Интегральный продукт

Интеграл произведения – это любой основанный на произведении аналог обычного сумме , основанного на интеграла , в исчислении . Интеграл произведения был разработан математиком Вито Вольтеррой в 1887 году для решения систем линейных дифференциальных уравнений . ^[1]^[2]

Неофициальный эскиз

Классический интеграл Римана от функции $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ может быть определено соотношением

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\Delta x\to 0}\sum f(x_{i})\,\Delta x,

где предел берется по разбиениям интервала всем $[a,b]$ которого нормы стремятся к нулю. произведения аналогичны, но берут предел произведения от вместо предела суммы Интегралы . Их можно рассматривать как « непрерывные » версии « дискретных » продуктов . Они определяются как

\prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {\big (}1+f(x_{i})\,\Delta x{\big )}.

Для случая $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ интеграл произведения сводится в точности к случаю интегрирования Лебега , то есть к классическому исчислению. Таким образом, интересные случаи возникают для функций $f:[a,b]\to A$ где $A$ является либо некоторой коммутативной алгеброй , такой как конечномерное матричное поле . или если $A$ является некоммутативной алгеброй . Теории для этих двух случаев, коммутативного и некоммутативного, имеют мало общего. Некоммутативный случай гораздо сложнее; требуется правильное упорядочение путей для четкого определения интеграла .

Коммутативный случай

Для коммутативного случая в литературе распространены три различных определения: тип I, тип II или геометрический и тип III или бигеометрический . ^[3]^[4]^[5]Такие интегралы нашли применение в эпидемиологии ( оценка Каплана–Мейера ) и стохастической популяционной динамике . Геометрический интеграл вместе с геометрической производной полезен при анализе изображений. ^[6] и при изучении явлений роста/распада ( например , экономического роста , роста бактерий и радиоактивного распада ). ^[7]^[8] Бигеометрический интеграл вместе с бигеометрической производной полезен в некоторых приложениях фракталов . ^[9]^[10]^[11]^[12] и в теории эластичности в экономике. ^[3]^[5]^[13]

Некоммутативный случай

Некоммутативный случай обычно возникает в квантовой механике и квантовой теории поля . Подынтегральная функция обычно является оператором, принадлежащим некоторой некоммутативной алгебре . В этом случае необходимо соблюдать осторожность, чтобы установить порядок путей при интеграции. Типичным результатом является упорядоченная экспонента . Расширение Магнуса предоставляет один из методов вычисления интеграла Вольтерра. Примеры включают расширение Дайсона , интегралы, которые встречаются в разложении произведения оператора , и линию Вильсона , интеграл произведения по калибровочному полю. Петля Вильсона — это след линии Вильсона. Интеграл произведения также встречается в теории управления как ряд Пеано-Бейкера, описывающий переходы состояний в линейных системах, записанный в основного уравнения форме .

Общий (некоммутативный) случай

Интеграл произведения Вольтерра наиболее полезен при применении к матричным функциям или функциям со значениями в банаховой алгебре . Применительно к скалярам, принадлежащим некоммутативному полю, к матрицам и операторам, то есть к математическим объектам, которые не коммутируют, интеграл Вольтерра распадается на два определения. ^[14]

Интеграл левого произведения равен

P(A,D)=\prod _{i=m}^{1}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})

С этим обозначением левых продуктов (т.е. обычных продуктов, применяемых слева)

\prod _{a}^{b}(\mathbb {1} +A(t)dt)=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)

Правильный интеграл продукта

P(A,D)^{*}=\prod _{i=1}^{m}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})

При таком обозначении правильных продуктов (т.е. примененных справа)

(\mathbb {1} +A(t)dt)\prod _{a}^{b}=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)^{*}

Где $\mathbb {1}$ — единичная матрица, а D — разбиение интервала [a,b] в смысле Римана, т. е. предел находится в пределах максимального интервала разбиения. Обратите внимание, как в этом случае временной порядок становится очевидным в определениях.

