Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях

Существует множество альтернатив исчислению Ньютона Лейбница и ; классическому например, каждое из бесконечного множества неньютоновских исчислений. Иногда альтернативное исчисление больше подходит для выражения определенной научной или математической идеи, чем классическое исчисление.

Таблица ниже предназначена для помощи людям, работающим с альтернативным исчислением, называемым «геометрическим исчислением» (или его дискретным аналогом). Заинтересованным читателям рекомендуется улучшить таблицу, вставив цитаты для проверки, а также добавив больше функций и вычислений.

Таблица

В следующей таблице;

$\psi (x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}$ это дигамма-функция ,

$\operatorname {K} (x)=e^{\zeta ^{\prime }(-1,x)-\zeta ^{\prime }(-1)}=e^{{\frac {z-z^{2}}{2}}+{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )-\psi ^{(-2)}(z)}$ – K-функция ,

$(!x)={\frac {\Gamma (x+1,-1)}{e}}$ является субфакториалом ,

$B_{a}(x)=-a\zeta (-a+1,x)$ являются обобщенными на действительные числа полиномами Бернулли .

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	интеграл $\int f(x)dx$ (постоянный термин опущен)	Мультипликативная производная $f^{*}(x)$	Мультипликативный интеграл $\int f(x)^{dx}$ (постоянный коэффициент опущен)	Дискретная производная (разность) $\Delta f(x)$	Дискретный интеграл (антиразность) $\Delta ^{-1}f(x)$ (постоянный термин опущен)	Дискретный мультипликативная производная (мультипликативная разность)	Дискретный мультипликативный интеграл (неопределенный продукт) $\prod _{x}f(x)$ (постоянный коэффициент опущен)
$a$	$0$	$ax$	$1$	$a^{x}$	$0$	$ax$	$1$	$a^{x}$
$x$	$1$	${\frac {x^{2}}{2}}$	${\sqrt[{x}]{e}}$	${\frac {x^{x}}{e^{x}}}$	$1$	${\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}$	$1+{\frac {1}{x}}$	$\Gamma (x)$
$ax+b$	$a$	${\frac {ax^{2}+2bx}{2}}$	$\exp \left({\frac {a}{ax+b}}\right)$	${\frac {(b+ax)^{{\frac {b}{a}}+x}}{e^{x}}}$	$a$	${\frac {ax^{2}+2bx-ax}{2}}$	$1+{\frac {a}{ax+b}}$	${\frac {a^{x}\Gamma ({\frac {ax+b}{a}})}{\Gamma ({\frac {a+b}{a}})}}$
${\frac {1}{x}}$	$-{\frac {1}{x^{2}}}$	$\ln |x|$	${\frac {1}{\sqrt[{x}]{e}}}$	${\frac {e^{x}}{x^{x}}}$	$-{\frac {1}{x+x^{2}}}$	$\psi (x)$	${\frac {x}{x+1}}$	${\frac {1}{\Gamma (x)}}$
$x^{a}$	$ax^{a-1}$	${\frac {x^{a+1}}{a+1}}$	$e^{\frac {a}{x}}$	$e^{-ax}x^{ax}$	$(x+1)^{a}-x^{a}$	$a\notin \mathbb {Z} ^{-}\,;$${\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}},$ $a\in \mathbb {Z} ^{-}\,;$${\frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(-a-1)}(x)}{\Gamma (-a)}},$	$\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{a}$	$\Gamma (x)^{a}$
$a^{x}$	$a^{x}\ln a$	${\frac {a^{x}}{\ln a}}$	$a$	$a^{\frac {x^{2}}{2}}$	$(a-1)a^{x}$	${\frac {a^{x}}{a-1}}$	$a$	$a^{\frac {x^{2}+x}{2}}$
${\sqrt[{x}]{a}}$	$-{\frac {{\sqrt[{x}]{a}}\ln a}{x^{2}}}$	$x{\sqrt[{x}]{a}}-\operatorname {Ei} \left({\frac {\ln a}{x}}\right)\ln a$	$a^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$	$a^{\ln x}$	$a^{\frac {1}{1+x}}-a^{\frac {1}{x}}$	$?$	$a^{-{\frac {1}{x+x^{2}}}}$	$a^{\psi (x)}$
$\log _{a}x$	${\frac {1}{x\ln a}}$	$\log _{a}x^{x}-{\frac {x}{\ln a}}$	$\exp \left({\frac {1}{x\ln x}}\right)$	${\frac {(\log _{a}x)^{x}}{e^{\operatorname {li} (x)}}}$	$\log _{a}\left({\frac {1}{x}}-1\right)$	$\log _{a}\Gamma (x)$	$\log _{x}(x+1)$	$?$
$x^{x}$	$x^{x}(1+\ln x)$	$?$	$ex$	$e^{-{\frac {1}{4}}x^{2}(1-2\ln x)}$	$(x+1)^{x+1}-x^{x}$	$?$	${\frac {(x+1)^{x+1}}{x^{x}}}$	$\operatorname {K} (x)$
$\Gamma (x)$	$\Gamma (x)\psi (x)$	$?$	$e^{\psi (x)}$	$e^{\psi ^{(-2)}(x)}$	$(x-1)\Gamma (x)$	$(-1)^{x+1}\Gamma (x)(!(-x))$	$x$	${\frac {\Gamma (x)^{x-1}}{\operatorname {K} (x)}}$
$\sin(ax)$	$a\cos(ax)$	$-{\dfrac {\cos(ax)}{a}}$	$e^{a\cot(ax)}$	$?$	$\sin(a(x+1))-\sin(ax)$	$-{\dfrac {1}{2}}\csc \left({\dfrac {a}{2}}\right)\cos \left({\dfrac {a}{2}}-ax\right)$	$\cos(a)+\sin(a)\cot(ax)$	$?$

См. также

• Производная
• Правила дифференциации
• Неопределенный продукт
• Интегральный продукт
• Фрактальная производная

Внешние ссылки

• Сайт неньютоновского исчисления