поток Риччи

Несколько стадий течения Риччи на двумерном многообразии.

В математических областях дифференциальной геометрии и геометрического анализа поток Риччи ( / ˈ r iː tʃ i / REE -chee , Итальянский: [ˈrittʃi] ), иногда также называемый потоком Риччи Гамильтона , представляет собой определенное уравнение в частных производных для римановой метрики . Его часто называют аналогом диффузии тепла и уравнения теплопроводности из-за формального сходства в математической структуре уравнения. Однако он нелинейен и демонстрирует множество явлений, которых нет при изучении уравнения теплопроводности.

Поток Риччи, названный так из-за присутствия тензора Риччи в его определении, был введен Ричардом Гамильтоном , который использовал его на протяжении 1980-х годов для доказательства новых поразительных результатов в римановой геометрии . Более поздние расширения методов Гамильтона различными авторами привели к новым приложениям к геометрии, включая разрешение гипотезы о дифференцируемой сфере Саймоном Брендлом и Ричардом Шоном .

По Шинг-Тунг Яу предложению что особенности решений потока Риччи могут идентифицировать топологические данные, предсказанные Уильяма Терстона , гипотезой геометризации Гамильтон в 1990-х годах получил ряд результатов, направленных на разрешение гипотезы. В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман представил ряд фундаментальных новых результатов о потоке Риччи, включая новый вариант некоторых технических аспектов программы Гамильтона. Работа Перельмана сейчас широко рассматривается как доказательство гипотезы Терстона и гипотезы Пуанкаре , рассматриваемой как частный случай первой. Следует подчеркнуть, что гипотеза Пуанкаре является хорошо известной открытой проблемой в области геометрической топологии с 1904 года. Эти результаты Гамильтона и Перельмана считаются важной вехой в области геометрии и топологии.

Математическое определение

На гладком многообразии M гладкая риманова метрика g автоматически определяет тензор Риччи Ric ^г . Для каждого элемента p из M по определению g _p является положительно определенным скалярным произведением в касательном пространстве T _p M в точке p . Если дано однопараметрическое семейство римановых метрик g _t , можно рассмотреть производную ∂ / ∂tgt p , _TpM присваивает каждому конкретному t и который симметричную форму на затем _{значению} . билинейную Поскольку тензор Риччи римановой метрики также сопоставляет каждому p симметричную билинейную форму на T _p M , следующее определение имеет смысл.

• Для гладкого многообразия M и открытого вещественного интервала ( a , b ) сопоставляет поток Риччи каждому t в интервале ( a , b ) риманову метрику gt _M на что такую, ∂ / ∂ t g _t = −2 Ric ^{г _т} .

Тензор Риччи часто считают средним значением секционных кривизн или алгебраическим следом тензора кривизны Римана . Однако для анализа существования и единственности потоков Риччи чрезвычайно важно, что тензор Риччи можно определить в локальных координатах формулой, включающей первую и вторую производные метрического тензора. Это превращает поток Риччи в геометрически определенное уравнение в частных производных . Анализ эллиптичности формулы локальных координат дает основание существования потоков Риччи; соответствующий результат см. в следующем разделе.

Пусть k — ненулевое число. Учитывая поток Риччи g _t на интервале ( a , b ) , рассмотрим G _t = g _kt для t между а / к и б / к . Затем ∂ / ∂ t G _t = −2 k Ric ^{г _т} . Итак, при таком очень тривиальном изменении параметров число −2, фигурирующее в определении потока Риччи, можно было заменить любым другим ненулевым числом. По этой причине использование −2 можно рассматривать как произвольное соглашение, хотя ему следуют практически все статьи и описания потока Риччи. Единственное существенное отличие состоит в том, что если бы -2 было заменено положительным числом, то теорема существования, обсуждаемая в следующем разделе, стала бы теоремой, которая создает поток Риччи, который движется назад (а не вперед) в значениях параметров от исходных данных.

Параметр t обычно называют временем , хотя это лишь часть стандартной неформальной терминологии в математической области уравнений в частных производных. Это не физически значимая терминология. Фактически, в стандартной квантово-полевой интерпретации потока Риччи в терминах ренормгруппы параметр t соответствует длине или энергии, а не времени.

Риччи

Предположим, что M — компактное гладкое многообразие, и пусть g _t — поток Риччи для t в интервале ( a , b ) . Определим Ψ: ( a , b ) → (0, ∞) так, чтобы каждая из римановых метрик Ψ( t ) g _t имела объем 1; это возможно, поскольку M компактно. (В более общем смысле, это было бы возможно, если бы каждая риманова метрика g _t имела конечный объем.) Затем определите F : ( a , b ) → (0, ∞) как первообразную Ψ , которая обращается в нуль в точке a . Поскольку Ψ положительнозначен, F является биекцией на свой образ (0, S ) . Теперь римановы метрики G _s = Ψ( F ⁻¹ ( s )) г _{F ⁻¹ ( s )} , определенные для параметров s ∈ (0, S ) , удовлетворяют

$${\frac {\partial }{\partial s}}G_{s}=-2\operatorname {Ric} ^{G_{s}}+{\frac {2}{n}}{\frac {\int _{M}R^{G_{s}}\,d\mu _{G_{s}}}{\int _{M}d\mu _{G_{s}}}}G_{s}.$$

Здесь R обозначает скалярную кривизну . Это называется нормализованным уравнением потока Риччи . Таким образом, при явно заданном изменении масштаба Ψ и перепараметризации значений параметров поток Риччи можно преобразовать в нормированный поток Риччи. Обратное также справедливо, если обратить вышеприведенные вычисления.