Расширение Магнуса обеспечивает метод вычисления интеграла произведения. Он определяет версию формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа для непрерывного времени .

Интеграл произведения удовлетворяет набору свойств, определяющих однопараметрическую непрерывную группу ; об этом говорится в двух статьях, показывающих применение: серия Дайсона и серия Пеано-Бейкера .

Коммутативный случай

Коммутативный случай значительно проще, и в результате появилось большое разнообразие различных обозначений и определений. В литературе популярны три различных стиля. В этом подразделе используется продукт $\textstyle \prod$ обозначение интеграции продукта вместо интеграла $\textstyle \int$ (обычно модифицированный наложенным символом времени или буквой P), предпочитаемый Вольтеррой и другими. Произвольная классификация типов принята, чтобы навести некоторый порядок в этой области.

Когда функция, подлежащая интегрированию, оценивается в действительных числах, теория сводится в точности к теории интегрирования Лебега .

Тип I: интеграл Вольтерра

Интеграл произведения типа I соответствует первоначальному определению Вольтерры . ^[2]^[15]^[16] существует следующее соотношение Для скалярных функций $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ :

\prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\exp \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right),

Тип II: Геометрический интеграл

\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a}^{b}\ln f(x)\,dx\right),

который называется геометрическим интегралом . Логарифм четко определен, если f принимает значения в действительных или комплексных числах или если f принимает значения в коммутативном поле коммутирующих операторов трассового класса . Это определение интеграла произведения является непрерывным аналогом дискретного произведения . оператора $\textstyle \prod _{i=a}^{b}$ (с $i,a,b\in \mathbb {Z}$ ) и мультипликативный аналог (нормального/стандартного/ аддитивного ) интеграла $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ (с $x\in [a,b]$ ):

	добавка	мультипликативный
дискретный	$\sum _{i=a}^{b}f(i)$	$\prod _{i=a}^{b}f(i)$
непрерывный	$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$	$\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}$

Это очень полезно в стохастике где логарифм правдоподобия (т. е. логарифм интеграла произведения независимых случайных величин ) равен интегралу логарифма этих , ( бесконечно малых) случайных величин :

\ln \prod _{a}^{b}p(x)^{dx}=\int _{a}^{b}\ln p(x)\,dx.

Тип III: Бигеометрический интеграл.

\prod _{a}^{b}f(x)^{d(\ln x)}=\exp \left(\int _{\ln(a)}^{\ln(b)}\ln f(e^{x})\,dx\right),

Интеграл-произведение типа III называется бигеометрическим интегралом .

Основные результаты

В коммутативном случае для интеграла произведения II рода (геометрического интеграла) справедливы следующие результаты.

\prod _{a}^{b}c^{dx}=c^{b-a},

\prod _{a}^{b}x^{dx}={\frac {b^{b}}{a^{a}}}{\rm {e}}^{a-b},

\prod _{0}^{b}x^{dx}=b^{b}{\rm {e}}^{-b},

\prod _{a}^{b}\left(f(x)^{k}\right)^{dx}=\left(\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}\right)^{k},

\prod _{a}^{b}\left(c^{f(x)}\right)^{dx}=c^{\int _{a}^{b}f(x)\,dx},

Геометрический интеграл (тип II выше) играет центральную роль в геометрическом исчислении . ^[3]^[4]^[17] что представляет собой мультипликативное исчисление. Обратный геометрический интеграл, который является геометрической производной , обозначается $f^{*}(x)$ , определяется с использованием следующего соотношения:

f^{*}(x)=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

Основная теорема

\prod _{a}^{b}f^{*}(x)^{dx}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}},

Правило продукта

(fg)^{*}=f^{*}g^{*}.

Правило частного

(f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}.

Закон больших чисел

{\sqrt[{n}]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\prod _{x}X^{dF(x)},

где X — случайная величина с распределением вероятностей F ( x ).

