Метод разложения Адомиана

Метод разложения Адомиана (ADM) — полуаналитический метод решения обыкновенных и в частных производных нелинейных дифференциальных уравнений . Метод был разработан в 1970-1990-х годах Джорджем Адомяном , председателем Центра прикладной математики Университета Джорджии . В дальнейшем его можно расширить до стохастических систем с помощью интеграла Ито . Целью этого метода является создание единой теории решения уравнений в частных производных (УЧП); цель, которая была заменена более общей теорией метода гомотопического анализа . Важнейшим аспектом метода является использование «полиномов Адомиана», которые позволяют добиться сходимости решения нелинейной части уравнения без простой линеаризации системы. Эти полиномы математически обобщаются до ряда Маклорена относительно произвольного внешнего параметра; что дает методу решения большую гибкость, чем прямое разложение в ряд Тейлора .

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Метод Адомиана хорошо подходит для решения задач Коши — важного класса задач, который включает проблемы с начальными условиями .

Приложение к нелинейной системе первого порядка

Примером задачи начального условия для обыкновенного дифференциального уравнения является следующий:

$y^{\prime }(t)+y^{2}(t)=-1,$

$y(0)=0.$

Чтобы решить проблему, дифференциальный оператор высшей степени (обозначенный здесь как L ) помещается слева следующим образом:

$Ly=-1-y^{2},$

с L = d/d t и $L^{-1}=\int _{0}^{t}()$. Теперь предполагается, что решение представляет собой бесконечную серию вкладов:

$y=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots .$

Заменив в предыдущем выражении, получим:

$(y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )=y(0)+L^{-1}[-1-(y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )^{2}].$

Теперь мы отождествляем y ₀ с некоторым явным выражением справа, а y _i , i = 1, 2, 3, ... с некоторым выражением справа, содержащим члены более низкого порядка, чем i . Например:

${\begin{aligned}&y_{0}&=&\ y(0)+L^{-1}(-1)&=&-t\\&y_{1}&=&-L^{-1}(y_{0}^{2})=-L^{-1}(t^{2})&=&-t^{3}/3\\&y_{2}&=&-L^{-1}(2y_{0}y_{1})&=&-2t^{5}/15\\&y_{3}&=&-L^{-1}(y_{1}^{2}+2y_{0}y_{2})&=&-17t^{7}/315.\end{aligned}}$

Таким образом, любой вклад может быть явно рассчитан в любом порядке. Если мы остановимся на четырех первых членах, аппроксимант будет следующим:

${\begin{aligned}y&=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots \\&=-\left[t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {2}{15}}t^{5}+{\frac {17}{315}}t^{7}+\cdots \right]\end{aligned}}$

Приложение к уравнению Блазиуса

Вторым примером с более сложными граничными условиями является уравнение Блазиуса для течения в пограничном слое :

${\frac {\mathrm {d} ^{3}u}{\mathrm {d} x^{3}}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}=0$

При следующих условиях на границах:

${\begin{aligned}u(0)&=0\\u^{\prime }(0)&=0\\u^{\prime }(x)&\to 1,\qquad x\to \infty \end{aligned}}$

Линейные и нелинейные операторы теперь называются $L={\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}$ и $N={\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}$, соответственно. Тогда выражение принимает вид:

$Lu+Nu=0$

и решение в этом случае может быть выражено следующим простым образом:

$u=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-L^{-1}Nu$

где: $L^{-1}\xi (x)=\int dx\int \mathrm {d} x\int \mathrm {d} x\;\;\xi (x)$ Если:

${\begin{aligned}u&=u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}\\&=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N})\end{aligned}}$

и:

${\begin{aligned}u^{0}&={}\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2\\u^{1}&=-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{0}u^{0''})&=&-L^{-1}A_{0}\\u^{2}&=-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{1}u^{0''}+u^{0}u^{1''})&=&-L^{-1}A_{1}\\u^{3}&=-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{2}u^{0''}+u^{1}u^{1''}+u^{0}u^{2''})&=&-L^{-1}A_{2}\\&\cdots \end{aligned}}$

Полиномы Адомиана для линеаризации нелинейного члена можно получить систематически, используя следующее правило:

$A_{n}={\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}f(u(\lambda ))\mid _{\lambda =0},$

где: ${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}u(\lambda )\mid _{\lambda =0}=n!u_{n}$

Граничные условия должны применяться, как правило, в конце каждого приближения. В этом случае константы интегрирования необходимо сгруппировать в три итоговые независимые константы. Однако в нашем примере три константы с самого начала кажутся сгруппированными в форме, показанной в формальном решении выше. После применения двух первых граничных условий получаем так называемый ряд Блазиуса:

$u={\frac {\gamma }{2}}x^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{5}}{5!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{8}}{8!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{11}}{11!}}\right)+\cdots$

Чтобы получить γ, мы должны применить граничные условия в точке ∞, что можно сделать, записав ряд в виде аппроксимации Паде :

