Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях

Существует множество альтернатив исчислению Ньютона ; и Лейбница классическому например, каждое из бесконечного множества неньютоновских исчислений. Иногда альтернативное исчисление больше подходит для выражения определенной научной или математической идеи, чем классическое исчисление.

Таблица ниже предназначена для помощи людям, работающим с альтернативным исчислением, называемым «геометрическим исчислением» (или его дискретным аналогом). Заинтересованным читателям предлагается улучшить таблицу, вставив цитаты для проверки, а также добавив больше функций и вычислений.

Таблица

В следующей таблице;

$\psi (x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}$ это дигамма-функция ,

$\operatorname {K} (x)=e^{\zeta ^{\prime }(-1,x)-\zeta ^{\prime }(-1)}=e^{{\frac {z-z^{2}}{2}}+{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )-\psi ^{(-2)}(z)}$ – K-функция ,

$(!x)={\frac {\Gamma (x+1,-1)}{e}}$ является субфакториалом ,

$B_{a}(x)=-a\zeta (-a+1,x)$ являются обобщенными на действительные числа полиномами Бернулли .

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Интеграл $\int f(x)dx$ (постоянный термин опущен)	Мультипликативная производная $f^{*}(x)$	Мультипликативный интеграл $\int f(x)^{dx}$ (постоянный коэффициент опущен)	Дискретная производная (разность) $\Delta f(x)$	Дискретный интеграл (антиразность) $\Delta ^{-1}f(x)$ (постоянный термин опущен)	Дискретный мультипликативная производная (мультипликативная разность)	Дискретный мультипликативный интеграл (неопределенный продукт) $\prod _{x}f(x)$ (постоянный коэффициент опущен)
$a$	$0$	$ax$	$1$	$a^{x}$	$0$	$ax$	$1$	$a^{x}$
$x$	$1$	${\frac {x^{2}}{2}}$	${\sqrt[{x}]{e}}$	${\frac {x^{x}}{e^{x}}}$	$1$	${\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}$	$1+{\frac {1}{x}}$	$\Gamma (x)$
$ax+b$	$a$	${\frac {ax^{2}+2bx}{2}}$	$\exp \left({\frac {a}{ax+b}}\right)$	${\frac {(b+ax)^{{\frac {b}{a}}+x}}{e^{x}}}$	$a$	${\frac {ax^{2}+2bx-ax}{2}}$	$1+{\frac {a}{ax+b}}$	${\frac {a^{x}\Gamma ({\frac {ax+b}{a}})}{\Gamma ({\frac {a+b}{a}})}}$
${\frac {1}{x}}$	$-{\frac {1}{x^{2}}}$	$\ln |x|$	${\frac {1}{\sqrt[{x}]{e}}}$	${\frac {e^{x}}{x^{x}}}$	$-{\frac {1}{x+x^{2}}}$	$\psi (x)$	${\frac {x}{x+1}}$	${\frac {1}{\Gamma (x)}}$
$x^{a}$	$ax^{a-1}$	${\frac {x^{a+1}}{a+1}}$	$e^{\frac {a}{x}}$	$e^{-ax}x^{ax}$	$(x+1)^{a}-x^{a}$	$a\notin \mathbb {Z} ^{-}\,;$${\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}},$ $a\in \mathbb {Z} ^{-}\,;$${\frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(-a-1)}(x)}{\Gamma (-a)}},$	$\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{a}$	$\Gamma (x)^{a}$
$a^{x}$	$a^{x}\ln a$	${\frac {a^{x}}{\ln a}}$	$a$	$a^{\frac {x^{2}}{2}}$	$(a-1)a^{x}$	${\frac {a^{x}}{a-1}}$	$a$	$a^{\frac {x^{2}+x}{2}}$
${\sqrt[{x}]{a}}$	$-{\frac {{\sqrt[{x}]{a}}\ln a}{x^{2}}}$	$x{\sqrt[{x}]{a}}-\operatorname {Ei} \left({\frac {\ln a}{x}}\right)\ln a$	$a^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$	$a^{\ln x}$	$a^{\frac {1}{1+x}}-a^{\frac {1}{x}}$	$?$	$a^{-{\frac {1}{x+x^{2}}}}$	$a^{\psi (x)}$
$\log _{a}x$	${\frac {1}{x\ln a}}$	$\log _{a}x^{x}-{\frac {x}{\ln a}}$	$\exp \left({\frac {1}{x\ln x}}\right)$	${\frac {(\log _{a}x)^{x}}{e^{\operatorname {li} (x)}}}$	$\log _{a}\left({\frac {1}{x}}-1\right)$	$\log _{a}\Gamma (x)$	$\log _{x}(x+1)$	$?$
$x^{x}$	$x^{x}(1+\ln x)$	$?$	$ex$	$e^{-{\frac {1}{4}}x^{2}(1-2\ln x)}$	$(x+1)^{x+1}-x^{x}$	$?$	${\frac {(x+1)^{x+1}}{x^{x}}}$	$\operatorname {K} (x)$
$\Gamma (x)$	$\Gamma (x)\psi (x)$	$?$	$e^{\psi (x)}$	$e^{\psi ^{(-2)}(x)}$	$(x-1)\Gamma (x)$	$(-1)^{x+1}\Gamma (x)(!(-x))$	$x$	${\frac {\Gamma (x)^{x-1}}{\operatorname {K} (x)}}$
$\sin(ax)$	$a\cos(ax)$	$-{\dfrac {\cos(ax)}{a}}$	$e^{a\cot(ax)}$	$?$	$\sin(a(x+1))-\sin(ax)$	$-{\dfrac {1}{2}}\csc \left({\dfrac {a}{2}}\right)\cos \left({\dfrac {a}{2}}-ax\right)$	$\cos(a)+\sin(a)\cot(ax)$	$?$

См. также

• Производная
• Правила дифференциации
• Неопределенный продукт
• Интегральный продукт
• Фрактальная производная

Внешние ссылки

• Сайт неньютоновского исчисления