Сравните со стандартным законом больших чисел :

{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\int X\,dF(x).

Коммутативный случай: интегралы-произведения типа Лебега

Когда подынтегральная функция принимает значения в виде действительных чисел , с интервалами произведений становится легко работать, используя простые функции . Так же, как и в случае с лебеговой версией (классических) интегралов , можно вычислить интегралы произведения, аппроксимируя их интегралами произведения простых функций . Случай геометрических интегралов второго рода сводится в точности к случаю классического интегрирования Лебега.

Тип I: интеграл Вольтерра

Поскольку простые функции обобщают ступенчатые функции , в дальнейшем мы будем рассматривать только частный случай простых функций, которые являются ступенчатыми функциями. Это также облегчит сравнение определения Лебега с определением Римана .

Учитывая ступенчатую функцию $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ с соответствующим разделом $a=y_{0}<y_{1}<\dots <y_{m}$ и раздел с тегами

a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b,\quad x_{0}\leq t_{0}\leq x_{1},x_{1}\leq t_{1}\leq x_{2},\dots ,x_{n-1}\leq t_{n-1}\leq x_{n},

одно приближение «определения Римана» интеграла произведения типа I дается выражением ^[18]

\prod _{k=0}^{n-1}\left[{\big (}1+f(t_{k}){\big )}\cdot (x_{k+1}-x_{k})\right].

как, грубо говоря, предел этих произведений . Интеграл произведения (типа I) был определен Людвигом Шлезингером в статье 1931 года ^{[ который? ]}

Другое приближение «определения Римана» интеграла произведения типа I определяется как

\prod _{k=0}^{n-1}\exp {\big (}f(t_{k})\cdot (x_{k+1}-x_{k}){\big )}.

Когда $f$ — постоянная функция , предел первого типа приближения равен второму типу приближения. ^[19] Обратите внимание, что в целом для ступенчатой функции значение второго типа аппроксимации не зависит от разбиения, если оно является уточнением разбиения , определяющего ступенчатую функцию, тогда как значение первого типа аппроксимация действительно зависит от тонкости разбиения, даже если это уточнение разбиения, определяющего ступенчатую функцию.

Оказывается, ^[20] для любой интегрируемой с произведением функции $f$ , предел первого типа аппроксимации равен пределу второго типа аппроксимации. Поскольку для ступенчатых функций значение второго типа аппроксимации не зависит от тонкости разбиения для «достаточно мелких» разбиений, имеет смысл определить ^[21] «интеграл произведения Лебега (тип I)» ступенчатой функции как

\prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}f(s_{k})\cdot (y_{k+1}-y_{k}){\big )},

где $y_{0}<a=s_{0}<y_{1}<\dots <y_{n-1}<s_{n-1}<y_{n}=b$ это раздел с тегами, и снова $a=y_{0}<y_{1}<\dots <y_{m}$ — разбиение, соответствующее ступенчатой функции $f$ . (Напротив, соответствующая величина не может быть однозначно определена с использованием первого типа приближения.)

Это легко обобщается на произвольные пространства с мерой . Если $X$ является пространством меры с мерой $\mu$ , то для любой интегрируемой с произведением простой функции $f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)$ (т.е. коническая комбинация индикаторных функций для некоторых непересекающихся измеримых множеств $A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X$ ), его интеграл произведения типа I определяется как

\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )},

с $a_{k}$ это ценность $f$ в любой точке $A_{k}$ . В частном случае, когда $X=\mathbb {R}$ , $\mu$ является мерой Лебега , а все измеримые множества $A_{k}$ являются интервалами , можно проверить, что это соответствует определению, данному выше для этого особого случая. Аналогично теории (классических) интегралов Лебега , интеграл произведения типа I любой интегрируемой с произведением функции $f$ может быть записано как предел возрастающей последовательности интегралов-произведений Вольтерра от простых функций, интегрируемых по произведению.

