Ковариантная производная

Информацию о производных тензора по направлению в механике сплошной среды см. в разделе Производная тензора (механика сплошной среды) . Чтобы узнать о ковариантной производной, используемой в калибровочных теориях, см. Калибровочную ковариантную производную .

В математике ковариантная производная способ задания производной вдоль касательных векторов многообразия . — это Альтернативно, ковариантная производная — это способ введения соединения на многообразии и работы с ним с помощью дифференциального оператора , в отличие от подхода, обеспечиваемого главным соединением на расслоении фреймов — см. Аффинное соединение . В частном случае многообразия, изометрически более высокой размерности вложенного в евклидово пространство , ковариантную производную можно рассматривать как ортогональную проекцию евклидовой производной по направлению на касательное пространство многообразия. В этом случае евклидова производная разбивается на две части: внешний нормальный компонент (зависящий от вложения) и внутренний ковариантный компонент производной.

Название мотивировано важностью изменений координат в физике : ковариантная производная преобразуется ковариантно при общем преобразовании координат, то есть линейно через матрицу Якоби преобразования.

В этой статье представлено введение в ковариантную производную векторного поля по отношению к векторному полю как на бескоординатном языке, так и с использованием локальной системы координат и традиционной индексной записи. Ковариантная производная тензорного поля представлена ​​как расширение той же концепции. Ковариантная производная непосредственно обобщает понятие дифференцирования, связанное со связностью векторного расслоения , также известной как связность Кошуля .

История

Исторически на рубеже 20-го века ковариантная производная была введена Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита в теорию римановой и псевдоримановой геометрии . Риччи и Леви-Чивита (следуя идеям Элвина Бруно Кристоффеля ) заметили, что символы Кристоффеля, используемые для определения кривизны, также могут дать понятие дифференцирования , которое обобщает классическую производную векторных полей по направлению на многообразии. Эта новая производная – связь Леви-Чивита – была ковариантной в том смысле, что она удовлетворяла требованию Римана о независимости объектов в геометрии от их описания в конкретной системе координат.

Вскоре это было отмечено другими математиками, среди которых выдающимися среди них были Герман Вейль , Ян Арнольдус Схоутен и Эли Картан . что ковариантная производная может быть определена абстрактно без наличия метрики . Важнейшей особенностью была не особая зависимость от метрики, а то, что символы Кристоффеля удовлетворяли определенному точному закону преобразования второго порядка. Этот закон преобразования мог бы послужить отправной точкой для ковариантного определения производной. Таким образом, теория ковариантного дифференцирования отделилась от строго риманова контекста и включила более широкий диапазон возможных геометрий.

В 1940-х годах специалисты по дифференциальной геометрии начали вводить другие понятия ковариантного дифференцирования в общие векторные расслоения , которые, в отличие от классических расслоений, представляющих интерес для геометров, не были частью тензорного анализа многообразия. По большому счету, эти обобщенные ковариантные производные должны были специфицироваться ad hoc в какой-то версии концепции связи. В 1950 году Жан-Луи Кошуль объединил эти новые идеи ковариантного дифференцирования в векторном расслоении с помощью того, что сегодня известно как связность Кошуля или связь на векторном расслоении. Используя идеи когомологий алгебры Ли , Кошул успешно преобразовал многие аналитические особенности ковариантного дифференцирования в алгебраические. В частности, связности Кошуля устранили необходимость неуклюжих манипуляций с символами Кристоффеля (и другими аналогичными нетензорными объектами) в дифференциальной геометрии. Таким образом, они быстро вытеснили классическое понятие ковариантной производной во многих подходах к этому предмету после 1950 года.

Мотивация

Ковариантная производная является обобщением производной по направлению из векторного исчисления . Как и в случае с производной по направлению, ковариантная производная является правилом: $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }$, который принимает в качестве входных данных: (1) вектор u , определенный в точке P , и (2) векторное поле v определенное в окрестности точки P . Результатом является вектор $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }(P)$, также в точке P . Основное отличие от обычной производной по направлению состоит в том, что $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }$ должна в определенном точном смысле быть независимой от способа, которым она выражена в системе координат .

Вектор можно описать как список чисел в терминах базиса , но как геометрический объект вектор сохраняет свою идентичность независимо от того, как он описан. Для геометрического вектора, записанного в компонентах относительно одного базиса, при изменении базиса компоненты преобразуются в соответствии с формулой изменения базиса , при этом координаты подвергаются ковариантному преобразованию . Ковариантная производная должна при изменении координат преобразовываться путем ковариантного преобразования так же, как это делает базис (отсюда и название).