Основная причина рассмотрения нормализованного потока Риччи заключается в том, что он позволяет удобно сформулировать основные теоремы сходимости для потока Риччи. Однако это не обязательно, и практически для всех целей достаточно рассмотреть поток Риччи в его стандартной форме. Более того, нормированный поток Риччи вообще не имеет смысла на некомпактных многообразиях.

Существование и уникальность

Позволять $M$ — гладкое замкнутое многообразие, и пусть $g_{0}$ — любая гладкая риманова метрика на $M$. Используя теорему Нэша – Мозера о неявной функции , Гамильтон (1982) показал следующую теорему существования:

• Существует положительное число $T$ и поток Риччи $g_{t}$ параметризованный $t\in (0,T)$ такой, что $g_{t}$ сходится к $g_{0}$ в $C^{\infty }$ топология как $t$ уменьшается до 0.

Он показал следующую теорему единственности:

• Если $\{g_{t}:t\in (0,T)\}$ и $\{{\widetilde {g}}_{t}:t\in (0,{\widetilde {T}})\}$ являются двумя потоками Риччи, как в приведенной выше теореме существования, то $g_{t}={\widetilde {g}}_{t}$ для всех $t\in (0,\min\{T,{\widetilde {T}}\}).$

Теорема существования дает однопараметрическое семейство гладких римановых метрик. Фактически любое такое однопараметрическое семейство также плавно зависит от параметра. Именно это говорит о том, что относительно любой гладкой координатной карты $(U,\phi )$ на $M$, функция $g_{ij}:U\times (0,T)\to \mathbb {R}$ гладко для любого $i,j=1,\dots ,n$.

Деннис ДеТурк впоследствии дал доказательство приведенных выше результатов, в котором вместо этого используется теорема Банаха о неявной функции. Его работа, по сути, представляет собой более простую риманову версию в лоренцевой геометрии Ивонны Шоке-Брюа известного доказательства и интерпретации корректности уравнений Эйнштейна .

Как следствие теоремы существования и единственности Гамильтона, при наличии данных $(M,g_{0})$, можно однозначно говорить о потоке Риччи на $M$ с исходными данными $g_{0}$, и можно выбрать $T$ принять максимально возможное значение, которое может быть бесконечным. Принцип, лежащий практически во всех основных приложениях потока Риччи, в частности, в доказательстве гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации, заключается в том, что, поскольку $t$ приближается к этому максимальному значению, поведение метрик $g_{t}$ может раскрыть и отразить глубокую информацию о $M$.

Теоремы

Полное изложение следующих теорем сходимости дано в работах Эндрюса и Хоппера (2011) и Брендла (2010) .

Пусть ( M , g ₀ ) — гладкое замкнутое риманово многообразие. При любом из следующих трех условий:

• M двумерный
• M трехмерен, а g ₀ имеет положительную кривизну Риччи.
• M имеет размерность больше трех, а метрика произведения на ( M , g ₀ ) × ℝ имеет положительную изотропную кривизну.

нормированный поток Риччи с начальными данными g ₀ существует для всего положительного времени и плавно сходится при стремлении t к бесконечности к метрике постоянной кривизны.

Трехмерный результат принадлежит Гамильтону (1982) . Доказательство Гамильтона, вдохновленное и в общих чертах смоделированное на эпохальной статье Джеймса Илса и Джозефа Сэмпсона 1964 года о сходимости гармонической карты теплового потока , включало множество новых функций, таких как распространение принципа максимума на случай симметричных 2-тензоров. Его статья (вместе со статьей Илса-Сэмпсона) является одной из наиболее широко цитируемых в области дифференциальной геометрии. Его результат изложен в работе Chow, Lu & Ni (2006 , глава 3).

С точки зрения доказательства двумерный случай правильно рассматривается как совокупность трех различных результатов, по одному для каждого случая, когда характеристика M эйлерова положительна, равна нулю или отрицательна. Как продемонстрировал Гамильтон (1988) , отрицательный случай обрабатывается принципом максимума, а нулевой случай обрабатывается интегральными оценками; положительный случай более тонкий, и Гамильтон рассмотрел подслучай, в котором g ₀ имеет положительную кривизну, объединив прямую адаптацию оценки градиента Питера Ли и Шинг-Тунг Яу к потоку Риччи вместе с инновационной «оценкой энтропии». Полный положительный случай был продемонстрирован Беннетом Чоу (1991) в рамках расширения методов Гамильтона. Поскольку любой поток Риччи на двумерном многообразии ограничен одним конформным классом уравнение в частных производных для скалярной функции на фиксированном римановом многообразии ( M , g0 _{, его можно преобразовать в} ) . Таким образом, поток Риччи в этой ситуации также можно изучать чисто аналитическими методами; соответственно, существуют альтернативные негеометрические доказательства теоремы о двумерной сходимости.

