Гипотеза

О реконструкции текста см. Гипотеза (текстовая критика) .

Действительная часть (красный) и мнимая часть (синий) дзета-функции Римана вдоль критической линии Re( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im( s ) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011. Гипотеза Римана , известная гипотеза, утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат вдоль критической линии.

В математике гипотеза , — это вывод или утверждение выдвинутое предварительно без доказательства . Некоторые гипотезы, такие как гипотеза Римана (все еще гипотеза) или Великая теорема Ферма (гипотеза, пока не была доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом ), сформировали большую часть математической истории, поскольку для их доказательства разрабатываются новые области математики.

Разрешение домыслов

Доказательство

Формальная математика основана на доказуемой истине. В математике любое количество случаев, подтверждающих универсально количественную гипотезу, независимо от ее размера, недостаточно для установления ее достоверности, поскольку единственный контрпример может немедленно опровергнуть гипотезу. Математические журналы иногда публикуют незначительные результаты исследовательских групп, которые расширили поиск контрпримера дальше, чем это делалось раньше. Например, гипотеза Коллатца , касающаяся того, завершаются ли определенные последовательности целых чисел , была проверена для всех целых чисел до 1,2 × 10. ¹² (более триллиона). Однако неспособность найти контрпример после обширного поиска не является доказательством того, что гипотеза верна, поскольку гипотеза может быть ложной, но с очень большим минимальным контрпримером.

Тем не менее математики часто считают, что гипотеза убедительно подтверждается фактами, даже если она еще не доказана. Эти доказательства могут быть различного рода, например, проверка последствий или сильная взаимосвязь с известными результатами.

Гипотеза считается доказанной только тогда, когда доказано, что ее ложность логически невозможна. Существуют различные способы сделать это; см. в методах математического доказательства более подробную информацию .

Один метод доказательства, применимый, когда существует только конечное число случаев, которые могут привести к контрпримерам, известен как « грубая сила »: в этом подходе рассматриваются все возможные случаи и показано, что они не дают контрпримеров. В некоторых случаях количество случаев довольно велико, и в этом случае доказательство методом грубой силы может на практике потребовать использования компьютерного алгоритма для проверки всех случаев. Например, достоверность доказательств грубой силы теоремы о четырех цветах компьютерных в 1976 и 1997 годах первоначально вызывала сомнения, но в конечном итоге была подтверждена в 2005 году программным обеспечением для доказательства теорем .

Когда гипотеза доказана , это уже не гипотеза, а теорема . Многие важные теоремы когда-то были гипотезами, например, теорема о геометризации (которая разрешила гипотезу Пуанкаре ), Великая теорема Ферма и другие.

Опровержение

Гипотезы, опровергнутые с помощью контрпримеров, иногда называют ложными гипотезами (ср. гипотезу Полиа и гипотезу Эйлера о сумме степеней ). В последнем случае первый контрпример, найденный для случая n=4, включал числа в миллионах, хотя впоследствии было обнаружено, что минимальный контрпример на самом деле меньше.

Независимые предположения

Не каждая гипотеза в конечном итоге оказывается истинной или ложной. Гипотеза континуума , которая пытается установить относительную мощность некоторых бесконечных множеств , в конечном итоге оказалась независимой от общепринятого набора аксиом Цермело-Френкеля теории множеств. Следовательно, можно принять это утверждение или его отрицание в качестве новой аксиомы последовательно может Евклида (так же, как постулат о параллельности считаться либо истинным, либо ложным в аксиоматической системе геометрии).

В этом случае, если доказательство использует это утверждение, исследователи часто будут искать новое доказательство, не требующее гипотезы (так же, как желательно, чтобы утверждения евклидовой геометрии доказывались с использованием только аксиом нейтральной геометрии, т.е. без постулата о параллельности). Единственным серьезным исключением из этого правила на практике является аксиома выбора , поскольку большинство исследователей обычно не беспокоятся о том, требует ли этого результат, — если только они не изучают именно эту аксиому.

Условные доказательства

Иногда гипотезу называют гипотезой, если она часто и неоднократно используется в качестве предположения при доказательстве других результатов. Например, гипотеза Римана — это гипотеза теории чисел , которая, помимо прочего, делает предсказания о распределении простых чисел . Лишь немногие теоретики чисел сомневаются в истинности гипотезы Римана. Более того, в ожидании окончательного доказательства некоторые даже приступили к разработке дальнейших доказательств, которые зависят от истинности этой гипотезы. Они называются условными доказательствами : предполагаемые гипотезы на данный момент фигурируют в гипотезах теоремы.

Однако эти «доказательства» развалились бы, если бы выяснилось, что гипотеза ложна, поэтому существует значительный интерес к проверке истинности или ложности гипотез такого типа.

Важные примеры

Великая теорема Ферма

Основная статья: Последняя теорема Ферма

В теории чисел Великая теорема Ферма (иногда называемая гипотезой Ферма , особенно в старых текстах) утверждает, что никакие три положительных целых числа $a$, $b$, и $c$ может удовлетворить уравнение $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ для любого целого значения $n$ больше двух.

Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на полях экземпляра «Арифметики» , где он утверждал, что у него есть доказательство, которое было слишком большим, чтобы поместиться на полях. Первое успешное доказательство было опубликовано в 1994 году Эндрю Уайлсом и официально опубликовано в 1995 году, после 358 лет усилий математиков. Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в 19 веке и доказательство теоремы модульности в 20 веке. Это одна из самых известных теорем в истории математики , и до ее доказательства она была занесена в Книгу рекордов Гиннеса как «самые сложные математические задачи».

Теорема о четырёх цветах

Основная статья: Теорема о четырех цветах

Четырехцветная карта штатов США (без учета озер).

В математике теорема о четырех цветах или теорема о четырех цветных картах утверждает, что при любом разделении плоскости на смежные области, создающем фигуру, называемую картой , для окраски областей карты требуется не более четырех цветов — так что никакие две соседние области не имеют одинакового цвета. Две области называются смежными, если они имеют общую границу, не являющуюся углом, где углами являются точки, общие для трех или более областей. Например, на карте Соединенных Штатов Америки Юта и Аризона соседствуют, а Юта и Нью-Мексико, которые имеют только одну точку , также принадлежащую Аризоне и Колорадо, — нет.

Мёбиус упомянул эту проблему в своих лекциях ещё в 1840 году. Гипотеза была впервые высказана 23 октября 1852 года. когда Фрэнсис Гатри , пытаясь раскрасить карту графств Англии, заметил, что нужно всего четыре разных цвета. Теорема о пяти цветах , имеющая краткое элементарное доказательство, утверждает, что пяти цветов достаточно, чтобы раскрасить карту, и была доказана в конце 19 века; однако доказать, что четырех цветов достаточно, оказалось значительно сложнее. ряд ложных доказательств и ложных контрпримеров Со времени первого утверждения теоремы о четырех цветах в 1852 году появился .

Теорема о четырех цветах была окончательно доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном . Это была первая крупная теорема , доказанная с помощью компьютера . Подход Аппеля и Хакена начался с демонстрации того, что существует определенный набор из 1936 карт, каждая из которых не может быть частью наименьшего контрпримера к теореме о четырех цветах (т. е., если бы они действительно появились, можно было бы создать меньший контрпример ). Аппель и Хакен использовали специальную компьютерную программу, чтобы подтвердить, что каждая из этих карт обладает этим свойством. Кроме того, любая карта, которая потенциально может быть контрпримером, должна иметь часть, похожую на одну из этих 1936 карт. Показав это на сотнях страниц анализа рук, Аппель и Хакен пришли к выводу, что не существует наименьшего контрпримера, поскольку любой из этих 1936 карт должен содержать, но не содержит. Это противоречие означает, что контрпримеров вообще нет и, следовательно, теорема верна. Первоначально их доказательство вообще не было принято математиками, поскольку Доказательство с помощью компьютера было невозможно проверить человеком вручную. Однако с тех пор доказательство получило более широкое признание, хотя сомнения все еще остаются.

Основная статья: Основная гипотеза

Hauptvermutung геометрической (по-немецки «основная гипотеза») топологии — это гипотеза о том, что любые две триангуляции триангулируемого пространства имеют общее уточнение, единственную триангуляцию, которая является подразделением их обеих. Первоначально он был сформулирован в 1908 году Стейницем и Титце .

Теперь известно, что эта гипотеза ошибочна. Немногообразная версия была опровергнута Джоном Милнором. в 1961 году с использованием торсиона Райдемайстера .

Версия многообразия верна для размерностей m ≤ 3 . Случаи m = 2 и 3 доказали Тибор Радо и Эдвин Э. Мойзе. соответственно в 1920-х и 1950-х годах.

Вейля

Основная статья: гипотезы Вейля

В математике были гипотезы Вейля весьма влиятельными предложениями Андре Вейля ( 1949 ) о производящих функциях (известных как локальные дзета-функции ), полученных в результате подсчета количества точек на алгебраических многообразиях над конечными полями .

Многообразие V над конечным полем с q элементами имеет конечное число рациональных точек , а также точек над каждым конечным полем с q. ^к элементы, содержащие это поле. Производящая функция имеет коэффициенты, полученные из числа N _k точек в (по существу уникальном) поле с q ^к элементы.

Вейль предположил, что такие дзета-функции должны быть рациональными функциями , удовлетворять форме функционального уравнения и иметь нули в ограниченных местах. Последние две части были вполне сознательно смоделированы на основе дзета-функции Римана и гипотезы Римана . Рациональность была доказана Дворком (1960) , функциональное уравнение Гротендиком (1965) , а аналог гипотезы Римана был доказан Делинем (1974) .

Гипотеза Пуанкаре

Основная статья: гипотеза Пуанкаре

В математике — гипотеза Пуанкаре это теорема о характеристике 3 -сферы , которая является гиперсферой, ограничивающей единичный шар в четырехмерном пространстве. Гипотеза гласит, что:

Каждое односвязное замкнутое многообразие 3- гомеоморфно 3 - сфере.

