Неопределенный продукт

В математике оператор неопределенного произведения является обратным оператором ${\textstyle Q(f(x))={\frac {f(x+1)}{f(x)}}}$. Это дискретная версия геометрического интеграла геометрического исчисления, одного из неньютоновских исчислений.

Таким образом

$Q\left(\prod _{x}f(x)\right)=f(x)\,.$

Более явно, если ${\textstyle \prod _{x}f(x)=F(x)}$, затем

${\frac {F(x+1)}{F(x)}}=f(x)\,.$

Если F ( x ) является решением этого функционального уравнения для данного f ( x ), то то же самое можно сказать и о CF ( x ) для любой константы C . Следовательно, каждое неопределенное произведение фактически представляет собой семейство функций, отличающихся мультипликативной константой.

Правило периода

Если $T$ это период функционирования $f(x)$ затем

$\prod _{x}f(Tx)=Cf(Tx)^{x-1}$

Подключение к неопределенной сумме

Неопределённое произведение можно выразить через неопределённую сумму :

$\prod _{x}f(x)=\exp \left(\sum _{x}\ln f(x)\right)$

Альтернативное использование

Некоторые авторы используют фразу «неопределенный продукт» несколько иным, но родственным образом для описания продукта, в котором не указано числовое значение верхнего предела. например

$\prod _{k=1}^{n}f(k)$.

Правила

$\prod _{x}f(x)g(x)=\prod _{x}f(x)\prod _{x}g(x)$

$\prod _{x}f(x)^{a}=\left(\prod _{x}f(x)\right)^{a}$

$\prod _{x}a^{f(x)}=a^{\sum _{x}f(x)}$

Список неопределенных продуктов

Это список неопределенных продуктов ${\textstyle \prod _{x}f(x)}$. Не все функции имеют неопределенное произведение, которое можно выразить через элементарные функции.

$\prod _{x}a=Ca^{x}$

$\prod _{x}x=C\,\Gamma (x)$

$\prod _{x}{\frac {x+1}{x}}=Cx$

$\prod _{x}{\frac {x+a}{x}}={\frac {C\,\Gamma (x+a)}{\Gamma (x)}}$

$\prod _{x}x^{a}=C\,\Gamma (x)^{a}$

$\prod _{x}ax=Ca^{x}\Gamma (x)$

$\prod _{x}a^{x}=Ca^{{\frac {x}{2}}(x-1)}$

$\prod _{x}a^{\frac {1}{x}}=Ca^{\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}$

$\prod _{x}x^{x}=C\,e^{\zeta ^{\prime }(-1,x)-\zeta ^{\prime }(-1)}=C\,e^{\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )}=C\,\operatorname {K} (x)$

(см. К-функцию )

$\prod _{x}\Gamma (x)={\frac {C\,\Gamma (x)^{x-1}}{\operatorname {K} (x)}}=C\,\Gamma (x)^{x-1}e^{{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {z^{2}-z}{2}}-\psi ^{(-2)}(z)}=C\,\operatorname {G} (x)$

(см. G-функцию Барнса )

$\prod _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)={\frac {C\,(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{\operatorname {sexp} _{a}(x)(\ln a)^{x}}}$

(см. суперэкспоненциальную функцию )

$\prod _{x}x+a=C\,\Gamma (x+a)$

$\prod _{x}ax+b=C\,a^{x}\Gamma \left(x+{\frac {b}{a}}\right)$

$\prod _{x}ax^{2}+bx=C\,a^{x}\Gamma (x)\Gamma \left(x+{\frac {b}{a}}\right)$

$\prod _{x}x^{2}+1=C\,\Gamma (x-i)\Gamma (x+i)$

$\prod _{x}x+{\frac {1}{x}}={\frac {C\,\Gamma (x-i)\Gamma (x+i)}{\Gamma (x)}}$

$\prod _{x}\csc x\sin(x+1)=C\sin x$

$\prod _{x}\sec x\cos(x+1)=C\cos x$

$\prod _{x}\cot x\tan(x+1)=C\tan x$

$\prod _{x}\tan x\cot(x+1)=C\cot x$

См. также

• Неопределенная сумма
• Интегральный продукт
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
• Фрактальная производная

Дальнейшее чтение

• http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Product.html — Неопределенные продукты с Mathematica
• [1] — ошибка в Maple V–Maple 8 при обработке неопределенного произведения.
• Маркус Мюллер. Как сложить нецелое количество членов и как производить необычные бесконечные суммирования
• Маркус Мюллер, Дирк Шлейхер. Дробные суммы и тождества типа Эйлера

Внешние ссылки

• Сайт неньютоновского исчисления