Интегральное уравнение Вольтерра
В математике представляют интегральные уравнения Вольтерра собой особый тип интегральных уравнений . [1] Они разделены на две группы, называемые первым и вторым видом.
Линейное уравнение Вольтерра первого рода имеет вид
где f — заданная функция, а x — неизвестная функция, которую нужно решить. Линейное уравнение Вольтерра второго рода имеет вид
В теории операторов и теории Фредгольма соответствующие операторы называются вольтерровыми операторами . Полезный метод решения таких уравнений, метод разложения Адомиана , принадлежит Джорджу Адомиану .
Линейное интегральное уравнение Вольтерра является уравнением свертки , если
Функция в интеграле называется ядром . Такие уравнения можно анализировать и решать с помощью методов преобразования Лапласа .
Для слабо сингулярного ядра вида с , интегральное уравнение Вольтерра первого рода удобно преобразовать в классическое интегральное уравнение Абеля.
Интегральные уравнения Вольтерры были введены Вито Вольтеррой , а затем изучены Траяном Лалеску в его диссертации 1908 года « Sur les équations de Volterra» , написанной под руководством Эмиля Пикара . В 1911 году Лалеску написал первую книгу по интегральным уравнениям.
Интегральные уравнения Вольтерра находят применение в демографии как интегральное уравнение Лотки , [2] исследование вязкоупругих материалов,в актуарной науке через уравнение возобновления , [3] и в механике жидкости для описания поведения потока вблизи границ конечного размера. [4] [5]
Преобразование уравнения Вольтерра первого рода во второй вид
[ редактировать ]Линейное уравнение Вольтерра первого рода всегда можно свести к линейному уравнению Вольтерра второго рода, если предположить, что . Взяв производную уравнения Вольтерра первого рода, получим: Разделив на дает: Определение и завершает преобразование уравнения первого рода в линейное уравнение Вольтерра второго рода.
Численное решение с использованием правила трапеций
[ редактировать ]Стандартным методом вычисления численного решения линейного уравнения Вольтерра второго рода является правило трапеций , которое для равноотстоящих подинтервалов дается: Предполагая одинаковое расстояние между подинтервалами, интегральная составляющая уравнения Вольтерра может быть аппроксимирована следующим образом: Определение , , и , имеем систему линейных уравнений: Это эквивалентно матричному уравнению: Для ядер с хорошим поведением хорошо работает правило трапеций.
Применение: Теория руин
[ редактировать ]Одной из областей, где появляются интегральные уравнения Вольтерра, является теория разорения , изучение риска неплатежеспособности в актуарной науке. Цель состоит в том, чтобы количественно оценить вероятность разорения. , где это первоначальный излишек и это время разрушения. В классической модели теории разорения чистая денежная позиция является функцией первоначального профицита, премий, полученных по ставке и исходящие претензии : где представляет собой процесс Пуассона для количества претензий с интенсивностью . В этих обстоятельствах вероятность разорения может быть представлена интегральным уравнением Вольтерра вида [6] : где – функция выживания распределения претензий.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Полянин Андрей Дмитриевич; Манжиров, Александр В. (2008). Справочник по интегральным уравнениям (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-1584885078 .
- ^ Инаба, Хисаши (2017). «Модель стабильной популяции». Возрастная динамика населения в демографии и эпидемиологии . Сингапур: Спрингер. стр. 1–74. дои : 10.1007/978-981-10-0188-8_1 . ISBN 978-981-10-0187-1 .
- ^ Бруннер, Герман (2017). Интегральные уравнения Вольтерра: введение в теорию и приложения . Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107098725 .
- ^ Дадди-Мусса-Идер, А.; Вильфан, А.; Голестанян Р. (6 апреля 2022 г.). «Диффузиофоретическое движение изотропной активной коллоидной частицы вблизи диска конечного размера, встроенного в плоскую границу раздела жидкость-жидкость». Журнал механики жидкости . 940 : А12. arXiv : 2109.14437 . дои : 10.1017/jfm.2022.232 .
- ^ Дадди-Мусса-Идер, А.; Лисицки, М.; Лёвен, Х. ; Мензель, AM (5 февраля 2020 г.). «Динамика композита микропловец-микротромбоциты». Физика жидкостей . 32 (2): 021902. arXiv : 2001.06646 . дои : 10.1063/1.5142054 .
- ^ «Конспекты лекций по теории риска» (PDF) . Школа математики, статистики и актуарной науки . Кентский университет. 20 февраля 2010 г. стр. 17–22.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Траян Лалеску, Введение в теорию интегральных уравнений. С предисловием Э. Пикард , Париж : А. Hermann et Fils , 1912. VII + 152 стр.
- «Уравнение Вольтерра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Интегральное уравнение Вольтерра первого рода» . Математический мир .
- Вайсштейн, Эрик В. «Интегральное уравнение Вольтерра второго рода» . Математический мир .
- Интегральные уравнения: точные решения на EqWorld: мир математических уравнений
- Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 19.2. Уравнения Вольтерра» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8 .