Случай более высокой размерности имеет более длительную историю. Вскоре после прорывного результата Гамильтона Герхард Хейскен распространил свои методы на более высокие размерности, показав, что если g ₀ почти имеет постоянную положительную кривизну (в смысле малости некоторых компонент разложения Риччи ), то нормированный поток Риччи плавно сходится к постоянной кривизне. . Гамильтон (1986) нашел новую формулировку принципа максимума в терминах захвата выпуклыми множествами, что привело к общему критерию, связывающему сходимость потока Риччи метрик положительной кривизны с существованием «сжимающих множеств» для некоторого многомерного обыкновенного дифференциала. уравнение . Как следствие, ему удалось решить случай, когда M четырехмерен и g ₀ имеет оператор положительной кривизны. Двадцать лет спустя Кристоф Бём и Буркхард Вилкинг нашли новый алгебраический метод построения «сжимающих множеств», тем самым устранив предположение о четырёхмерности из результата Гамильтона ( Böhm & Wilking 2008). ). Саймон Брендл и Ричард Шон показали, что положительность изотропной кривизны сохраняется потоком Риччи на замкнутом многообразии; применив метод Бема и Уилкинга, они смогли вывести новую теорему о сходимости потока Риччи ( Brendle & Schoen 2009 ). Их теорема о сходимости включала в качестве частного случая решение теоремы о дифференцируемой сфере , которая в то время была давней гипотезой. Приведенная выше теорема о сходимости принадлежит Брендлу (2008) , который включает в себя более ранние результаты о многомерной сходимости Хьюскена, Гамильтона, Бёма и Уилкинга и Брендла и Шона.

Следствия

Результаты в размерностях три и выше показывают, что любое гладкое замкнутое многообразие М, допускающее метрику g0 _{пространственной} данного типа, должно быть формой положительной кривизны. Поскольку эти пространственные формы в значительной степени понятны благодаря работам Эли Картана и других, можно сделать такие выводы, как

• Предположим, что M — гладкое замкнутое трехмерное многообразие, допускающее гладкую риманову метрику положительной кривизны Риччи. Если M односвязно, то оно должно быть диффеоморфно 3-сфере.

Итак, если бы можно было напрямую показать, что любое гладкое замкнутое односвязное трехмерное многообразие допускает гладкую риманову метрику положительной кривизны Риччи , то гипотеза Пуанкаре сразу же последовала бы . Однако в нынешнем понимании этот результат известен только как (тривиальное) следствие гипотезы Пуанкаре, а не наоборот.

Возможные расширения

Для любого n, большего двух, существует множество замкнутых n -мерных гладких многообразий, которые не имеют гладких римановых метрик постоянной кривизны. Поэтому нельзя надеяться, что удастся просто исключить условия кривизны из приведенных выше теорем сходимости. Можно было бы заменить условия кривизны некоторыми альтернативами, но существование компактных многообразий, таких как комплексное проективное пространство , которое имеет метрику оператора неотрицательной кривизны ( метрика Фубини-Студи ), но не имеет метрики постоянной кривизны, делает это неясным. насколько эти условия можно было бы отодвинуть. Аналогично, возможность формулировки аналогичных результатов о сходимости для римановых метрик отрицательной кривизны осложняется существованием замкнутых римановых многообразий, кривизна которых сколь угодно близка к постоянной, но при этом не допускает метрик постоянной кривизны.

–

Используя технику, впервые предложенную Питером Ли и Шинг-Тунг Яу для параболических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях, Гамильтон (1993a) доказал следующее «неравенство Ли-Яу».

• Позволять $M$ — гладкое многообразие, и пусть $g_{t}$ быть решением потока Риччи с $t\in (0,T)$ такой, что каждый $g_{t}$ полно с ограниченной кривизной. Кроме того, предположим, что каждый $g_{t}$ имеет оператор неотрицательной кривизны. Тогда для любой кривой $\gamma :[t_{1},t_{2}]\to M$ с $[t_{1},t_{2}]\subset (0,T)$, у одного есть
  $${\frac {d}{dt}}{\big (}R^{g(t)}(\gamma (t)){\big )}+{\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))}{t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ric} ^{g(t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))\geq 0.$$

Перельман (2002) показал следующее альтернативное неравенство Ли – Яу.

• Позволять $M$ быть плавно закрытым $n$-многообразие, и пусть $g_{t}$ быть решением потока Риччи. Рассмотрим обратное уравнение теплопроводности для $n$-формы, т.е. ${\tfrac {\partial }{\partial t}}\omega +\Delta ^{g(t)}\omega =0$; данный $p\in M$ и $t_{0}\in (0,T)$, рассмотрим частное решение, которое при интегрировании слабо сходится к дельта-мере Дирака как $t$ увеличивается до $t_{0}$. Тогда для любой кривой $\gamma :[t_{1},t_{2}]\to M$ с $[t_{1},t_{2}]\subset (0,T)$, у одного есть
  $${\frac {d}{dt}}{\big (}f(\gamma (t),t){\big )}+{\frac {f{\big (}\gamma (t),t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+|\gamma '(t)|_{g(t)}^{2}}{2}}.$$
  где $\omega =(4\pi (t_{0}-t))^{-n/2}e^{-f}{\text{d}}\mu _{g(t)}$.

