Симметричный тензор

В математике симметричный тензор — это тензор , инвариантный относительно перестановки его векторных аргументов:

$T(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots ,v_{\sigma r})$

для каждой перестановки σ символов {1, 2, ..., r }. Альтернативно, симметричный тензор порядка r, представленный в координатах как величина с r индексами, удовлетворяет условию

$T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.$

Пространство симметричных тензоров порядка r на конечномерном векторном пространстве V естественным образом изоморфно двойственному пространству однородных многочленов степени r на V . Над полями градуированное нулевой характеристики векторное пространство всех симметричных тензоров естественным образом отождествляется с алгеброй на V. симметрической Родственной концепцией является понятие антисимметричного тензора или знакопеременной формы . Симметричные тензоры широко встречаются в технике , физике и математике .

Определение

Пусть V — векторное пространство и

$T\in V^{\otimes k}$

тензор порядка k . Тогда T — симметричный тензор, если

$\tau _{\sigma }T=T\,$

для карт переплетения , связанных с каждой перестановкой σ на символах {1,2,..., k } (или, что то же самое, для каждой транспозиции этих символов).

Учитывая базис { e ^я } V любой симметричный тензор T ранга k можно записать как

$T=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}$

для некоторого уникального списка коэффициентов $T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}$ ( компоненты тензора в базисе), симметричные по индексам. То есть

$T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}$

для каждой перестановки σ .

Пространство всех симметричных тензоров порядка k, определенных на V, часто обозначается S ^к ( V ) или Сим ^к ( В ). Это само по себе векторное пространство, и если V имеет размерность N , то размерность Sym ^к ( V ) — биномиальный коэффициент

$\dim \operatorname {Sym} ^{k}(V)={N+k-1 \choose k}.$

Затем мы строим Sym( V ) как прямую сумму Sym ^к ( V ) для k = 0,1,2,...

$\operatorname {Sym} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{k}(V).$

Примеры

Существует множество примеров симметричных тензоров. Некоторые из них включают метрический тензор , $g_{\mu \nu }$, тензор Эйнштейна , $G_{\mu \nu }$ и Риччи тензор $R_{\mu \nu }$.

Многие материалов, свойства и поля используемые в физике и технике, можно представить в виде симметричных тензорных полей; например: напряжение , деформация и анизотропная проводимость . Кроме того, в диффузионной МРТ часто используются симметричные тензоры для описания диффузии в мозге или других частях тела.

Эллипсоиды являются примерами алгебраических многообразий ; и поэтому для общего ранга симметричные тензоры под видом однородных многочленов используются для определения проективных многообразий и часто изучаются как таковые.

Учитывая риманово многообразие $(M,g)$ оснащен соединением Levi-Civita $\nabla$ковариантный тензор кривизны является симметричным тензором порядка 2 над векторным пространством ${\textstyle V=\Omega ^{2}(M)=\bigwedge ^{2}T^{*}M}$ дифференциальных 2-форм. Это соответствует тому, что просмотр $R_{ijk\ell }\in (T^{*}M)^{\otimes 4}$, у нас есть симметрия $R_{ij\,k\ell }=R_{k\ell \,ij}$ между первой и второй парами аргументов в дополнение к антисимметрии внутри каждой пары: $R_{jik\ell }=-R_{ijk\ell }=R_{ij\ell k}$.

Симметричная часть тензора

Предполагать $V$ — векторное пространство над полем характеристики 0. Если T ∈ V ^{⊗ k} является тензором порядка $k$, то симметричная часть $T$ - симметричный тензор, определяемый формулой

$\operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\tau _{\sigma }T,$

суммирование, продолжающееся по симметрической группе на k символах. С точки зрения базиса и с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании , если

$T=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}},$

затем

$\operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}.$

Компоненты тензора, фигурирующие справа, часто обозначаются через

$T_{(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}$

со скобками () вокруг симметричных индексов. Квадратные скобки [] используются для обозначения антисимметризации.

Симметричное произведение

Если T — простой тензор, заданный как чистое тензорное произведение

$T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}$

тогда симметричная часть T является симметричным произведением факторов:

$v_{1}\odot v_{2}\odot \cdots \odot v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}.$

В общем, мы можем превратить Sym( V ) в алгебру , определив коммутативное и ассоциативное произведение ⊙. Учитывая два тензора T ₁ ∈ Sym ^{к ₁} ( V ) и T ₂ ∈ Sym ^{к ₂} ( V ) мы используем оператор симметризации, чтобы определить:

$T_{1}\odot T_{2}=\operatorname {Sym} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Sym} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right).$

Это можно проверить (как это делают Кострикин и Манин). ), что полученное произведение на самом деле является коммутативным и ассоциативным. В некоторых случаях оператор опускается: T ₁ T ₂ = T ₁ ⊙ T ₂ .

В некоторых случаях используется экспоненциальная запись:

$v^{\odot k}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\otimes v\otimes \cdots \otimes v} _{k{\text{ times}}}=v^{\otimes k}.$

Где v — вектор.Опять же, в некоторых случаях ⊙ опускается:

$v^{k}=\underbrace {v\,v\,\cdots \,v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}.$

Разложение

По аналогии с теорией симметричных матриц (вещественный) симметричный тензор второго порядка можно «диагонализировать». Точнее, для любого тензора T ∈ Sym ² ( V ), существуют целое число r , ненулевые единичные векторы v ₁ ,..., v _r ∈ V и веса λ ₁ ,..., λ _r такие, что

$T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}\otimes v_{i}.$

Минимальное число r, для которого возможно такое разложение, — это (симметричный) ранг T . Векторы, входящие в это минимальное выражение, являются главными осями тензора и обычно имеют важный физический смысл. Например, главные оси тензора инерции определяют эллипсоид Пуансо, представляющий момент инерции. Также см. закон инерции Сильвестра .

Для симметричных тензоров произвольного порядка k разложения

$T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}^{\otimes k}$

также возможны. Минимальное число r, для которого возможно такое разложение, — симметричный ранг T это . Это минимальное разложение называется разложением Варинга; это симметричная форма тензорного рангового разложения . Для тензоров второго порядка это соответствует рангу матрицы, представляющей тензор в любом базисе, и хорошо известно, что максимальный ранг равен размерности основного векторного пространства. Однако для более высоких порядков это не обязательно: ранг может быть выше, чем количество измерений в базовом векторном пространстве. Более того, ранг и симметричный ранг симметричного тензора могут различаться.

См. также

• Антисимметричный тензор
• Фигурное исчисление
• Полином Шура
• Симметричный полином
• Транспонировать
• Молодой симметризатор

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9 .
• Бурбаки, Николя (1990), Элементы математики, Алгебра II , Springer-Verlag, ISBN  3-540-19375-8 .
• Греуб, Вернер Хильдберт (1967), Полилинейная алгебра , Основы математических наук, Том 136, Springer-Verlag New York, Inc., Нью-Йорк, MR   0224623 .
• Штернберг, Шломо (1983), Лекции по дифференциальной геометрии , Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-0316-0 .

Внешние ссылки

• Сезар О. Агилар, Размерность симметричных k-тензоров