Оператор (математика)

Эта статья об операторах в математике. Чтобы узнать о других значениях, см. Оператор (значения) .

Не путать с символом, обозначающим математическую операцию или математический символ .

В математике оператор . обычно представляет собой отображение или функцию , которая воздействует на элементы пространства для создания элементов другого пространства (возможно, а иногда и необходимо, чтобы это было то же самое пространство) не существует Общего определения оператора , но этот термин часто используется вместо функции , когда предметная область представляет собой набор функций или других структурированных объектов. Кроме того, область определения оператора часто трудно охарактеризовать явно (например, в случае интегрального оператора ), и она может быть расширена, чтобы действовать на связанные объекты (оператор, который действует на функции, может действовать также на дифференциальные уравнения , чьи решения — это функции, удовлетворяющие уравнению). см. в разделе «Оператор (физика» ( другие примеры ))

Самыми основными операторами являются линейные отображения , которые действуют в векторных пространствах . Линейные операторы относятся к линейным картам, область определения и диапазон которых находятся в одном пространстве, например из $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R} ^{n}$. Такие операторы часто сохраняют такие свойства, как непрерывность . Например, дифференцирование и неопределенное интегрирование являются линейными операторами; операторы, построенные из них, называются дифференциальными операторами , интегральными операторами или интегро-дифференциальными операторами.

Оператор также используется для обозначения символа математической операции . Это связано со значением слова «оператор» в компьютерном программировании (см. Оператор (компьютерное программирование) ).

Линейные операторы

Основная статья: Линейный оператор

Наиболее распространенный вид операторов — это линейные операторы . Пусть U и V — векторные пространства над полем K. некоторым Отображение ​ $\operatorname {A} :U\to V$ является линейным , если

$$\operatorname {A} \left(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} \right)=\alpha \operatorname {A} \mathbf {x} +\beta \operatorname {A} \mathbf {y} \$$

для всех x и y в U и для α , β в K. всех

Это означает, что линейный оператор сохраняет операции с векторным пространством в том смысле, что не имеет значения, применяете ли вы линейный оператор до или после операций сложения и скалярного умножения. Говоря более техническими словами, линейные операторы — это морфизмы векторных пространств. В конечномерном случае линейные операторы могут быть представлены матрицами следующим образом. Пусть K — поле и $U$и V — конечномерные векторные пространства над K . Подберем основу $\ \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ в У и $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$в В. ​ Тогда пусть $\mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}$ быть произвольным вектором в $U$ (при условии соблюдения соглашения Эйнштейна ) и $\operatorname {A} :U\to V$быть линейным оператором. Затем

$$\ \operatorname {A} \mathbf {x} =x^{i}\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}=x^{i}\left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}\mathbf {v} _{j}~.$$

Затем $a_{i}^{j}\equiv \left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}$, со всем $a_{i}^{j}\in K$, – матричная форма оператора $\operatorname {A}$ на фиксированной основе $\{\mathbf {u} _{i}\}_{i=1}^{n}$. Тензор $a_{i}^{j}$ не зависит от выбора $x$, и $\operatorname {A} \mathbf {x} =\mathbf {y}$ если $a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}$. Таким образом, в фиксированных базисах размера n на m матрицы находятся в взаимно однозначном соответствии линейным операторам из $U$ к $V$.

Важными понятиями, непосредственно связанными с операторами между конечномерными векторными пространствами, являются понятия ранга , определителя , обратного оператора и собственного пространства .

Линейные операторы играют большую роль и в бесконечномерном случае. Понятия ранга и определителя нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов вообще) в бесконечномерном случае используются совсем другие методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (названный так потому, что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).

Пространство последовательностей действительных чисел или, в более общем смысле, последовательностей векторов в любом векторном пространстве сами по себе образуют бесконечномерное векторное пространство. Наиболее важными случаями являются последовательности действительных или комплексных чисел, и эти пространства вместе с линейными подпространствами известны как пространства последовательностей . Операторы в этих пространствах известны как преобразования последовательностей .

Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектра , элегантно обобщающую теорию собственных пространств.

Ограниченные операторы

Основные статьи: Ограниченный оператор , Норма оператора и Банахова алгебра.

Пусть U и V — два векторных пространства над одним и тем же упорядоченным полем (например; $\mathbb {R}$), и они оснащены нормами . Тогда линейный оператор из U в V называется ограниченным, если существует c > 0 такое, что

$$\|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}$$

для x в U. каждого Ограниченные операторы образуют векторное пространство. В этом векторном пространстве мы можем ввести норму, совместимую с нормами U и V :

$$\|\operatorname {A} \|=\inf\{\ c:\|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\}.$$

В случае операторов из U в себя можно показать, что

${\textstyle \|\operatorname {A} \operatorname {B} \|\leq \|\operatorname {A} \|\cdot \|\operatorname {B} \|}$.

