Интегральное уравнение Вольтерра

Не путать с Product Integral .

В математике представляют интегральные уравнения Вольтерра собой особый тип интегральных уравнений . Они разделены на две группы, называемые первым и вторым видом.

Линейное уравнение Вольтерра первого рода имеет вид

$f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds$

где f — заданная функция, а x — неизвестная функция, которую нужно решить. Линейное уравнение Вольтерра второго рода имеет вид

$x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds.$

В теории операторов и теории Фредгольма соответствующие операторы называются вольтерровыми операторами . Полезный метод решения таких уравнений, метод разложения Адомиана , принадлежит Джорджу Адомиану .

Линейное интегральное уравнение Вольтерра является уравнением свертки , если

$x(t)=f(t)+\int _{t_{0}}^{t}K(t-s)x(s)\,ds.$

Функция $K$ в интеграле называется ядром . Такие уравнения можно анализировать и решать с помощью методов преобразования Лапласа .

Для слабо сингулярного ядра вида $K(t,s)=(t^{2}-s^{2})^{-\alpha }$ с $0<\alpha <1$, интегральное уравнение Вольтерра первого рода удобно преобразовать в классическое интегральное уравнение Абеля.

Интегральные уравнения Вольтерры были введены Вито Вольтеррой , а затем изучены Траяном Лалеску в его диссертации 1908 года « Sur les équations de Volterra» , написанной под руководством Эмиля Пикара . В 1911 году Лалеску написал первую книгу по интегральным уравнениям.

Интегральные уравнения Вольтерра находят применение в демографии как интегральное уравнение Лотки , исследование вязкоупругих материалов,в актуарной науке через уравнение возобновления , и в механике жидкости для описания поведения потока вблизи границ конечного размера.

Преобразование уравнения Вольтерра первого рода во второй вид

Линейное уравнение Вольтерра первого рода всегда можно свести к линейному уравнению Вольтерра второго рода, если предположить, что $K(t,t)\neq 0$. Взяв производную уравнения Вольтерра первого рода, получим: $${df \over {dt}}=\int _{a}^{t}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds+K(t,t)x(t)$$Разделив на $K(t,t)$ дает: $$x(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}-\int _{a}^{t}{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds$$Определение ${\textstyle {\widetilde {f}}(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}}$ и ${\textstyle {\widetilde {K}}(t,s)=-{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}}$ завершает преобразование уравнения первого рода в линейное уравнение Вольтерра второго рода.

Численное решение с использованием правила трапеций

Стандартным методом вычисления численного решения линейного уравнения Вольтерра второго рода является правило трапеций , которое для равноотстоящих подинтервалов $\Delta x$ дается: $$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\Delta x \over {2}}\left[f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\right]$$Предполагая одинаковое расстояние между подинтервалами, интегральная составляющая уравнения Вольтерра может быть аппроксимирована следующим образом: $$\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)ds\approx {\Delta s \over {2}}\left[K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1})+\cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_{n})\right]$$Определение $x_{i}=x(s_{i})$, $f_{i}=f(t_{i})$, и $K_{ij}=K(t_{i},s_{j})$, имеем систему линейных уравнений: $${\begin{aligned}x_{0}&=f_{0}\\x_{1}&=f_{1}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{10}x_{0}+K_{11}x_{1}\right)\\x_{2}&=f_{2}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{20}x_{0}+2K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}\right)\\&\vdots \\x_{n}&=f_{n}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{n0}x_{0}+2K_{n1}x_{1}+\cdots +2K_{n,n-1}x_{n-1}+K_{nn}x_{n}\right)\end{aligned}}$$Это эквивалентно матричному уравнению: $$x=f+Mx\implies x=(I-M)^{-1}f$$Для ядер с хорошим поведением хорошо работает правило трапеций.

Применение: Теория руин

Одной из областей, где появляются интегральные уравнения Вольтерра, является теория разорения , изучение риска неплатежеспособности в актуарной науке. Цель состоит в том, чтобы количественно оценить вероятность разорения. $\psi (u)=\mathbb {P} [\tau (u)<\infty ]$, где $u$ это первоначальный излишек и $\tau (u)$ это время разрушения. В классической модели теории разорения чистая денежная позиция $X_{t}$ является функцией первоначального профицита, премий, полученных по ставке $c$и исходящие претензии $\xi$: $$X_{t}=u+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i},\quad t\geq 0$$где $N_{t}$ представляет собой процесс Пуассона для количества претензий с интенсивностью $\lambda$. В этих обстоятельствах вероятность разорения может быть представлена ​​интегральным уравнением Вольтерра вида : $$\psi (u)={\lambda \over {c}}\int _{u}^{\infty }S(x)dx+{\lambda \over {c}}\int _{0}^{u}\psi (u-x)S(x)dx$$где $S(\cdot )$ – функция выживания распределения претензий.

См. также

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Интегральное уравнение
• Интегро-дифференциальное уравнение

Дальнейшее чтение

• Траян Лалеску, Введение в теорию интегральных уравнений. С предисловием Э. Пикард , Париж : А. Hermann et Fils , 1912. VII + 152 стр.
• «Уравнение Вольтерра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Интегральное уравнение Вольтерра первого рода» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Интегральное уравнение Вольтерра второго рода» . Математический мир .
• Интегральные уравнения: точные решения на EqWorld: мир математических уравнений
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 19.2. Уравнения Вольтерра» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8 .

Внешние ссылки

• IntEQ: пакет Python для численного решения интегральных уравнений Вольтерра.