Обозначение Фойгта

В математике или нотация Фойгта форма Фойгта в полилинейной алгебре — это способ представить симметричный тензор путем уменьшения его порядка. Есть несколько вариантов и связанных с ними названий для этой идеи: нотация Манделя , нотация Манделя-Фойгта и нотация Ная . Обозначение Кельвина - возрождение Хельбига. старых идей лорда Кельвина . Различия здесь заключаются в определенных весах, присвоенных выбранным элементам тензора. Номенклатура может варьироваться в зависимости от традиций в области применения.

Например, симметричный тензор X размера 2 × 2 имеет только три различных элемента: два из них расположены по диагонали, а другой - внедиагонально. Таким образом, его можно выразить как вектор

$$\langle x_{11},x_{22},x_{12}\rangle .$$

Другой пример:

Тензор напряжений (в матричных обозначениях) имеет вид

$${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}.$$

В обозначениях Фойгта он упрощается до 6-мерного вектора:

$${\tilde {\sigma }}=(\sigma _{xx},\sigma _{yy},\sigma _{zz},\sigma _{yz},\sigma _{xz},\sigma _{xy})\equiv (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4},\sigma _{5},\sigma _{6}).$$

Тензор деформаций, аналогичный по своей природе тензору напряжений (оба являются симметричными тензорами второго порядка), задается в матричной форме как

$${\boldsymbol {\epsilon }}={\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}&\epsilon _{xy}&\epsilon _{xz}\\\epsilon _{yx}&\epsilon _{yy}&\epsilon _{yz}\\\epsilon _{zx}&\epsilon _{zy}&\epsilon _{zz}\end{bmatrix}}.$$

Его представление в обозначениях Фойгта:

$${\tilde {\epsilon }}=(\epsilon _{xx},\epsilon _{yy},\epsilon _{zz},\gamma _{yz},\gamma _{xz},\gamma _{xy})\equiv (\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3},\epsilon _{4},\epsilon _{5},\epsilon _{6}),$$

где $\gamma _{xy}=2\epsilon _{xy}$, $\gamma _{yz}=2\epsilon _{yz}$, и $\gamma _{zx}=2\epsilon _{zx}$ являются инженерными деформациями сдвига.

Преимущество использования различных представлений напряжения и деформации заключается в том, что скалярная инвариантность

$${\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\epsilon }}=\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\tilde {\sigma }}\cdot {\tilde {\epsilon }}$$

сохраняется.

Аналогично трехмерный симметричный тензор четвертого порядка можно свести к матрице 6×6.

Мнемоническое правило

Простое мнемоническое правило для запоминания обозначений Фойгта следующее:

• Запишите тензор второго порядка в матричной форме (в примере тензор напряжений)
• Вычеркните диагональ
• Продолжить в третьем столбце
• Вернитесь к первому элементу в первой строке.

Индексы Фойгта нумеруются последовательно от начальной точки до конца (в примере цифры выделены синим цветом).

Обозначение Манделя

Для симметричного тензора второго ранга

$${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$$

только шесть компонентов различны: три расположены по диагонали, а остальные - внедиагональны. Таким образом, это можно выразить в обозначениях Манделя: как вектор

$${\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .$$

Основное преимущество нотации Манделя состоит в том, что она позволяет использовать те же обычные операции, что и с векторами: например:

$${\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.$$

Симметричный тензор четвертого ранга, удовлетворяющий $D_{ijkl}=D_{jikl}$ и $D_{ijkl}=D_{ijlk}$имеет 81 компонент в трёхмерном пространстве, но только 36 компоненты различны. Таким образом, в обозначениях Манделя это можно выразить как

$${\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}&D_{2233}&{\sqrt {2}}D_{2223}&{\sqrt {2}}D_{2213}&{\sqrt {2}}D_{2212}\\D_{3311}&D_{3322}&D_{3333}&{\sqrt {2}}D_{3323}&{\sqrt {2}}D_{3313}&{\sqrt {2}}D_{3312}\\{\sqrt {2}}D_{2311}&{\sqrt {2}}D_{2322}&{\sqrt {2}}D_{2333}&2D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt {2}}D_{1311}&{\sqrt {2}}D_{1322}&{\sqrt {2}}D_{1333}&2D_{1323}&2D_{1313}&2D_{1312}\\{\sqrt {2}}D_{1211}&{\sqrt {2}}D_{1222}&{\sqrt {2}}D_{1233}&2D_{1223}&2D_{1213}&2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.$$

Приложения

Обозначение названо в честь физика Вольдемара Фойгта и Джона Ная (ученый) . Это полезно, например, в расчетах с использованием материальных моделей для моделирования материалов, таких как обобщенный закон Гука , а также при анализе методом конечных элементов . и диффузионная МРТ .

Закон Гука имеет симметричный тензор жесткости четвертого порядка с 81 компонентом (3×3×3×3), но поскольку применение такого тензора ранга 4 к симметричному тензору ранга 2 должно привести к другому симметричному тензору ранга 2, не все из 81 элемента независимы. такой тензор ранга 4 Обозначение Фойгта позволяет представить матрицей 6×6. Однако форма Фойгта не сохраняет сумму квадратов, которая в случае закона Гука имеет геометрическое значение. Это объясняет, почему вводятся веса (чтобы сделать отображение изометрическим ).

Обсуждение инвариантности обозначений Фойгта и обозначений Манделя можно найти в Helnwein (2001).

См. также

• Векторизация (математика)
• Закон Гука