Эквивалентная форма гипотезы включает более грубую форму эквивалентности, чем гомеоморфизм, называемую гомотопической эквивалентностью : если 3-многообразие гомотопически эквивалентно 3-сфере, то оно обязательно гомеоморфно ей.

Первоначально выдвинутая Анри Пуанкаре в 1904 году гипотеза, эта теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но связно, имеет конечный размер и не имеет границ ( замкнутое трехмерное многообразие ). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждую петлю в пространстве можно непрерывно стягивать к точке, то оно обязательно является трехмерной сферой. Аналогичный результат уже некоторое время известен в высших измерениях.

После почти столетия усилий математиков Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv . Доказательство основывалось на программе Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для решения проблемы. Позже Гамильтон представил модификацию стандартного потока Риччи, названную потоком Риччи, с хирургическим вмешательством по систематическому удалению отдельных областей по мере их развития контролируемым образом, но не смог доказать, что этот метод «сходится» в трех измерениях. Перельман завершил эту часть доказательства. Несколько групп математиков подтвердили правильность доказательства Перельмана.

Гипотеза Пуанкаре, прежде чем она была доказана, была одним из наиболее важных открытых вопросов топологии .

Римана

Основная статья: гипотеза Римана

В математике гипотеза Римана , предложенная Бернхардом Риманом ( 1859 ), представляет собой гипотезу о том, что все нетривиальные нули имеют дзета-функции Римана действительную часть 1/2. Это название также используется для некоторых тесно связанных аналогов, таких как гипотеза Римана для кривых над конечными полями .

Гипотеза Римана подразумевает результаты о распределении простых чисел . Наряду с соответствующими обобщениями некоторые математики считают ее важнейшей нерешенной проблемой чистой математики . Гипотеза Римана, наряду с гипотезой Гольдбаха , является частью восьмой проблемы Гильберта в Дэвида Гильберта списке из 23 нерешённых проблем ; это также одна из Института математики Клэя задач Премии тысячелетия .

P

Основная статья: Проблема P и NP

Проблема P и NP является основной нерешенной проблемой в информатике . Неформально он спрашивает, может ли каждая проблема, решение которой может быть быстро проверено компьютером, также быстро решена с помощью компьютера; широко распространено мнение, что ответ — нет. По сути, впервые он был упомянут в письме Курта Гёделя Джону фон Нейману в 1956 году . Гёдель задавался вопросом, можно ли решить определенную NP-полную задачу за квадратичное или линейное время. Точная формулировка проблемы P=NP была представлена ​​в 1971 году Стивеном Куком в его основополагающей статье «Сложность процедур доказательства теорем». и многие считают ее наиболее важной открытой проблемой в этой области. Это одна из семи задач Премии тысячелетия , выбранных Математическим институтом Клэя для получения премии в размере 1 000 000 долларов США за первое правильное решение.

Другие предположения

• Гипотеза Гольдбаха
• близнецах Гипотеза о простых числах-
• Коллатца Гипотеза
• Манина Гипотеза
• Малдасены Гипотеза
• , Гипотеза Эйлера предложенная Эйлером в 18 веке, но для которой, начиная с середины 20 века, были найдены контрпримеры для ряда показателей (начиная с n = 4).
• Гипотезы Харди-Литтлвуда представляют собой пару гипотез о распределении простых чисел, первая из которых расширяет вышеупомянутую гипотезу о простых числах-близнецах. Ни одно из них не было ни доказано, ни опровергнуто, но было доказано , что оба не могут быть одновременно истинными (т. е. хотя бы одно из них должно быть ложным). Не доказано, какая из них ложна, но широко распространено мнение, что первая гипотеза верна, а вторая ложна.
• Ленглендса Программа представляет собой обширную сеть идей « объединяющих гипотез », которые связывают различные области математики (например, между теорией чисел и теорией представлений групп Ли ). Некоторые из этих гипотез с тех пор были доказаны.

В других науках

Карл Поппер был пионером в использовании термина «гипотеза» в научной философии . Гипотеза связана с гипотезой , которая в науке относится к проверяемой гипотезе.

См. также

• Смелая гипотеза
• Исследования будущего
• Гипотезы
• Список гипотез
• Машина Рамануджана

Ссылки

Цитируемые работы

• Делинь, Пьер (1974), «Гипотеза Вейля. I» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 43 (43): 273–307, doi : 10.1007/BF02684373 , ISSN   1618-1913 , MR   0340258 , S2CID   12313934 3
• Дворк, Бернард (1960), «О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия», American Journal of Mathematics , 82 (3), American Journal of Mathematics, Vol. 82, № 3: 631–648, doi : 10.2307/2372974 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372974 , MR   0140494
• Гротендик, Александр (1995) [1965], «Формула Лефшеца и рациональность L-функций», Семинар Бурбаки , том. 9, Париж: Математическое общество Франции , стр. 41–55, МР   1608788

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с предположениями, на Викискладе?
• Открытый проблемный сад
• Веб-сайт «Нерешенные проблемы»