Логарифмируя функции обе части приведенного выше определения, получаем, что для любой интегрируемой с произведением простой $f$ :

\ln \left(\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\right)=\ln \left(\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )}\right)=\sum _{k=0}^{m-1}a_{k}\mu (A_{k})=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\iff

\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right),

где мы использовали определение интеграла для простых функций. Более того, поскольку непрерывные функции типа $\exp$ могут быть заменены пределами, а интеграл произведения любой интегрируемой с произведением функции $f$ равен пределу интегралов-произведений простых функций, отсюда следует, что соотношение

\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)

вообще справедливо для любого интегрируемого продукта $f$ . Это явно обобщает указанное выше свойство.

Интеграл типа I мультипликативен как функция множества . ^[22] что можно показать, используя указанное выше свойство. Более конкретно, учитывая интегрируемую с произведением функцию $f$ можно определить функцию множества ${\cal {V}}_{f}$ определив для каждого измеримого множества $B\subseteq X$ ,

{\cal {V}}_{f}(B){\overset {def}{=}}\prod _{B}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{X}{\big (}1+(f\cdot I_{B})(x)\,d\mu (x){\big )},

где $I_{B}(x)$ обозначает функцию индикаторную $B$ . Тогда для любых двух непересекающихся измеримых множеств $B_{1},B_{2}$ у одного есть

{\begin{aligned}{\cal {V}}_{f}(B_{1}\sqcup B_{2})&=\prod _{B_{1}\sqcup B_{2}}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\\&=\exp \left(\int _{B_{1}\sqcup B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)+\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)\right)\exp \left(\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\prod _{B_{1}}(1+f(x)d\mu (x))\prod _{B_{2}}(1+f(x)\,d\mu (x))\\&={\cal {V}}_{f}(B_{1}){\cal {V}}_{f}(B_{2}).\end{aligned}}

Это свойство можно противопоставить мерам, которые являются сигма-аддитивными функциями множества .

Однако интеграл типа I не является мультипликативным как функционал . Даны две интегрируемые с произведением функции $f,g$ , и измеримое множество $A$ , обычно это так

\prod _{A}{\big (}1+(fg)(x)\,d\mu (x){\big )}\neq \prod _{A}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\prod _{A}{\big (}1+g(x)\,d\mu (x){\big )}.

Тип II: Геометрический интеграл

Если $X$ является пространством меры с мерой $\mu$ , то для любой интегрируемой с произведением простой функции $f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)$ (т.е. коническая комбинация индикаторных функций для некоторых непересекающихся измеримых множеств $A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X$ ), его интеграл произведения типа II определяется как

\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}a_{k}^{\mu (A_{k})}.

Это можно рассматривать как обобщение определения, данного выше.

Логарифмируя обе части, мы видим, что для любой интегрируемой с произведением простой функции $f$ :

\ln \left(\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}\right)=\sum _{k=0}^{m-1}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\iff \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right),

где использовалось определение интеграла Лебега для простых функций. Это наблюдение, аналогичное уже сделанному выше для интегралов рода II, позволяет полностью свести «теорию Лебега геометрических интегралов рода II» к теории Лебега (классических) интегралов. Другими словами, поскольку непрерывные функции типа $\exp$ и $\ln$ могут быть заменены пределами, а интеграл произведения любой интегрируемой с произведением функции $f$ равен пределу некоторой возрастающей последовательности интегралов-произведений простых функций, отсюда следует, что соотношение

\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right)

вообще справедливо для любого интегрируемого продукта $f$ . Это обобщает упомянутое выше свойство геометрических интегралов.