Оба этих замечательных неравенства имеют огромное значение для доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации. Члены в правой части неравенства Ли-Яу Перельмана мотивируют определение его функционала «приведенной длины», анализ которого приводит к его «теореме о неколлапсе». Теорема о неколлапсе позволяет применить теорему Гамильтона о компактности (Гамильтон 1995) для построения «моделей особенностей», которые представляют собой потоки Риччи на новых трехмерных многообразиях. Благодаря оценке Гамильтона–Айви эти новые потоки Риччи имеют неотрицательную кривизну. Затем можно применить неравенство Ли-Яу Гамильтона, чтобы увидеть, что скалярная кривизна в каждой точке является неубывающей (неотрицательной) функцией времени. Это мощный результат, который позволяет провести множество дальнейших аргументов. В конце концов, Перельман показывает, что любая из его моделей сингулярностей асимптотически подобна полному градиентному сжимающемуся солитону Риччи, который полностью классифицирован; см. предыдущий раздел.

См. Chow, Lu & Ni (2006 , главы 10 и 11) для получения подробной информации о неравенстве Ли-Яу Гамильтона; книги Чоу и др. (2008) и Мюллер (2006) содержат разъяснения обоих приведенных выше неравенств.

Примеры

постоянной кривизны

Позволять $(M,g)$ быть римановым многообразием, которое является Эйнштейном , что означает, что существует число $\lambda$ такой, что ${\text{Ric}}^{g}=\lambda g$. Затем $g_{t}=(1-2\lambda t)g$ представляет собой поток Риччи с $g_{0}=g$, с того времени

${\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}=-2\lambda g=-2\operatorname {Ric} ^{g}=-2\operatorname {Ric} ^{g_{t}}.$

Если $M$ замкнут, то согласно приведенной выше теореме единственности Гамильтона это единственный поток Риччи с начальными данными $g$. Видно, в частности, что:

• если $\lambda$ положителен, то поток Риччи «сжимается» $g$ поскольку масштабный коэффициент $1-2\lambda t$ меньше 1 для положительного $t$; более того, видно, что $t$ может быть только меньше $1/2\lambda$, для того, чтобы $g_{t}$ является римановой метрикой. Это простейшие примеры «сингулярности конечного времени».
• если $\lambda$ равно нулю, что является синонимом $g$ будучи Риччи-плоским, то $g_{t}$ не зависит от времени, поэтому максимальный интервал существования составляет всю действительную линию.
• если $\lambda$ отрицателен, то поток Риччи «расширяется» $g$ поскольку масштабный коэффициент $1-2\lambda t$ больше 1 для всех положительных $t$; более того, видно, что $t$ можно принять сколь угодно большим. Говорят, что поток Риччи для этой исходной метрики «бессмертен».

В каждом случае, поскольку римановы метрики, присвоенные разным значениям $t$ отличаются только постоянным масштабным коэффициентом, можно видеть, что нормированный поток Риччи $G_{s}$ существует во все времена и постоянна в $s$; в частности, оно плавно сходится (к своему постоянному значению) при $s\to \infty$.

Условие Эйнштейна имеет частный случай постоянной кривизны; следовательно, частные примеры сферы (с ее стандартной метрикой) и гиперболического пространства являются частными случаями вышесказанного.

Солитоны Риччи

Солитоны Риччи — это потоки Риччи, которые могут менять свой размер, но не форму, вплоть до диффеоморфизмов.

• Цилиндры С ^к × Р ^л (при k ≥ 2) аналогично сжимать себя под потоком Риччи до диффеоморфизмов
• Важным двумерным примером является сигарный солитон , который задается метрикой ( dx ² + ты ² )/( и ^{4 т} + х ² + и ² ) на евклидовой плоскости. Хотя эта метрика сжимается под воздействием потока Риччи, ее геометрия остается прежней. Такие решения называются устойчивыми солитонами Риччи.
• Примером трехмерного устойчивого солитона Риччи является Брайанта солитон , который вращательно-симметричен, имеет положительную кривизну и получается путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобная конструкция работает в произвольном измерении.
• Существует множество семейств кэлеровых многообразий, инвариантных относительно действия U ( n ) и бирациональных C ^н , которые являются солитонами Риччи. Эти примеры были построены Цао и Фельдманом-Ильманеном-Кнопфом. (Чоу-Кнопф, 2004 г.)
• Четырехмерный пример, демонстрирующий только симметрию тора, был недавно обнаружен Бамлером-Чифарелли-Конлоном-Дерюэлем.

Градиентно сжимающий солитон Риччи состоит из гладкого риманова многообразия ( M , g ) и f ∈ C ^∞ ( M ) такой, что

$\operatorname {Ric} ^{g}+\operatorname {Hess} ^{g}f={\frac {1}{2}}g.$

Одним из главных достижений Перельмана (2002) было показать, что если M — замкнутое трехмерное гладкое многообразие, то особенности конечного времени потока Риччи на M моделируются на полных градиентно сжимающих солитонах Риччи (возможно, на основных многообразиях отличается от М ). В 2008 году Хуай-Дун Цао , Бин-Лонг Чен и Си-Пин Чжу завершили классификацию этих солитонов, показав:

• Предположим, ( M , g , f ) — полный градиентно сжимающий солитон Риччи с dim( M ) = 3. Если M односвязно, то риманово многообразие ( M , g ) изометрично $\mathbb {R} ^{3}$, $S^{3}$, или $S^{2}\times \mathbb {R}$, каждый со своей стандартной римановой метрикой. Первоначально это было показано Перельманом (2003а) с некоторыми дополнительными условными предположениями. Заметим, что если M не односвязно, то можно рассматривать универсальное накрытие $\pi :M'\to M,$ и тогда приведенная выше теорема применима к $(M',\pi ^{\ast }g,f\circ \pi ).$

Пока еще нет хорошего понимания градиентного сжатия солитонов Риччи в каких-либо более высоких измерениях.