Любая нормированная алгебра с единицей , обладающая этим свойством, называется банаховой алгеброй . можно обобщить спектральную теорию На такие алгебры . С*-алгебры , являющиеся банаховыми алгебрами с некоторой дополнительной структурой, играют важную роль в квантовой механике .

Примеры

Анализ (исчисление)

Основные статьи: Дифференциальный оператор и Интегральный оператор

С точки зрения функционального анализа , исчисление — это изучение двух линейных операторов: дифференциального оператора ${\frac {\ \mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}$и оператор Вольтерры $\int _{0}^{t}$.

фундаментального анализа скалярных и

Основные статьи: векторное исчисление , векторное поле , скалярное поле , градиент , дивергенция и завиток.

Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :

• Град ( градиент ), (с символом оператора $\nabla$) присваивает вектор в каждой точке скалярного поля, который указывает в направлении наибольшей скорости изменения этого поля и норма которого измеряет абсолютное значение этой наибольшей скорости изменения.
• Div ( расхождение ), (с символом оператора ${\nabla \cdot }$) — векторный оператор, который измеряет расхождение векторного поля от заданной точки или сходимость к ней.
• Curl , (с символом оператора $\nabla \!\times$) — векторный оператор, который измеряет тенденцию закручивания (обкручивания, вращения) векторного поля вокруг заданной точки.

В качестве расширения операторов векторного исчисления на физику, инженерное и тензорное пространство операторы grad, div и curl также часто связаны с тензорным исчислением , а также с векторным исчислением.

Геометрия

Основные статьи: Общая линейная группа и изометрия.

В геометрии дополнительные структуры на векторных пространствах иногда изучаются отображают такие векторные пространства сами в себя, . Операторы, которые биективно очень полезны в этих исследованиях. Они естественным образом образуют группы по композиции.

Например, биективные операторы, сохраняющие структуру векторного пространства, — это в точности обратимые линейные операторы . Они образуют общую линейную группу по композиции. Однако они не образуют векторное пространство при добавлении операторов; поскольку, например, и тождество, и -идентичность обратимы (биективны), а их сумма 0 - нет.

Операторы, сохраняющие евклидову метрику в таком пространстве, образуют группу изометрий , а операторы, фиксирующие начало координат, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа . Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных кортежей, образуют специальную ортогональную группу или группу вращений.

Теория вероятностей

Основная статья: Теория вероятностей

В теории вероятностей также участвуют операторы, такие как ожидание , дисперсия и ковариация , которые используются для обозначения как числовой статистики, так и операторов, которые ее производят. Действительно, каждая ковариация по сути представляет собой скалярное произведение : каждая дисперсия представляет собой скалярное произведение вектора с самим собой и, таким образом, является квадратичной нормой ; каждое стандартное отклонение является нормой (квадратный корень из квадратичной нормы); соответствующий косинус этому скалярному произведению является коэффициентом корреляции Пирсона ; ожидаемое значение — это, по сути, интегральный оператор (используемый для измерения взвешенных фигур в пространстве).

Фурье и

Основные статьи: ряд Фурье и преобразование Фурье

Преобразование Фурье полезно в прикладной математике, особенно в физике и обработке сигналов. Это еще один интегральный оператор; образом он полезен главным образом потому, что преобразует функцию в одной (временной) области в функцию в другой (частотной) области эффективно обратимым . Никакая информация не теряется, так как имеется оператор обратного преобразования. В простом случае периодических функций этот результат основан на теореме о том, что любую непрерывную периодическую функцию можно представить в виде суммы ряда синусоиды и косинусоиды:

$$f(t)={\frac {\ a_{0}\ }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\ a_{n}\cos(\omega \ n\ t)+b_{n}\sin(\omega \ n\ t)$$

Кортеж ( a ₀ , a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ , ... ) на самом деле является элементом бесконечномерного векторного пространства ℓ ² , и, следовательно, ряд Фурье является линейным оператором.

Когда речь идет об общей функции $\mathbb {R} \to \mathbb {C}$, преобразование принимает целочисленный вид:

$$f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )\ e^{i\ \omega \ t}\ \mathrm {d} \ \omega }$$

Преобразование Лапласа

Основная статья: преобразование Лапласа

— Преобразование Лапласа еще один интегральный оператор, который упрощает процесс решения дифференциальных уравнений.

Учитывая f = f ( s ) , оно определяется следующим образом:

$$F(s)=\operatorname {\mathcal {L}} \{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-s\ t}\ f(t)\ \mathrm {d} \ t$$

См. также

• Функция
• Операторная алгебра
• Список операторов