Список математических операторов

В математике оператор в другое или преобразование — это функция из одного пространства функций . Операторы обычно встречаются в технике , физике и математике. Многие из них являются интегральными и дифференциальными операторами .

В дальнейшем L — оператор

$L:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$

который принимает функцию $y\in {\mathcal {F}}$ к другой функции $L[y]\in {\mathcal {G}}$. Здесь, ${\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {G}}$ некоторые неуказанные функциональные пространства , такие как пространство Харди , L ^п пространство , пространство Соболева или, более неопределенно, пространство голоморфных функций .

Выражение	Изгиб определение	Переменные	Описание
Линейные преобразования
$L[y]=y^{(n)}$			Производная n- го порядка
$L[y]=\int _{a}^{t}y\,dt$	декартовский	$y=y(x)$ $x=t$	Интеграл, площадь
$L[y]=y\circ f$			Оператор композиции
$L[y]={\frac {y\circ t+y\circ -t}{2}}$			Четный компонент
$L[y]={\frac {y\circ t-y\circ -t}{2}}$			Нечетный компонент
$L[y]=y\circ (t+1)-y\circ t=\Delta y$			Разностный оператор
$L[y]=y\circ (t)-y\circ (t-1)=\nabla y$			Обратная разница (оператор Набла)
$L[y]=\sum y=\Delta ^{-1}y$			Оператор неопределенной суммы (обратный оператор разности)
$L[y]=-(py')'+qy$			Оператор Штурма – Лиувилля
Нелинейные преобразования
$F[y]=y^{[-1]}$			Обратная функция
$F[y]=t\,y'^{[-1]}-y\circ y'^{[-1]}$			Преобразование Лежандра
$F[y]=f\circ y$			Левая композиция
$F[y]=\prod y$			Неопределенный продукт
$F[y]={\frac {y'}{y}}$			Логарифмическая производная
$F[y]={\frac {ty'}{y}}$			Эластичность
$F[y]={y''' \over y'}-{3 \over 2}\left({y'' \over y'}\right)^{2}$			Производная Шварца
$F[y]=\int _{a}^{t}|y'|\,dt$			Общая вариация
$F[y]={\frac {1}{t-a}}\int _{a}^{t}y\,dt$			Среднее арифметическое
$F[y]=\exp \left({\frac {1}{t-a}}\int _{a}^{t}\ln y\,dt\right)$			Среднее геометрическое
$F[y]=-{\frac {y}{y'}}$	декартовский	$y=y(x)$ $x=t$	Подкасательная
$F[x,y]=-{\frac {yx'}{y'}}$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[r]=-{\frac {r^{2}}{r'}}$	Полярный	$r=r(\phi )$ $\phi =t$
$F[r]={\frac {1}{2}}\int _{a}^{t}r^{2}dt$	Полярный	$r=r(\phi )$ $\phi =t$	Площадь сектора
$F[y]=\int _{a}^{t}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dt$	декартовский	$y=y(x)$ $x=t$	Длина дуги
$F[x,y]=\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[r]=\int _{a}^{t}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}}}\,dt$	Полярный	$r=r(\phi )$ $\phi =t$
$F[y]=\int _{a}^{t}{\sqrt[{3}]{y''}}\,dt$	декартовский	$y=y(x)$ $x=t$	Длина аффинной дуги
$F[x,y]=\int _{a}^{t}{\sqrt[{3}]{x'y''-x''y'}}\,dt$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[x,y,z]=\int _{a}^{t}{\sqrt[{3}]{z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}}dt$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$ $z=z(t)$
$F[y]={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}$	декартовский	$y=y(x)$ $x=t$	Кривизна
$F[x,y]={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[r]={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}$	Полярный	$r=r(\phi )$ $\phi =t$
$F[x,y,z]={\frac {\sqrt {(z''y'-z'y'')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$ $z=z(t)$
$F[y]={\frac {1}{3}}{\frac {y''''}{(y'')^{5/3}}}-{\frac {5}{9}}{\frac {y'''^{2}}{(y'')^{8/3}}}$	декартовский	$y=y(x)$ $x=t$	Аффинная кривизна
$F[x,y]={\frac {x''y'''-x'''y''}{(x'y''-x''y')^{5/3}}}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{(x'y''-x''y')^{2/3}}}\right]''$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[x,y,z]={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$ $z=z(t)$	Кручение кривых
$X[x,y]={\frac {y'}{yx'-xy'}}$ $Y[x,y]={\frac {x'}{xy'-yx'}}$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Двойная кривая (касательные координаты)
$X[x,y]=x+{\frac {ay'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$ $Y[x,y]=y-{\frac {ax'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Параллельная кривая
$X[x,y]=x+y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x''y'-y''x'}}$ $Y[x,y]=y+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{y''x'-x''y'}}$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Развитый
$F[r]=t(r'\circ r^{[-1]})$	Внутренний	$r=r(s)$ $s=t$
$X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$ $Y[x,y]=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Эвольвента
$X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}$ $Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Кривая педали с точкой педали (0;0)
$X[x,y]={\frac {(x'^{2}-y'^{2})y'+2xyx'}{xy'-yx'}}$ $Y[x,y]={\frac {(x'^{2}-y'^{2})x'+2xyy'}{xy'-yx'}}$	Параметрический декартовский	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Отрицательная кривая педали с точкой педали (0;0)
$X[y]=\int _{a}^{t}\cos \left[\int _{a}^{t}{\frac {1}{y}}\,dt\right]dt$ $Y[y]=\int _{a}^{t}\sin \left[\int _{a}^{t}{\frac {1}{y}}\,dt\right]dt$	Внутренний	$y=r(s)$ $s=t$	Свойственный декартовский трансформация
Метрические функционалы
$F[y]=\|y\|={\sqrt {\int _{E}y^{2}\,dt}}$			Норма
$F[x,y]=\int _{E}xy\,dt$			Внутренний продукт
$F[x,y]=\arccos \left[{\frac {\int _{E}xy\,dt}{{\sqrt {\int _{E}x^{2}\,dt}}{\sqrt {\int _{E}y^{2}\,dt}}}}\right]$			Фубини – Метрика исследования (внутренний угол)
Функционалы распределения
$F[x,y]=x*y=\int _{E}x(s)y(t-s)\,ds$			Свертка
$F[y]=\int _{E}y\ln y\,dt$			Дифференциальная энтропия
$F[y]=\int _{E}yt\,dt$			Ожидаемая стоимость
$F[y]=\int _{E}\left(t-\int _{E}yt\,dt\right)^{2}y\,dt$			Дисперсия

См. также

• Список преобразований
• Список преобразований, связанных с Фурье
• Оператор трансфера
• Фредгольмский оператор
• Преобразование Бореля
• Словарь математических символов