и

Первая работа Гамильтона о потоке Риччи была опубликована одновременно с Терстона Уильяма гипотезой геометризации , которая касается топологической классификации трехмерных гладких многообразий. Идея Гамильтона заключалась в том, чтобы определить своего рода нелинейное уравнение диффузии , которое имело бы тенденцию сглаживать неровности в метрике. Подходящие канонические формы уже были определены Терстоном; возможности, называемые геометриями модели Терстона , включают трехсферную S ³ , трехмерное евклидово пространство E ³ , трехмерное гиперболическое пространство H ³ , которые однородны и изотропны , и пять немного более экзотических римановых многообразий, которые однородны, но не изотропны. (Этот список тесно связан с классификацией Бьянки трехмерных вещественных алгебр Ли на девять классов, но не идентичен ей.)

Гамильтону удалось доказать, что любое гладкое замкнутое трехмногообразие, допускающее метрику положительной кривизны Риччи, также допускает уникальную геометрию Терстона, а именно сферическую метрику, которая действительно действует как притягивающая неподвижная точка под потоком Риччи, перенормированным для сохранения объема. (При неперенормированном потоке Риччи многообразие схлопывается в точку за конечное время.) Однако это не доказывает гипотезу полной геометризации из-за ограничительного предположения о кривизне.

Действительно, триумфом геометрии девятнадцатого века стало доказательство теоремы униформизации — аналогичной топологической классификации гладких двумерных многообразий, где Гамильтон показал, что поток Риччи действительно превращает отрицательно искривленное двумерное многообразие в двумерное многообразие. дырчатый тор, локально изометричный гиперболической плоскости. Эта тема тесно связана с важными темами анализа, теории чисел, динамических систем, математической физики и даже космологии.

Обратите внимание, что термин «униформизация» предполагает своего рода сглаживание неровностей геометрии, тогда как термин «геометризация» предполагает размещение геометрии на гладком многообразии. Геометрия используется здесь точно так же, как ( Клейна понятие геометрии более см. в разделе «Гипотеза о геометризации подробную информацию »). В частности, результатом геометризации может быть геометрия, не являющаяся изотропной . В большинстве случаев, включая случаи постоянной кривизны, геометрия уникальна. Важной темой в этой области является взаимодействие между реальными и сложными формулировками. В частности, во многих дискуссиях по униформизации говорится о сложных кривых, а не о реальных двухмногообразиях.

Особенности

Гамильтон показал, что компактное риманово многообразие всегда допускает кратковременное решение потока Риччи. Позже Ши обобщил результат существования за короткое время на полные многообразия ограниченной кривизны. Однако в целом из-за сильно нелинейного характера уравнения потока Риччи сингулярности образуются за конечное время. Эти особенности являются особенностями кривизны, что означает, что по мере приближения к сингулярному времени норма тензора кривизны $|\operatorname {Rm} |$ раздувается до бесконечности в области сингулярности. Фундаментальная проблема потока Риччи — понять все возможные геометрии особенностей. В случае успеха это может привести к пониманию топологии многообразий. Например, анализ геометрии сингулярных областей, которые могут развиваться в трехмерном потоке Риччи, является важнейшим компонентом доказательства Перельмана «Гипотезы Пуанкаре и геометризации».

Пределы обострения особенностей

Для изучения образования особенностей полезно, как и при изучении других нелинейных дифференциальных уравнений, рассмотреть пределы обострений. Интуитивно говоря, мы приближаемся к сингулярной области потока Риччи, изменяя масштаб времени и пространства. При определенных предположениях увеличенное течение стремится к предельному потоку Риччи. $(M_{\infty },g_{\infty }(t)),t\in (-\infty ,0]$, называемая моделью сингулярности . Модели сингулярности представляют собой древние потоки Риччи, т.е. их можно бесконечно продолжать в прошлое. Понимание возможных моделей сингулярности потока Риччи — это активная исследовательская работа.

Ниже мы обрисуем процедуру разрушения более подробно: Пусть $(M,g_{t}),\,t\in [0,T),$ быть потоком Риччи, который развивает особенность как $t\rightarrow T$. Позволять $(p_{i},t_{i})\in M\times [0,T)$ — последовательность точек пространства-времени такая, что

$K_{i}:=\left|\operatorname {Rm} (g_{t_{i}})\right|(p_{i})\rightarrow \infty$

как $i\rightarrow \infty$. Затем рассматриваются параболически масштабированные метрики

$g_{i}(t)=K_{i}g\left(t_{i}+{\frac {t}{K_{i}}}\right),\quad t\in [-K_{i}t_{i},0]$

Ввиду симметрии уравнения течения Риччи при параболических расширениях метрика $g_{i}(t)$ также являются решениями уравнения потока Риччи. В случае, если

$|Rm|\leq K_{i}{\text{ on }}M\times [0,t_{i}],$

то есть вовремя $t_{i}$ максимум кривизны достигается при $p_{i}$, то указанная последовательность потоков Риччи $(M,g_{i}(t),p_{i})$ впоследствии плавно сходится к предельному древнему потоку Риччи $(M_{\infty },g_{\infty }(t),p_{\infty })$. Обратите внимание, что в целом $M_{\infty }$ не диффеоморфен $M$.

