Jump to content

Интегральное уравнение Вольтерра

В математике представляют интегральные уравнения Вольтерра собой особый тип интегральных уравнений . [1] Они разделены на две группы, называемые первым и вторым видом.

Линейное уравнение Вольтерра первого рода имеет вид

где f — заданная функция, а x — неизвестная функция, которую нужно решить. Линейное уравнение Вольтерра второго рода имеет вид

В теории операторов и теории Фредгольма соответствующие операторы называются вольтерровыми операторами . Полезный метод решения таких уравнений, метод разложения Адомиана , принадлежит Джорджу Адомиану .

Линейное интегральное уравнение Вольтерра является уравнением свертки , если

Функция в интеграле называется ядром . Такие уравнения можно анализировать и решать с помощью методов преобразования Лапласа .

Для слабо сингулярного ядра вида с , интегральное уравнение Вольтерра первого рода удобно преобразовать в классическое интегральное уравнение Абеля.

Интегральные уравнения Вольтерры были введены Вито Вольтеррой , а затем изучены Траяном Лалеску в его диссертации 1908 года « Sur les équations de Volterra» , написанной под руководством Эмиля Пикара . В 1911 году Лалеску написал первую книгу по интегральным уравнениям.

Интегральные уравнения Вольтерра находят применение в демографии как интегральное уравнение Лотки , [2] исследование вязкоупругих материалов,в актуарной науке через уравнение возобновления , [3] и в механике жидкости для описания поведения потока вблизи границ конечного размера. [4] [5]

Преобразование уравнения Вольтерра первого рода во второй вид

[ редактировать ]

Линейное уравнение Вольтерра первого рода всегда можно свести к линейному уравнению Вольтерра второго рода, если предположить, что . Взяв производную уравнения Вольтерра первого рода, получим: Разделив на дает: Определение и завершает преобразование уравнения первого рода в линейное уравнение Вольтерра второго рода.

Численное решение с использованием правила трапеций

[ редактировать ]

Стандартным методом вычисления численного решения линейного уравнения Вольтерра второго рода является правило трапеций , которое для равноотстоящих подинтервалов дается: Предполагая одинаковое расстояние между подинтервалами, интегральная составляющая уравнения Вольтерра может быть аппроксимирована следующим образом: Определение , , и , имеем систему линейных уравнений: Это эквивалентно матричному уравнению: Для ядер с хорошим поведением хорошо работает правило трапеций.

Применение: Теория руин

[ редактировать ]

Одной из областей, где появляются интегральные уравнения Вольтерра, является теория разорения , изучение риска неплатежеспособности в актуарной науке. Цель состоит в том, чтобы количественно оценить вероятность разорения. , где это первоначальный излишек и это время разрушения. В классической модели теории разорения чистая денежная позиция является функцией первоначального профицита, премий, полученных по ставке и исходящие претензии : где представляет собой процесс Пуассона для количества претензий с интенсивностью . В этих обстоятельствах вероятность разорения может быть представлена ​​интегральным уравнением Вольтерра вида [6] : где функция выживания распределения претензий.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Полянин Андрей Дмитриевич; Манжиров, Александр В. (2008). Справочник по интегральным уравнениям (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл/CRC. ISBN  978-1584885078 .
  2. ^ Инаба, Хисаши (2017). «Модель стабильной популяции». Возрастная динамика населения в демографии и эпидемиологии . Сингапур: Спрингер. стр. 1–74. дои : 10.1007/978-981-10-0188-8_1 . ISBN  978-981-10-0187-1 .
  3. ^ Бруннер, Герман (2017). Интегральные уравнения Вольтерра: введение в теорию и приложения . Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1107098725 .
  4. ^ Дадди-Мусса-Идер, А.; Вильфан, А.; Голестанян Р. (6 апреля 2022 г.). «Диффузиофоретическое движение изотропной активной коллоидной частицы вблизи диска конечного размера, встроенного в плоскую границу раздела жидкость-жидкость». Журнал механики жидкости . 940 : А12. arXiv : 2109.14437 . дои : 10.1017/jfm.2022.232 .
  5. ^ Дадди-Мусса-Идер, А.; Лисицки, М.; Лёвен, Х. ; Мензель, AM (5 февраля 2020 г.). «Динамика композита микропловец-микротромбоциты». Физика жидкостей . 32 (2): 021902. arXiv : 2001.06646 . дои : 10.1063/1.5142054 .
  6. ^ «Конспекты лекций по теории риска» (PDF) . Школа математики, статистики и актуарной науки . Кентский университет. 20 февраля 2010 г. стр. 17–22.

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: aca2a428a65b3dd4754bd44cb09fab9a__1716754320
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ac/9a/aca2a428a65b3dd4754bd44cb09fab9a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Volterra integral equation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)