В случае евклидова пространства обычно определяют производную векторного поля по направлению как разность между двумя векторами в двух соседних точках. В такой системе один из векторов переводится в начало координат другого, сохраняя его параллельным, а затем перенося их разницу в одно и то же векторное пространство. В декартовой (фиксированной ортонормированной ) системе координат «поддержание ее параллельности» означает сохранение постоянных компонентов. Эта обычная производная по направлению в евклидовом пространстве является первым примером ковариантной производной.

Далее необходимо учесть изменения системы координат. Например, если евклидова плоскость описывается полярными координатами, «сохранение ее параллельности» не означает сохранение постоянных полярных компонентов при перемещении, поскольку сама координатная сетка «вращается». Таким образом, одна и та же ковариантная производная, записанная в полярных координатах, содержит дополнительные члены, которые описывают, как вращается сама координатная сетка или как в более общих координатах сетка расширяется, сжимается, скручивается, переплетается и т. д.

Рассмотрим пример частицы, движущейся по кривой γ ( t ) в евклидовой плоскости. В полярных координатах γ можно записать через радиальные и угловые координаты как γ ( t ) = ( r ( t ), θ ( t )) . Вектор в определенный момент времени t (например, постоянное ускорение частицы) выражается через $(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta })$, где $\mathbf {e} _{r}$ и $\mathbf {e} _{\theta }$— единичные касательные векторы для полярных координат, служащие основой для разложения вектора на радиальную и тангенциальную составляющие . Чуть позже новый базис в полярных координатах оказывается слегка повернутым относительно первого набора. Ковариантная производная базисных векторов ( символы Кристоффеля ) служат для выражения этого изменения.

В искривленном пространстве, таком как поверхность Земли (рассматриваемая как сфера), перевод касательных векторов между различными точками четко не определен, и его аналог, параллельный перенос , зависит от пути, по которому перемещается вектор. Вектор на земном шаре на экваторе в точке Q направлен на север. Предположим, мы переносим вектор (сохраняя его параллельность) сначала вдоль экватора в точку P, затем перетаскиваем его по меридиану к полюсу N и, наконец, переносим его по другому меридиану обратно в Q. Затем мы замечаем, что вектор, транспортируемый параллельно, по замкнутому контуру не возвращается тот же вектор; вместо этого у него другая ориентация. Этого не произошло бы в евклидовом пространстве и вызвано кривизной поверхности земного шара. Тот же эффект произойдет, если перетащить вектор по бесконечно малой замкнутой поверхности последовательно в двух направлениях, а затем обратно. Это бесконечно малое изменение вектора является мерой кривизны и может быть определено через ковариантную производную.

Замечания

• Определение ковариантной производной не использует метрику в пространстве. Однако для каждой метрики существует уникальная кручения ковариантная производная без , называемая связностью Леви-Чивита, такая, что ковариантная производная метрики равна нулю.
• Из свойств производной следует, что $\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u}$ зависит от значений u в сколь угодно малой окрестности точки p точно так же, как, например, производная скалярной функции f вдоль кривой в данной точке p зависит от значений f в сколь угодно малой окрестности точки p .
• Информация о окрестности точки p в ковариантной производной может использоваться для определения параллельного переноса вектора. Кроме того, кривизна , кручение и геодезические могут быть определены только в терминах ковариантной производной или другой связанной вариации идеи линейной связи .

вложения в евклидово

Предположим, открытое подмножество $U$ из $d$-мерное риманово многообразие $M$ встроен в евклидово пространство $(\mathbb {R} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ через дважды непрерывно дифференцируемую (C ² ) картографирование ${\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}$ такое, что касательное пространство в ${\vec {\Psi }}(p)$ натянут векторами

$$\left\{\left.{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}}\right|_{p}:i\in \{1,\dots ,d\}\right\}$$

и скалярное произведение $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ на $\mathbb {R} ^{n}$ совместимо с метрикой на M :

$$g_{ij}=\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right\rangle .$$

(Поскольку метрика многообразия всегда предполагается регулярной, условие совместимости подразумевает линейную независимость касательных векторов частных производных.)

