Частичный след

Слева показана матрица полной плотности. $\rho _{AB}$ двудольной системы кубитов. Частичная трассировка выполняется по подсистеме размером 2 на 2 (матрица плотности одного кубита). В правой части показана результирующая матрица приведенной плотности 2 на 2. $\rho _{A}$.

В линейной алгебре и функциональном анализе частичный след является обобщением следа . В то время как трассировка представляет собой скалярную функцию операторов, частичная трассировка представляет собой функцию с операторным значением. Частичный след имеет приложения в квантовой информации и декогеренции , что актуально для квантовых измерений и, следовательно, для декогерентных подходов к интерпретации квантовой механики , включая непротиворечивые истории и интерпретацию относительного состояния .

Подробности

Предполагать $V$, $W$ — конечномерные векторные пространства над полем с размерностями $m$ и $n$, соответственно. Для любого помещения $A$, позволять $L(A)$ обозначим пространство линейных операторов на $A$. Частичный след $W$ тогда записывается как $\operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\to \operatorname {L} (V)$, где $\otimes$ обозначает произведение Кронекера .

Оно определяется следующим образом: Для $T\in \operatorname {L} (V\otimes W)$, позволять $e_{1},\ldots ,e_{m}$, и $f_{1},\ldots ,f_{n}$, являются базами для V и W соответственно; тогда Т имеет матричное представление

$\{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n$

относительно основы $e_{k}\otimes f_{\ell }$ из $V\otimes W$.

Теперь для индексов k , i в диапазоне 1,..., m рассмотрим сумму

$b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}$

Это дает матрицу b _{k , i} . Соответствующий линейный оператор на V не зависит от выбора базиса и по определению является частичным следом .

Среди физиков это часто называют «отслеживанием» или «отслеживанием» W, чтобы оставить только оператор над V в контексте, где W и V — гильбертовы пространства, связанные с квантовыми системами (см. ниже).

Инвариантное определение

Оператор частичного следа можно определить инвариантно (то есть без ссылки на базис) следующим образом: это уникальное линейное отображение

$\operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)$

такой, что

$\operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=\operatorname {Tr} (S)\,R\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W).$

Чтобы убедиться, что приведенные выше условия однозначно определяют частичный след, пусть $v_{1},\ldots ,v_{m}$ составить основу для $V$, позволять $w_{1},\ldots ,w_{n}$ составить основу для $W$, позволять $E_{ij}\colon V\to V$ быть картой, которая отправляет $v_{i}$ к $v_{j}$ (и все остальные базисные элементы равны нулю), и пусть $F_{kl}\colon W\to W$ быть картой, которая отправляет $w_{k}$ к $w_{l}$. Поскольку векторы $v_{i}\otimes w_{k}$ составить основу для $V\otimes W$, карты $E_{ij}\otimes F_{kl}$ составить основу для $\operatorname {L} (V\otimes W)$.

Из этого абстрактного определения следуют следующие свойства:

$\operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}$

$\operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).$

Теоретико-категориальное понятие

Именно частичный след линейных преобразований является предметом понятия Джояла, Стрита и Верити о прослеживаемой моноидальной категории . Трассируемая моноидальная категория является моноидальной категорией. $(C,\otimes ,I)$ вместе с объектами X , Y , U в категории функцией Hom-множеств,

$\operatorname {Tr} _{X,Y}^{U}\colon \operatorname {Hom} _{C}(X\otimes U,Y\otimes U)\to \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)$

удовлетворяющие определенным аксиомам.

Другой случай абстрактного понятия частичного следа имеет место в категории конечных множеств и биекций между ними, в которых моноидальное произведение представляет собой дизъюнктное объединение. Можно показать, что для любых конечных множеств X , Y , U и биекция $X+U\cong Y+U$ существует соответствующая «частично прослеживаемая» биекция $X\cong Y$.

Частичный след операторов в гильбертовых пространствах

Частичный след обобщается на операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Предположим, что V , W — гильбертовы пространства и позволять

$\{f_{i}\}_{i\in I}$

быть ортонормированным базисом для W . Теперь существует изометрический изоморфизм

$\bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W$

При таком разложении любой оператор $T\in \operatorname {L} (V\otimes W)$ можно рассматривать как бесконечную матрицуоператоров на V

${\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},$

где $T_{k\ell }\in \operatorname {L} (V)$.

Сначала предположим, что T — неотрицательный оператор. В этом случае все диагональные элементы приведенной выше матрицы являются неотрицательными операторами на V . Если сумма

$\sum _{\ell }T_{\ell \ell }$

сходится в сильной операторной топологии L( V он не зависит от выбранного базиса W. ) , Частичный след Tr _W ( T ) определяется как этот оператор. Частичный след самосопряженного оператора определен тогда и только тогда, когда определены частичные следы его положительной и отрицательной частей.

