71961-8 .
- Ланге, Карстен (2005), Комбинаторные кривизны, групповые действия и раскраски: аспекты топологической комбинаторики (PDF) , доктор философии. диссертация, Берлинский технологический институт .
- Матушек, Иржи (2003), Использование теоремы Борсука-Улама: лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии , Springer, ISBN 978-3-540-00362-5 .
- Бармак, Джонатан (2011), Алгебраическая топология конечных топологических пространств и приложений , Springer, ISBN 978-3-642-22002-9 .
- де Лонгвиль, Марк (2011), Курс топологической комбинаторики , Springer, ISBN 978-1-4419-7909-4 .