Тензорное сокращение

Информацию о теоретико-модульной конструкции тензорных полей и их сжатия см. в разделе тензорное произведение модулей § Пример из дифференциальной геометрии: тензорное поле .

В полилинейной алгебре тензорное сжатие — это операция над тензором , возникающая в результате канонического спаривания векторного пространства и его двойственного пространства . В компонентах он выражается как сумма произведений скалярных компонентов тензора(ов), полученных в результате применения соглашения о суммировании к паре фиктивных индексов, которые связаны друг с другом в выражении. Сжатие одного смешанного тензора происходит, когда пара литеральных индексов (один нижний индекс, другой верхний индекс) тензора приравниваются друг к другу и суммируются. В обозначениях Эйнштейна это суммирование встроено в обозначения. В результате получается еще один тензор с уменьшенным на 2 порядком.

можно рассматривать как обобщение следа . Тензорное сокращение

Абстрактная формулировка

Пусть V — векторное пространство над полем k . Ядром операции сжатия и простейшим случаем является каноническое спаривание V с его двойственным векторным пространством V. ^∗ . Спаривание представляет собой линейное отображение тензорного произведения этих двух пространств в поле k :

$C:V\otimes V^{*}\rightarrow k$

соответствующий билинейной форме

$\langle v,f\rangle =f(v)$

где f находится в V ^∗ и v находится в V . Карта C определяет операцию сжатия тензора типа (1, 1) , который является элементом $V\otimes V^{*}$. Обратите внимание, что результатом является скаляр (элемент k ). В конечных измерениях , используя естественный изоморфизм между $V\otimes V^{*}$ и пространство линейного отображения из V в V , получаем безбазисное определение следа .

В общем, тензор типа ( m , n ) (с m ≥ 1 и n ≥ 1 ) является элементом векторного пространства.

$V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}$

(где имеется m факторов V и n факторов V ^∗ ). Применяя каноническое спаривание к k -му V фактору и l -му V фактору ^∗ фактор и используя идентичность для всех остальных факторов, определяет операцию сжатия ( k , l ), ​​которая представляет собой линейное отображение, дающее тензор типа ( m − 1, n − 1) . По аналогии со случаем (1, 1) общую операцию сжатия иногда называют следом.

Сокращение индексных обозначений

В обозначениях тензорного индекса основное сжатие вектора и двойственного вектора обозначается как

${\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma },$

что является сокращением для явного суммирования координат

$f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}$

(где v ^я являются компонентами v в конкретном базисе, а f _i являются компонентами f в соответствующем двойственном базисе).

Поскольку общий смешанный диадический тензор представляет собой линейную комбинацию разложимых тензоров вида $f\otimes v$, явная формула для диадического случая следующая: пусть

$\mathbf {T} =T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}$

быть смешанным диадическим тензором. Тогда его сокращение

$T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}$.

Общее сокращение обозначается путем маркировки одного ковариантного индекса и одного контравариантного индекса одной и той же буквой, причем суммирование по этому индексу подразумевается соглашением о суммировании . Результирующий сжатый тензор наследует остальные индексы исходного тензора. Например, сжатие тензора T типа (2,2) по второму и третьему индексам для создания нового тензора U типа (1,1) записывается как

$T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.$

Напротив, пусть

$\mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}$

быть несмешанным диадическим тензором. Этот тензор не сжимается; если его базовые векторы отмечены точками, результатом является контравариантный метрический тензор ,

$g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}$,

ранг которого равен 2.

Метрическое сокращение

См. Также: Повышение и понижение индексов § Пример из пространства-времени Минковского.

Как и в предыдущем примере, сокращение пары индексов, которые либо контравариантны, либо оба ковариантны, в целом невозможно. Однако при наличии внутреннего продукта (также известного как метрика ) g такие сокращения возможны. При необходимости метрика используется для повышения или понижения одного из индексов, а затем используется обычная операция сокращения. Комбинированная операция известна как метрическое сокращение .