Вычисление частичного следа

Предположим, что W имеет ортонормированный базис, который мы обозначаем обозначением кет -вектора как $\{|\ell \rangle \}_{\ell }$. Затем

$\operatorname {Tr} _{W}\left(\sum _{k,\ell }T^{(k\ell )}\,\otimes \,|k\rangle \langle \ell |\right)=\sum _{j}T^{(jj)}.$

Верхние индексы в скобках не представляют компоненты матрицы, а обозначают саму матрицу.

Частичная трассировка и инвариантное интегрирование

В случае конечномерных гильбертовых пространств существует полезный способ рассмотрения частичного следа, включающий интегрирование по подходящей нормализованной мере Хаара µ над унитарной группой U( W ) группы W . Соответствующая нормализация означает, что µ считается мерой с полной массой dim( W ).

Теорема . Предположим, что V , W — конечномерные гильбертовы пространства. Затем

$\int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)$

коммутирует со всеми операторами вида $I_{V}\otimes S$ и, следовательно, имеет единственный вид $R\otimes I_{W}$. Оператор R является частичным следом T .

Частичный след как квантовая операция

Частичный след можно рассматривать как квантовую операцию . Рассмотрим квантовомеханическую систему, пространство состояний которой представляет собой тензорное произведение $H_{A}\otimes H_{B}$ гильбертовых пространств. Смешанное состояние описывается матрицей плотности ρ, т.е. неотрицательный оператор трассового класса следа 1 в тензорном произведении $H_{A}\otimes H_{B}.$Частичный след ρ относительно системы B , обозначаемый через $\rho ^{A}$, называется приведенным состоянием ρ в системе A . В символах,

$\rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .$

Чтобы показать, что это действительно разумный способ присвоить ρ состояние подсистемы A , мы предлагаем следующее обоснование. Пусть M — наблюдаемая в подсистеме A , тогда соответствующая наблюдаемая в составной системе — это $M\otimes I$. Однако кто-то предпочитает определять приведенное состояние $\rho ^{A}$, должна быть согласованность статистики измерений. Ожидаемое значение M после того, как подсистема A подготовлена ​​в $\rho ^{A}$ и что из $M\otimes I$ при приготовлении составной системы ρ должно быть одинаковым, т.е. должно выполняться равенство:

$\operatorname {Tr} _{A}(M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).$

Мы видим, что это выполняется, если $\rho ^{A}$ такое, как определено выше через частичную трассировку. Более того, такая операция уникальна.

Пусть T(H) — банахово пространство ядерных операторов в гильбертовом пространстве H . Легко проверить, что частичный след, рассматриваемый как карта

$\operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})$

полностью положителен и сохраняет следы.

Матрица плотности ρ является эрмитовой , положительно полуопределенной и имеет след, равный 1. Она имеет спектральное разложение :

$\rho =\sum _{m}p_{m}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|;\ 0\leq p_{m}\leq 1,\ \sum _{m}p_{m}=1$

Легко видеть, что частичный след $\rho ^{A}$ также удовлетворяет этим условиям. Например, для любого чистого состояния $|\psi _{A}\rangle$ в $H_{A}$, у нас есть

$\langle \psi _{A}|\rho ^{A}|\psi _{A}\rangle =\sum _{m}p_{m}\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]\geq 0$

Обратите внимание, что термин $\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]$ представляет вероятность нахождения состояния $|\psi _{A}\rangle$ когда составная система находится в состоянии $|\Psi _{m}\rangle$. Это доказывает положительную полуопределенность $\rho ^{A}$.

Частичная карта следов, приведенная выше, порождает двойственное отображение. $\operatorname {Tr} _{B}^{*}$ между С*-алгебрами ограниченных операторов на $\;H_{A}$ и $H_{A}\otimes H_{B}$ предоставлено

$\operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.$

$\operatorname {Tr} _{B}^{*}$ отображает наблюдаемые в наблюдаемые и представляет собой Гейзенберга картинное представление $\operatorname {Tr} _{B}$.

Сравнение с классическим случаем

Предположим, что вместо квантово-механических систем две системы A и B являются классическими. Тогда пространством наблюдаемых для каждой системы являются абелевы C*-алгебры. Они имеют вид C ( X ) и C ( Y соответственно для компактов X , Y. ) Пространство состояний сложной системы представляет собой просто

$C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).$

Состояние составной системы — это положительный элемент ρ двойственного к C( X × Y который по теореме Рисса-Маркова соответствует регулярной борелевской мере на X × Y. ) , Соответствующее приведенное состояние получается проектированием меры ρ X. на Таким образом, частичный след является квантовомеханическим эквивалентом этой операции.