типа I и

Гамильтон различает особенности типа I и типа II в потоке Риччи. В частности, говорят, что поток Риччи $(M,g_{t}),\,t\in [0,T)$, встретив сингулярность время $T$ относится к типу I, если

$\sup _{t<T}(T-t)|Rm|<\infty$.

В противном случае особенность имеет тип II. Известно, что пределы разрушения особенностей типа I представляют собой градиентно сжимающиеся солитоны Риччи . В случае типа II остается открытым вопрос, должна ли модель сингулярности быть устойчивым солитоном Риччи - до сих пор все известные примеры таковыми являются.

в трехмерном

В 3d хорошо понятны возможные пределы разрушения сингулярностей потока Риччи. Гамильтон, Перельман и недавние В работе Брендла разрушение в точках максимальной кривизны приводит к одной из следующих трех моделей сингулярности:

• Сжимающаяся круглая сферическая форма пространства $S^{3}/\Gamma$
• Усадочный круглый цилиндр $S^{2}\times \mathbb {R}$
• Солитон Брайанта

Первые две модели особенностей возникают из особенностей типа I, тогда как последняя возникает из особенности типа II.

Особенности в 4-мерном потоке Риччи

О возможных сингулярностях в четырех измерениях известно очень мало, за исключением того, что возможностей гораздо больше, чем в трех измерениях. На сегодняшний день известны следующие модели сингулярности

• $S^{3}\times \mathbb {R}$
• $S^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$
• 4-й солитон Брайанта
• Компактное многообразие Эйнштейна положительной скалярной кривизны
• Компактный градиентный сжимающийся солитон Калера – Риччи
• Термоусадочная машина FIK
• Усадочная машина BCCD

Обратите внимание, что первые три примера являются обобщениями трехмерных моделей особенностей. Сжиматель FIK моделирует коллапс встроенной сферы с числом самопересечения -1.

к

Чтобы понять, почему уравнение эволюции, определяющее поток Риччи, действительно является своего рода нелинейным уравнением диффузии, мы можем более подробно рассмотреть частный случай (реальных) двухмногообразий. Любой метрический тензор на двухмногообразии можно записать относительно экспоненциальной изотермической координатной карты в виде

$ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right).$

(Эти координаты служат примером конформной координатной диаграммы, поскольку правильно представлены углы, но не расстояния.)

Самый простой способ вычислить тензор Риччи и оператор Лапласа-Бельтрами для нашего риманова двухмногообразия — использовать метод дифференциальных форм Эли Картана . Возьмите поле кофрейма

$\sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy$

так что метрический тензор становится

$\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\otimes dy\right).$

Далее, учитывая произвольную гладкую функцию $h(x,y)$, вычислите внешнюю производную

$dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}.$

Возьмите двойник Ходжа

$\star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy.$

Возьмите еще одну внешнюю производную

$d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,dx\wedge dy$

(где мы использовали антикоммутативное свойство внешнего произведения ). То есть,

$d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.$

Взятие еще одного дуала Ходжа дает

$\Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)$

что дает желаемое выражение для оператора Лапласа/Бельтрами

$\Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right).$

Чтобы вычислить тензор кривизны, мы берем внешнюю производную ковекторных полей, составляющих наш кофрейм:

$d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\wedge \sigma ^{2}$

$d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\wedge \sigma ^{1}.$

Из этих выражений можно считать единственную независимую спиновую связь одной формы

${\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,$

где мы воспользовались антисимметричным свойством связи ( ${\omega ^{2}}_{1}=-{\omega ^{1}}_{2}$). Возьмите еще одну внешнюю производную

$d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,dx\wedge dy.$

Это дает кривизне две формы

${\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}$

из которого мы можем считать единственную линейно независимую компоненту тензора Римана, используя

${\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.$

А именно

${R^{1}}_{212}=-\Delta p$

из которого единственными ненулевыми компонентами тензора Риччи являются

$R_{22}=R_{11}=-\Delta p.$

Отсюда находим компоненты относительно кобазиса координат , а именно

$R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right).$

Но метрический тензор тоже диагональный, причем

$g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)$

и после некоторых элементарных манипуляций получаем изящное выражение для потока Риччи:

${\frac {\partial p}{\partial t}}=\Delta p.$

Это явно аналогично самому известному из всех уравнений диффузии — уравнению теплопроводности.

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u$

где сейчас $\Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}$ — обычный лапласиан на евклидовой плоскости.Читатель может возразить, что уравнение теплопроводности, конечно, является линейным уравнением в частных производных — где же обещанная нелинейность в PDE, определяющем поток Риччи?

Ответ заключается в том, что нелинейность возникает потому, что оператор Лапласа-Бельтрами зависит от той же функции p, которую мы использовали для определения метрики. Но заметьте, что плоская евклидова плоскость определяется взятием $p(x,y)=0$. Итак, если $p$ мал по величине, мы можем считать, что он определяет небольшие отклонения от геометрии плоской плоскости, и если мы сохраним только члены первого порядка при вычислении экспоненты, поток Риччи на нашем двумерном почти плоском римановом многообразии становится обычным двумя размерное уравнение теплопроводности. Это вычисление предполагает, что точно так же, как (согласно уравнению теплопроводности) неравномерное распределение температуры в горячей пластине имеет тенденцию становиться более однородным с течением времени, так и (согласно потоку Риччи) почти плоское риманово многообразие будет стремиться сгладить поверхность. точно так же тепло можно отводить «в бесконечность» в бесконечной плоской пластине. Но если наша горячая пластина имеет конечный размер и не имеет границы, по которой можно отводить тепло, мы можем рассчитывать на гомогенизацию температуры, но, очевидно, мы не можем рассчитывать на то, что она уменьшится до нуля. Точно так же мы ожидаем, что поток Риччи, приложенный к искаженной круглой сфере, будет стремиться со временем скруглить геометрию, но не превратить ее в плоскую евклидову геометрию.