См. также

Ссылки

^ В. Вольтерра, Б. Хостинский, Бесконечно-малые линейные операции , Готье-Виллар, Париж (1938).
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение , ISBN 80-7378-006-2 , Матфизпресс, Прага, 2007.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с М. Гроссман, Р. Кац, Неньютоновское исчисление , ISBN 0-912938-01-3 , Ли Пресс, 1972.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Майкл Гроссман. Первая нелинейная система дифференциального и интегрального исчисления , ISBN 0977117006 , 1979.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Майкл Гроссман. Бигеометрическое исчисление: система с безмасштабной производной , ISBN 0977117030 , 1983.
^ Люк Флорак и Ханс ван Ассен. «Мультипликативное исчисление в анализе биомедицинских изображений» , Журнал Mathematical Imaging and Vision, doi : 10.1007/s10851-011-0275-1 , 2011.
^ Диана Андрада Филип и Сирил Пьятецкий. «Обзор неньютоновского исчисления и его потенциальных приложений в экономике» , «Прикладная математика – журнал китайских университетов», том 28, Китайское общество промышленной и прикладной математики, Springer, 2014.
^ Агамирза Э. Баширов, Эмине Мисирли, Юджел Тандогду и Али Озяпичи. «О моделировании с помощью мультипликативных дифференциальных уравнений» , Прикладная математика - Журнал китайских университетов, том 26, номер 4, страницы 425–428, doi : 10.1007/s11766-011-2767-6 , Springer, 2011.
^ Марек Рыбачук. «Критический рост фрактальных структур в биологических системах» , Acta of Bioengineering and Biomechanics, Volume 1, Number 1, Wroclaw Technology University, 1999.
^ Марек Рыбачук, Алисия Кедзя и Витольд Зелински (2001) «Концепция физического и фрактального измерения II. Дифференциальное исчисление в многомерных пространствах» , Хаос, солитоны и фракталы , том 12, выпуск 13, октябрь 2001 г., страницы 2537–2552.
^ Анишевская, Дорота (октябрь 2007 г.). «Мультипликативные методы Рунге – Кутты». Нелинейная динамика . 50 (1–2): 265–272. дои : 10.1007/s11071-006-9156-3 . S2CID 120404112 .
^ Дорота Анишевска и Марек Рыбачук (2005) «Анализ мультипликативной системы Лоренца» , Хаос, солитоны и фракталы Том 25, выпуск 1, июль 2005 г., страницы 79–90.
^ Фернандо Кордова-Лепе. «Мультипликативная производная как мера эластичности в экономике» , TMAT Revista Latinoamericana de Ciencias e Ingeniería, Том 2, Номер 3, 2006.
^ Чередников Игорь Олегович; Мертенс, Том; Ван дер Векен, Фредерик (2 декабря 2019 г.). Линии Вильсона в квантовой теории поля . ISBN 9783110651690 .
^ Доллард, Джей Ди; Фридман, Китай (1979). Интеграция продукта с приложениями к дифференциальным уравнениям . Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-13509-4 .
^ Гантмахер, Франция (1959). Теория матриц . Том. 1 и 2.
^ А.Е. Баширов, Э.М. Курпынар, А. Озяпыджи. Мультипликативное исчисление и его приложения , Журнал математического анализа и приложений, 2008.
^ А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение , с. 65. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .
^ А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение , с. 71. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .
^ А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение , с. 72. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .
^ А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение , с. 80. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2
^ Гилл, Ричард Д., Сорен Йохансен. «Обзор интеграции продуктов с точки зрения их применения в анализе выживания» . Анналы статистики 18, вып. 4 (декабрь 1990 г.): 1501–555, с. 1503.

Внешние ссылки

Сайт неньютоновского исчисления
Ричард Гилл, интеграция продуктов
Ричард Гилл, интегральный символ продукта
Дэвид Манура, продуктовое исчисление
Тайлер Нейлон, Легкие пути для n!
Введение в мультиграл (продукт) и исчисление без Dx
Примечания к уравнению Лакса
Антонин Славик, Введение в интеграцию продуктов
Антонин Славик, Интеграция продуктов Henstock-Kurzweil и McShane

[1] В. Вольтерра, Б. Хостинский, Бесконечно-малые линейные операции , Готье-Виллар, Париж (1938).