Для касательного векторного поля ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$, надо

$${\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right)={\frac {\partial v^{j}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}+v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}.$$

Последний член не касается M , но может быть выражен как линейная комбинация базовых векторов касательного пространства с использованием символов Кристоффеля в качестве линейных факторов плюс вектор, ортогональный касательному пространству:

$$v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}}.$$

В случае связи Леви-Чивита ковариантная производная $\nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}$, также написано $\nabla _{i}{\vec {V}}$, определяется как ортогональная проекция обычной производной на касательное пространство:

$$\nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}:={\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}-{\vec {n}}=\left({\frac {\partial v^{k}}{\partial x^{i}}}+v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}.$$

Чтобы получить связь между символами Кристоффеля для связи Леви-Чивиты и метрикой, сначала необходимо заметить, что, поскольку ${\vec {n}}$ в предыдущем уравнении ортогонально касательному пространству:

$$\left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle ={\Gamma ^{k}}_{ij}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle ={\Gamma ^{k}}_{ij}\,g_{kl}.$$

Во-вторых, частная производная компонента метрики равна:

$${\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}={\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{b}}}\right\rangle$$

подразумевается за основу $x^{i},x^{j},x^{k}$, используя симметрию скалярного произведения и меняя порядок частного дифференцирования:

$${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}\\{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}\\{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}\right\rangle \\\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\,\partial x^{i}}}\right\rangle \\\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle \end{pmatrix}}$$

добавляем первую строку ко второй и вычитаем третью:

$${\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=2\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle$$

и дает символы Кристоффеля для связи Леви-Чивита в терминах метрики:

$$g_{kl}{\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).$$

Что, если $g$ невырожден, можно записать как:

$${\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).$$

Для очень простого примера, отражающего суть приведенного выше описания, нарисуйте круг на плоском листе бумаги. Двигайтесь по кругу с постоянной скоростью. Производная вашей скорости, вектор ускорения, всегда направлен радиально внутрь. Сверните этот лист бумаги в цилиндр. Теперь (евклидова) производная вашей скорости имеет компонент, который иногда указывает внутрь, к оси цилиндра, в зависимости от того, находитесь ли вы вблизи солнцестояния или равноденствия. (В точке окружности, когда вы движетесь параллельно оси, ускорение внутрь отсутствует. И наоборот, в точке (позже на 1/4 окружности), когда скорость идет вдоль изгиба цилиндра, ускорение внутрь будет максимальным. .) Это (евклидова) нормальная составляющая. Ковариантная производная компонента — это компонента, параллельная поверхности цилиндра, она такая же, как и до того, как вы свернули лист в цилиндр.

Формальное определение

Ковариантная производная — это связность (Кошуля) на касательном расслоении и других тензорных расслоениях : она дифференцирует векторные поля способом, аналогичным обычному дифференциалу на функциях. Определение распространяется на дифференцирование двойственных векторных полей (т.е. ковекторных полей) и произвольных тензорных полей уникальным способом, который обеспечивает совместимость с тензорным произведением и операциями отслеживания (тензорное сжатие).

Функции

Учитывая точку $p\in M$ многообразия $M$, реальная функция $f:M\to \mathbb {R}$ на многообразии и касательный вектор $\mathbf {v} \in T_{p}M$, ковариантная производная f в точке p вдоль v является скаляром в точке p , обозначаемым $\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}$, что представляет собой основную часть изменения значения f , когда аргумент f изменяется бесконечно малым вектором смещения v . (Это дифференциал f , вычисленный по вектору v .) Формально существует дифференцируемая кривая $\phi :[-1,1]\to M$ такой, что $\phi (0)=p$ и $\phi '(0)=\mathbf {v}$, а ковариантная производная f в точке p определяется формулой

$$\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}=\left(f\circ \phi \right)'\left(0\right)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\phi \left(t\right))-f(p)}{t}}.$$

Когда $\mathbf {v} :M\to T_{p}M$ векторное поле на $M$, ковариантная производная $\nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R}$ — это функция, которая сопоставляет каждой точке p в общей области значений f и v скаляр $\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}$.

Для скалярной функции f и векторного поля v ковариантная производная $\nabla _{\mathbf {v} }f$ совпадает с производной Ли $L_{v}(f)$, и с внешней производной $df(v)$.