Последние события

Поток Риччи интенсивно изучается с 1981 года. Некоторые недавние работы были сосредоточены на вопросе о том, как именно развиваются римановы многообразия более высокой размерности под действием потока Риччи и, в частности, какие типы параметрических особенностей могут образовываться. Например, определенный класс решений потока Риччи демонстрирует, что сингулярности будут формироваться на развивающемся потоке. $n$-мерное метрическое риманово многообразие, обладающее определенным топологическим свойством (положительная эйлерова характеристика ), при приближении потока к некоторому характерному времени $t_{0}$. В некоторых случаях такие пережимания образуют многообразия, называемые солитонами Риччи .

Для трехмерного многообразия Перельман показал, как пройти мимо особенностей, используя операцию на многообразии .

Метрики Кэлера остаются кэлеровыми при потоке Риччи, и поэтому поток Риччи также изучался в этой ситуации, где он называется потоком Кэлера – Риччи .

Ссылки

Статьи для популярной математической аудитории.

• Андерсон, Майкл Т. (2004). «Геометризация трехмерных многообразий посредством потока Риччи» (PDF) . Замечания амер. Математика. Соц . 51 (2): 184–193. МР   2026939 .
• Милнор, Джон (2003). «К гипотезе Пуанкаре и классификации трехмерных многообразий» (PDF) . Замечания амер. Математика. Соц . 50 (10): 1226–1233. МР   2009455 .
• Морган, Джон В. (2005). «Недавний прогресс в области гипотезы Пуанкаре и классификации трехмерных многообразий» . Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 42 (1): 57–78. дои : 10.1090/S0273-0979-04-01045-6 . МР   2115067 .
• Тао, Т. (2008). «Поток Риччи» (PDF) . В Гауэрсе, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 279–281. ISBN  978-0-691-11880-2 .

Исследовательские статьи.

• Бём, Кристоф; Вилкинг, Буркхард (2008). «Многообразия с операторами положительной кривизны являются пространственными формами». Энн. математики. (2) . 167 (3): 1079–1097. arXiv : math/0606187 . дои : 10.4007/анналы.2008.167.1079 . JSTOR   40345372 . МР   2415394 . S2CID   15521923 .
• Брендл, Саймон (2008). «Общий результат сходимости потока Риччи в высших измерениях» . Герцог Мат. Дж . 145 (3): 585–601. arXiv : 0706.1218 . дои : 10.1215/00127094-2008-059 . МР   2462114 . S2CID   438716 . Збл   1161.53052 .
• Брендл, Саймон ; Шон, Ричард (2009). «Многообразия с кривизной в 1/4 дюйма являются космическими формами». Дж. Амер. Математика. Соц . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Бибкод : 2009JAMS...22..287B . дои : 10.1090/S0894-0347-08-00613-9 . JSTOR   40587231 . МР   2449060 . S2CID   2901565 .
• Цао, Хуай-Донг ; Си-Пин Чжу (июнь 2006 г.). «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации - применение теории Гамильтона-Перельмана потока Риччи» (PDF) . Азиатский математический журнал . 10 (2). МР   2488948 . Ошибка .
  • Пересмотренная версия: Хуай-Дун Цао; Си-Пин Чжу (2006). «Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации». arXiv : math.DG/0612069 .
• Чоу, Беннетт (1991). «Поток Риччи на двумерной сфере» . Дж. Дифференциальная геометрия . 33 (2): 325–334. дои : 10.4310/jdg/1214446319 . МР   1094458 . Збл   0734.53033 .
• Колдинг, Тобиас Х .; Миникоцци, Уильям П. II (2005). «Оценки времени угасания потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях и вопрос Перельмана» (PDF) . Дж. Амер. Математика. Соц . 18 (3): 561–569. arXiv : math/0308090 . дои : 10.1090/S0894-0347-05-00486-8 . JSTOR   20161247 . МР   2138137 . S2CID   2810043 .
• Гамильтон, Ричард С. (1982). «Трёхмногообразия с положительной кривизной Риччи» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2): 255–306. дои : 10.4310/jdg/1214436922 . МР   0664497 . Збл   0504.53034 .
• Гамильтон, Ричард С. (1986). «Четырёхмногообразия с оператором положительной кривизны» . Дж. Дифференциальная геометрия . 24 (2): 153–179. дои : 10.4310/jdg/1214440433 . МР   0862046 . Збл   0628.53042 .
• Гамильтон, Ричард С. (1988). «Течение Риччи на поверхностях». Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986) . Созерцание Математика. Том. 71. Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд. стр. 237–262. дои : 10.1090/conm/071/954419 . МР   0954419 .
• Гамильтон, Ричард С. (1993a). «Оценка Харнака потока Риччи» . Дж. Дифференциальная геометрия . 37 (1): 225–243. дои : 10.4310/jdg/1214453430 . МР   1198607 . Збл   0804.53023 .
• Гамильтон, Ричард С. (1993b). «Вечные решения потока Риччи» . Дж. Дифференциальная геометрия . 38 (1): 1–11. дои : 10.4310/jdg/1214454093 . МР   1231700 . Збл   0792.53041 .
• Гамильтон, Ричард С. (1995a). «Свойство компактности решений потока Риччи». амер. Дж. Математика . 117 (3): 545–572. дои : 10.2307/2375080 . JSTOR   2375080 . МР   1333936 .
• Гамильтон, Ричард С. (1995b). «Образование особенностей в потоке Риччи». Обзоры по дифференциальной геометрии, Vol. II (Кембридж, Массачусетс, 1993 г.) . Межд. Пресс, Кембридж, Массачусетс. стр. 7–136. дои : 10.4310/SDG.1993.v2.n1.a2 . МР   1375255 .
• Гамильтон, Ричард С. (1997). «Четырёхмногообразия с положительной изотропной кривизной» . Комм. Анальный. Геом . 5 (1): 1–92. дои : 10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1 . МР   1456308 . Збл   0892.53018 .
• Гамильтон, Ричард С. (1999). «Неособые решения потока Риччи на трехмерных многообразиях» . Комм. Анальный. Геом . 7 (4): 695–729. дои : 10.4310/CAG.1999.v7.n4.a2 . МР   1714939 .
• Брюс Кляйнер ; Джон Лотт (2008). «Заметки о бумагах Перельмана». Геометрия и топология . 12 (5): 2587–2855. arXiv : math.DG/0605667 . дои : 10.2140/gt.2008.12.2587 . МР   2460872 . S2CID   119133773 .
• Перельман, Гриша (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math/0211159 .
• Перельман, Гриша (2003а). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math/0303109 .
• Перельман, Гриша (2003б). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math/0307245 .