[slavik-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение , ISBN 80-7378-006-2 , Матфизпресс, Прага, 2007.

[nnc-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с М. Гроссман, Р. Кац, Неньютоновское исчисление , ISBN 0-912938-01-3 , Ли Пресс, 1972.

[fnc2-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Майкл Гроссман. Первая нелинейная система дифференциального и интегрального исчисления , ISBN 0977117006 , 1979.

[bc-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Майкл Гроссман. Бигеометрическое исчисление: система с безмасштабной производной , ISBN 0977117030 , 1983.

[FvA-6] Люк Флорак и Ханс ван Ассен. «Мультипликативное исчисление в анализе биомедицинских изображений» , Журнал Mathematical Imaging and Vision, doi : 10.1007/s10851-011-0275-1 , 2011.

[7] Диана Андрада Филип и Сирил Пьятецкий. «Обзор неньютоновского исчисления и его потенциальных приложений в экономике» , «Прикладная математика – журнал китайских университетов», том 28, Китайское общество промышленной и прикладной математики, Springer, 2014.

[model-8] Агамирза Э. Баширов, Эмине Мисирли, Юджел Тандогду и Али Озяпичи. «О моделировании с помощью мультипликативных дифференциальных уравнений» , Прикладная математика - Журнал китайских университетов, том 26, номер 4, страницы 425–428, doi : 10.1007/s11766-011-2767-6 , Springer, 2011.

[9] Марек Рыбачук. «Критический рост фрактальных структур в биологических системах» , Acta of Bioengineering and Biomechanics, Volume 1, Number 1, Wroclaw Technology University, 1999.

[dimension-10] Марек Рыбачук, Алисия Кедзя и Витольд Зелински (2001) «Концепция физического и фрактального измерения II. Дифференциальное исчисление в многомерных пространствах» , Хаос, солитоны и фракталы , том 12, выпуск 13, октябрь 2001 г., страницы 2537–2552.

[runge-11] Анишевская, Дорота (октябрь 2007 г.). «Мультипликативные методы Рунге – Кутты». Нелинейная динамика . 50 (1–2): 265–272. дои : 10.1007/s11071-006-9156-3 . S2CID 120404112 .

[12] Дорота Анишевска и Марек Рыбачук (2005) «Анализ мультипликативной системы Лоренца» , Хаос, солитоны и фракталы Том 25, выпуск 1, июль 2005 г., страницы 79–90.

[13] Фернандо Кордова-Лепе. «Мультипликативная производная как мера эластичности в экономике» , TMAT Revista Latinoamericana de Ciencias e Ingeniería, Том 2, Номер 3, 2006.

[WilsonLines-14] Чередников Игорь Олегович; Мертенс, Том; Ван дер Векен, Фредерик (2 декабря 2019 г.). Линии Вильсона в квантовой теории поля . ISBN 9783110651690 .

[dollardfriedman-15] Доллард, Джей Ди; Фридман, Китай (1979). Интеграция продукта с приложениями к дифференциальным уравнениям . Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-13509-4 .

[gantmacher-16] Гантмахер, Франция (1959). Теория матриц . Том. 1 и 2.

[17] А.Е. Баширов, Э.М. Курпынар, А. Озяпыджи. Мультипликативное исчисление и его приложения , Журнал математического анализа и приложений, 2008.

[slavik2-18] А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение , с. 65. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .

[slavik3-19] А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение , с. 71. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .

[slavik4-20] А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение , с. 72. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .

[slavik5-21] А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение , с. 80. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2

[22] Гилл, Ричард Д., Сорен Йохансен. «Обзор интеграции продуктов с точки зрения их применения в анализе выживания» . Анналы статистики 18, вып. 4 (декабрь 1990 г.): 1501–555, с. 1503.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]