Векторные поля

Учитывая точку $p$ многообразия $M$, векторное поле $\mathbf {u} :M\to T_{p}M$ определенный в окрестности точки p и касательного вектора $\mathbf {v} \in T_{p}M$ковариантная производная u в точке p вдоль v — это касательный вектор в точке p , обозначаемый $(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$, такие, что выполняются следующие свойства (для любых касательных векторов v , x и y в точке p , векторных полей u и w , определенных в окрестности точки p , скалярных значений g и h в точке p и скалярной функции f, определенной в окрестности точки p ):

1. $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ линейна по $\mathbf {v}$ так
   $$\left(\nabla _{g\mathbf {x} +h\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}=g(p)\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \right)_{p}+h(p)\left(\nabla _{\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}$$
2. $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ является аддитивным в $\mathbf {u}$ так:
   $$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[\mathbf {u} +\mathbf {w} \right]\right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}+\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {w} \right)_{p}$$
3. $(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$подчиняется правилу продукта ; то есть, где $\nabla _{\mathbf {v} }f$ определено выше,
   $$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[f\mathbf {u} \right]\right)_{p}=f(p)\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}\mathbf {u} _{p}.$$

Обратите внимание, что $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ зависит не только от значения u в точке p, но также и от значений u в бесконечно малой окрестности точки p из-за последнего свойства — правила произведения.

Если u и v — векторные поля, определенные в общей области, то $\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u}$ обозначает векторное поле, значение которого в каждой точке p области является касательным вектором $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$.

Ковекторные поля

Учитывая поле ковекторов (или одну форму ) $\alpha$ определенная в окрестности точки p , ее ковариантная производная $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$определяется таким образом, чтобы результирующая операция была совместима с тензорным сжатием и правилом произведения. То есть, $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$ определяется как единственная форма в точке p выполняется следующее тождество: такая, что для всех векторных полей u в окрестности точки p

$$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha \right)_{p}\left(\mathbf {u} _{p}\right)=\nabla _{\mathbf {v} }\left[\alpha \left(\mathbf {u} \right)\right]_{p}-\alpha _{p}\left[\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}\right].$$

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля v снова является ковекторным полем.

Тензорные поля

Как только ковариантная производная определена для полей векторов и ковекторов, ее можно определить для произвольных тензорных полей, наложив следующие тождества для каждой пары тензорных полей: $\varphi$ и $\psi$ в окрестности точки p :

$$\nabla _{\mathbf {v} }\left(\varphi \otimes \psi \right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi \right)_{p}\otimes \psi (p)+\varphi (p)\otimes \left(\nabla _{\mathbf {v} }\psi \right)_{p},$$

и для $\varphi$ и $\psi$ той же валентности

$$\nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )_{p}=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }\psi )_{p}.$$

Ковариантная производная тензорного поля вдоль векторного поля v снова является тензорным полем того же типа.

Явно, пусть T — тензорное поле типа ( p , q ) . Рассмотрим T как дифференцируемое отображение гладких сечений α полилинейное ¹ , а ² , ..., а ^д кокасательного расслоения T ^∗ M и сечений X ₁ , X ₂ , ..., X _p касательного расслоения TM , записанных T ( α ¹ , а ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) в R . Ковариантная производная T вдоль Y задается формулой

$${\begin{aligned}(\nabla _{Y}T)\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)=&{}\nabla _{Y}\left(T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)\right)\\&{}-T\left(\nabla _{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\nabla _{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-\cdots \\&{}-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\nabla _{Y}X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},\nabla _{Y}X_{2},\ldots \right)-\cdots \end{aligned}}$$

Описание координат

В этом разделе используется соглашение Эйнштейна о суммировании .

Данные координатные функции

$$x^{i},\ i=0,1,2,\dots ,$$

любой касательный вектор можно описать своими компонентами в базисе

$$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.$$

Ковариантная производная базисного вектора вдоль базисного вектора снова является вектором и поэтому может быть выражена как линейная комбинация $\Gamma ^{k}\mathbf {e} _{k}$. Чтобы указать ковариантную производную, достаточно указать ковариантную производную каждого базисного векторного поля. $\mathbf {e} _{i}$ вдоль $\mathbf {e} _{j}$.

$$\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k},$$

коэффициенты $\Gamma _{ij}^{k}$являются компонентами связи относительно системы местных координат. В теории римановых и псевдоримановых многообразий компоненты связности Леви-Чивита относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля .

Затем, используя правила определения, находим, что для общих векторных полей $\mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}$ и $\mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}$ мы получаем

$${\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} &=\nabla _{v^{j}\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}u^{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}+v^{j}\mathbf {e} _{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\\&=v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}+v^{j}{\partial u^{i} \over \partial x^{j}}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}$$

так

$$\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} =\left(v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}+v^{j}{\partial u^{k} \over \partial x^{j}}\right)\mathbf {e} _{k}.$$

Первое слагаемое в этой формуле отвечает за «закручивание» системы координат относительно ковариантной производной, а второе — за изменение компонент векторного поля u . В частности

$$\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {u} =\nabla _{j}\mathbf {u} =\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}\right)\mathbf {e} _{i}$$

Другими словами: ковариантная производная — это обычная производная по координатам с поправочными членами, которые говорят, как изменяются координаты.

Для ковекторов аналогично имеем

$$\nabla _{\mathbf {e} _{j}}{\mathbf {\theta } }=\left({\frac {\partial \theta _{i}}{\partial x^{j}}}-\theta _{k}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\mathbf {e} ^{*}}^{i}$$

где ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$.

Ковариантная производная тензорного поля типа ( r , s ) вдоль $e_{c}$ задается выражением:

$${\begin{aligned}{(\nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+\,{\Gamma ^{a_{1}}}_{dc}{T^{da_{2}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\cdots +{\Gamma ^{a_{r}}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&-\,{\Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{db_{2}\ldots b_{s}}-\cdots -{\Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s-1}d}.\end{aligned}}$$

Или, говоря словами: возьмите частную производную тензора и прибавьте: $+{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}$ для каждого верхнего индекса $a_{i}$, и $-{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}$ для каждого нижнего индекса $b_{i}$.

Если вместо тензора пытаются дифференцировать плотность тензора (веса +1), то добавляют еще слагаемое

$$-{\Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}.$$

Если это тензорная плотность веса W , умножьте этот член W. на Например, ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ — скалярная плотность (веса +1), поэтому мы получаем:

$$\left({\sqrt {-g}}\right)_{;c}=\left({\sqrt {-g}}\right)_{,c}-{\sqrt {-g}}\,{\Gamma ^{d}}_{dc}$$

где точка с запятой ";" указывает на ковариантную дифференциацию, а запятая «,» указывает на частичную дифференциацию. Кстати, именно это выражение равно нулю, поскольку ковариантная производная функции исключительно метрики всегда равна нулю.

Обозначения

В учебниках по физике ковариантную производную иногда просто выражают через ее компоненты в этом уравнении.

Часто используются обозначения, в которых ковариантная производная указывается через точку с запятой , а нормальная частная производная обозначается запятой . В этих обозначениях пишем то же самое:

$$\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;j}\mathbf {e} _{s}\;\;\;\;\;\;{v^{i}}_{;j}={v^{i}}_{,j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}$$

Если после точки с запятой стоят два и более индекса, все их следует понимать как ковариантные производные:

$$\nabla _{e_{k}}\left(\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;jk}\mathbf {e} _{s}$$

В некоторых старых текстах (особенно Адлер, Базен и Шиффер, « Введение в общую теорию относительности ») ковариантная производная обозначается двойной трубкой, а частная производная — одинарной трубкой:

$$\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{i}}_{||j}={v^{i}}_{|j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}$$

Ковариантная производная по типу поля

Для скалярного поля $\phi \,$, ковариантное дифференцирование — это просто частичное дифференцирование:

$$\phi _{;a}\equiv \partial _{a}\phi$$

Для контравариантного векторного поля $\lambda ^{a}$, у нас есть:

$${\lambda ^{a}}_{;b}\equiv \partial _{b}\lambda ^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\lambda ^{c}$$

Для ковариантного векторного поля $\lambda _{a}$, у нас есть:

$$\lambda _{a;c}\equiv \partial _{c}\lambda _{a}-{\Gamma ^{b}}_{ca}\lambda _{b}$$

Для тензорного поля типа (2,0) $\tau ^{ab}$, у нас есть:

$${\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \partial _{c}\tau ^{ab}+{\Gamma ^{a}}_{cd}\tau ^{db}+{\Gamma ^{b}}_{cd}\tau ^{ad}$$