Приложение к тензорным полям

Сжатие часто применяется к тензорным полям над пространствами (например, евклидово пространство , многообразия или схемы). ). Поскольку сжатие является чисто алгебраической операцией, его можно точечно применить к тензорному полю, например, если T — (1,1) тензорное поле в евклидовом пространстве, то в любых координатах его сжатие (скалярное поле) U в точке x определяется выражением

$U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)$

Поскольку роль x здесь не сложна, она часто опускается, и обозначения для тензорных полей становятся идентичными обозначениям для чисто алгебраических тензоров.

Над римановым многообразием доступна метрика (поле скалярных произведений), и как метрические, так и неметрические сокращения имеют решающее значение для теории. Например, тензор Риччи — это неметрическое сокращение тензора кривизны Римана , а скалярная кривизна — это уникальное метрическое сжатие тензора Риччи.

Сжатие тензорного поля можно также рассматривать в контексте модулей над соответствующим кольцом функций на многообразии или контекст пучков модулей над структурным пучком; см. обсуждение в конце этой статьи.

Тензорная

В качестве применения сжатия тензорного поля пусть V — векторное поле на римановом многообразии (например, евклидовом пространстве ). Позволять $V^{\alpha }{}_{\beta }$ быть ковариантной производной V (в некотором выборе координат). В случае декартовых координат в евклидовом пространстве можно написать

$V^{\alpha }{}_{\beta }={\partial V^{\alpha } \over \partial x^{\beta }}.$

Затем изменение индекса β на α приводит к тому, что пара индексов становится связанной друг с другом, так что производная сжимается сама с собой, получая следующую сумму:

$V^{\alpha }{}_{\alpha }=V^{0}{}_{0}+\cdots +V^{n}{}_{n},$

что является дивергенцией div V . Затем

$\operatorname {div} V=V^{\alpha }{}_{\alpha }=0$

является уравнением непрерывности для V .

В общем, можно определить различные операции дивергенции на тензорных полях более высокого ранга следующим образом. Если T - тензорное поле хотя бы с одним контравариантным индексом, то взятие ковариантного дифференциала и сжатие выбранного контравариантного индекса с новым ковариантным индексом, соответствующим дифференциалу, приводит к получению нового тензора ранга на единицу ниже, чем у T .

Сжатие пары тензоров

Можно обобщить операцию сжатия ядра (вектор с двойным вектором) немного по-другому, рассмотрев пару тензоров T и U . Тензорное произведение $T\otimes U$ — новый тензор, который, если он имеет хотя бы один ковариантный и один контравариантный индекс, может быть стянут. Случай, когда T — вектор, а U — двойственный вектор, — это именно основная операция, впервые представленная в этой статье.

В обозначении тензорного индекса, чтобы сжать два тензора друг с другом, их помещают рядом (рядом) как факторы одного и того же термина. Это реализует тензорное произведение, давая составной тензор. Сжатие двух индексов в этом составном тензоре реализует желаемое сжатие двух тензоров.

Например, матрицы можно представить в виде тензоров типа (1,1) с первым индексом контравариантным, а вторым индексом ковариантным. Позволять $\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }$ — компоненты одной матрицы и пусть $\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }$ быть компонентами второй матрицы. Тогда их умножение задается следующим сжатием, примером сжатия пары тензоров:

$\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }$.

Кроме того, внутреннее произведение вектора дифференциальной формы является частным случаем сжатия двух тензоров друг с другом.

Более

Пусть R — коммутативное кольцо и M — конечный модуль над R. свободный Тогда сжатие действует на полную (смешанную) тензорную алгебру M точно так же, как и в случае векторных пространств над полем. (Ключевым фактом является то, что каноническое спаривание в этом случае все еще идеально.)

В более общем смысле, пусть OX _— пучок топологическим коммутативных колец над пространством X , например, может _OX быть структурным пучком , комплексного многообразия аналитического пространства или схемы . Пусть M — локально свободный пучок модулей над O _X конечного ранга. Тогда двойник M по-прежнему ведет себя хорошо. и операции сжатия имеют смысл в этом контексте.

См. также

• Тензорное произведение
• Частичный след
• Интерьерное изделие
• Повышение и понижение индексов
• Музыкальный изоморфизм
• Фигурное исчисление

Ссылки

• Бишоп, Ричард Л .; Гольдберг, Сэмюэл И. (1980). Тензорный анализ на многообразиях . Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-64039-6 .
• Мензель, Дональд Х. (1961). Математическая физика . Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-60056-4 .