Учебники

• Эндрюс, Бен; Хоппер, Кристофер (2011). Поток Риччи в римановой геометрии: полное доказательство теоремы о дифференцируемой сфере 1/4-сжатия . Конспект лекций по математике. Том. 2011. Гейдельберг: Springer. дои : 10.1007/978-3-642-16286-2 . ISBN  978-3-642-16285-5 .
• Брендл, Саймон (2010). Поток Риччи и теорема о сфере . Аспирантура по математике. Том. 111. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/gsm/111 . ISBN  978-0-8218-4938-5 .
• Цао, HD; Чоу, Б.; Чу, Южная Каролина; Яу, С.Т., ред. (2003). Сборник статей о Ricci Flow . Серия по геометрии и топологии. Том. 37. Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. ISBN  1-57146-110-8 .
• Чоу, Беннетт; Чу, Сунь-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Айзенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2007). Поток Риччи: методы и приложения. Часть I. Геометрические аспекты . Математические обзоры и монографии. Том. 135. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/135 . ISBN  978-0-8218-3946-1 .
• Чоу, Беннетт; Чу, Сунь-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Айзенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2008). Поток Риччи: методы и приложения. Часть II. Аналитические аспекты . Математические обзоры и монографии. Том. 144. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/144 . ISBN  978-0-8218-4429-8 .
• Чоу, Беннетт; Чу, Сунь-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Айзенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2010). Поток Риччи: методы и приложения. Часть III. Геометрико-аналитические аспекты . Математические обзоры и монографии. Том. 163. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/163 . ISBN  978-0-8218-4661-2 .
• Чоу, Беннетт; Чу, Сунь-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Айзенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2015). Поток Риччи: методы и приложения. Часть IV. Долговременные решения и связанные темы . Математические обзоры и монографии. Том. 206. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/206 . ISBN  978-0-8218-4991-0 .
• Чоу, Беннетт; Кнопф, Дэн (2004). Поток Риччи: Введение . Математические обзоры и монографии. Том. 110. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/110 . ISBN  0-8218-3515-7 .
• Чоу, Беннетт; Лу, Пэн; Ни, Лей (2006). «Поток Риччи» Гамильтона . Аспирантура по математике. Том. 77. Пекин, Нью-Йорк: Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; Научная пресса. дои : 10.1090/gsm/077 . ISBN  978-0-8218-4231-7 .
• Морган, Джон В.; Фонг, Фредерик Цз-Хо (2010). Поток Риччи и геометризация трехмерных многообразий . Серия университетских лекций. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/улект/053 . ISBN  978-0-8218-4963-7 .
• Морган, Джон; Тиан, Банда (2007). Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре . Монографии Клэя по математике. Том. 3. Провиденс, Род-Айленд, и Кембридж, Массачусетс: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. ISBN  978-0-8218-4328-4 .
• Мюллер, Рето (2006). Дифференциальные неравенства Харнака и поток Риччи . Серия EMS лекций по математике. Цюрих: Европейское математическое общество (EMS). дои : 10.4171/030 . HDL : 2318/1701023 . ISBN  978-3-03719-030-2 .
• Топпинг, Питер (2006). Лекции о потоке Риччи . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 325. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511721465 . ISBN  0-521-68947-3 .
• Чжан, Ци С. (2011). Неравенства Соболева, тепловые ядра при потоке Риччи и гипотеза Пуанкаре . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1-4398-3459-6 .

Внешние ссылки

• Айзенберг, Джеймс А. «Риччи Флоу» (видео) . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 12 декабря 2021 г. Проверено 23 апреля 2014 г.