Для тензорного поля типа (0,2) $\tau _{ab}$, у нас есть:

$$\tau _{ab;c}\equiv \partial _{c}\tau _{ab}-{\Gamma ^{d}}_{ca}\tau _{db}-{\Gamma ^{d}}_{cb}\tau _{ad}$$

Для тензорного поля типа (1,1) ${\tau ^{a}}_{b}$, у нас есть:

$${\tau ^{a}}_{b;c}\equiv \partial _{c}{\tau ^{a}}_{b}+{\Gamma ^{a}}_{cd}{\tau ^{d}}_{b}-{\Gamma ^{d}}_{cb}{\tau ^{a}}_{d}$$

Обозначения выше понимаются в смысле

$${\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \left(\nabla _{\mathbf {e} _{c}}\tau \right)^{ab}$$

Свойства

В общем случае ковариантные производные не коммутируют. Например, ковариантные производные векторного поля $\lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}$. Римана Тензор ${R^{d}}_{abc}$ определяется так, что:

$$\lambda _{a;bc}-\lambda _{a;cb}={R^{d}}_{abc}\lambda _{d}$$

или, что то же самое,

$${\lambda ^{a}}_{;bc}-{\lambda ^{a}}_{;cb}=-{R^{a}}_{dbc}\lambda ^{d}$$

Ковариантная производная (2,0)-тензорного поля удовлетворяет:

$${\tau ^{ab}}_{;cd}-{\tau ^{ab}}_{;dc}=-{R^{a}}_{ecd}\tau ^{eb}-{R^{b}}_{ecd}\tau ^{ae}$$

Последнее можно показать, если принять (не ограничивая общности), что $\tau ^{ab}=\lambda ^{a}\mu ^{b}$.

Производная по кривой

Поскольку ковариантная производная $\nabla _{X}T$ тензорного поля $T$ в какой-то момент $p$ зависит только от значения векторного поля $X$ в $p$ можно определить ковариантную производную вдоль гладкой кривой $\gamma (t)$ в многообразии:

$$D_{t}T=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}T.$$

Заметим, что тензорное поле $T$ необходимо определить только на кривой $\gamma (t)$ чтобы это определение имело смысл.

В частности, ${\dot {\gamma }}(t)$ — векторное поле вдоль кривой $\gamma$сам. Если $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$обращается в нуль, то кривая называется геодезической ковариантной производной. Если ковариантная производная является связностью Леви-Чивита , положительно определенной метрики то геодезические для связи - это в точности геодезические метрики, параметризованные длиной дуги .

Производная вдоль кривой также используется для определения параллельного переноса вдоль кривой.

Иногда ковариантную производную вдоль кривой называют абсолютной или внутренней производной .

Связь

Ковариантная производная вводит дополнительную геометрическую структуру в многообразии, которая позволяет сравнивать векторы в соседних касательных пространствах: не существует канонического способа сравнения векторов из разных касательных пространств, поскольку не существует канонической системы координат.

Однако существует еще одно каноническое обобщение производных по направлению : производная Ли , которая оценивает изменение одного векторного поля вдоль потока другого векторного поля. Таким образом, необходимо знать оба векторных поля в открытой окрестности, а не только в одной точке. С другой стороны, ковариантная производная вносит собственное изменение для векторов в заданном направлении, и оно зависит только от направления вектора в одной точке, а не от векторного поля в открытой окрестности точки. Другими словами, ковариантная производная линейна (над C ^∞ ( M ) ) по аргументу направления, тогда как производная Ли не является линейной ни по одному из аргументов.

Обратите внимание, что антисимметризованная ковариантная производная ∇ _u v − ∇ _v u и производная Ли L _u v различаются кручением связности , так что если связь не имеет кручения, то ее антисимметризация является производной Ли.

См. также

• Аффинное соединение
• Символы Кристофера
• Связь (алгебраическая основа)
• Связь (математика)
• Соединение (векторный пакет)
• Форма подключения
• Внешняя ковариантная производная
• Калибровочная ковариантная производная
• Введение в математику общей теории относительности
• Связь Леви-Чивита
• Параллельная транспортировка
• Фигурное исчисление
• Тензорная производная (механика сплошных сред)
• Список формул римановой геометрии

Ссылки

• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое изд.). Уайли Интерсайенс . ISBN  0-471-15733-3 .
• И.Х. Сабитов (2001) [1994], «Ковариантное дифференцирование» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии . Прентис-Холл.
• Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (том второй) . Опубликуй или погибни, Inc.