$f(z)=\sum _{n=0}^{L+M}c_{n}z^{n}={\frac {a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\cdots +b_{M}z^{M}}}$

где Л = М. ​Предел в $\infty$ этого L _/ b является _M. выражения

Если выбрать b ₀ = 1, M линейных уравнений для коэффициентов b получим :

$\left[{\begin{array}{cccc}c_{L-M+1}&c_{L-M+2}&\cdots &c_{L}\\c_{L-M+2}&c_{L-M+3}&\cdots &c_{L+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\c_{L}&c_{L+1}&\cdots &c_{L+M-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}b_{M}\\b_{M-1}\\\vdots \\b_{1}\end{array}}\right]=-\left[{\begin{array}{c}c_{L+1}\\c_{L+2}\\\vdots \\c_{L+M}\end{array}}\right]$

Затем мы получаем коэффициенты a с помощью следующей последовательности:

${\begin{aligned}a_{0}&=c_{0}\\a_{1}&=c_{1}+b_{1}c_{0}\\a_{2}&=c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0}\\&\cdots \\a_{L}&=c_{L}+\sum _{i=1}^{\min(L,m)}b_{i}c_{L-i}.\end{aligned}}$

В нашем примере:

$u'(x)=\gamma x-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{4}}{4!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{7}}{7!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{10}}{10!}}\right)$

Что при γ = 0,0408 становится:

$u'(x)={\frac {0.0204+0.0379\,z-0.0059\,z^{2}-0.00004575\,z^{3}+6.357\cdot 10^{-6}z^{4}-1.291\cdot 10^{-6}z^{5}}{1-0.1429\,z-0.0000232\,z^{2}+0.0008375\,z^{3}-0.0001558\,z^{4}-1.2849\cdot 10^{-6}z^{5}}},$

с лимитом:

$\lim _{x\to \infty }u'(x)=1.004.$

Что примерно равно 1 (из граничного условия (3)) с точностью 4/1000.

Уравнения в частных производных

Приложение к прямоугольной системе с нелинейностью

Одной из наиболее частых проблем в физических науках является получение решения (линейного или нелинейного) уравнения в частных производных, которое удовлетворяет набору функциональных значений на прямоугольной границе. Примером может служить следующая проблема:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-b{\frac {\partial u^{2}}{\partial x}}=\rho (x,y)\qquad (1)$

со следующими граничными условиями, определенными на прямоугольнике:

$u(x=0)=f_{1}(y)\quad {\text{and}}\quad u(x=x_{l})=f_{2}(y)\qquad {\text{(1-a)}}$

$u(y=-y_{l})=g_{1}(x)\quad {\text{and}}\quad u(y=y_{l})=g_{2}(x)\qquad {\text{(1-b)}}$

Этот тип уравнения в частных производных часто появляется в сочетании с другими в науке и технике . Например, в несжимаемой жидкости задаче о течении уравнения Навье – Стокса должны решаться параллельно с уравнением Пуассона для давления.

Декомпозиция системы

Для задачи (1) воспользуемся следующими обозначениями:

$L_{x}u+L_{y}u+Nu=\rho (x,y)\qquad (2)$

где L _x , L _y — операторы двойной производной, а N — нелинейный оператор.

Формальное решение (2):

$u=a(y)+b(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)-L_{x}^{-1}L_{y}u-L_{x}^{-1}Nu\qquad (3)$

Разложив теперь u как набор вкладов в решение, мы имеем:

$u=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$

Подставив в (3) и установив взаимно однозначное соответствие между вкладами в левой части и членами в правой части, получим следующую итерационную схему:

${\begin{aligned}u_{0}&=a_{0}(y)+b_{0}(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)\\u_{1}&=a_{1}(y)+b_{1}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{0}+b\int dxA_{0}\\&\cdots \\u_{n}&=a_{n}(y)+b_{n}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{n-1}+b\int dxA_{n-1}\quad 0<n<\infty \end{aligned}}$

где пара { a _n ( y ), bn ₍ ) y } является решением следующей системы уравнений:

${\begin{aligned}\varphi ^{n}(x=0)&=f_{1}(y)\\\varphi ^{n}(x=x_{l})&=f_{2}(y),\end{aligned}}$

здесь $\varphi ^{n}\equiv \sum _{i=0}^{n}u_{i}$ является n- аппроксимантом решения го порядка, а N u последовательно разлагается в полиномах Адомиана:

${\begin{aligned}Nu&=-b\partial _{x}u^{2}=-b\partial _{x}(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}(u_{0}u_{0}+2u_{0}u_{1}+u_{1}u_{1}+2u_{0}u_{2}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}\sum _{n=1}^{\infty }A(n-1),\end{aligned}}$

где $A_{n}=\sum _{\nu =1}^{n}C(\nu ,n)f^{(\nu )}(u_{0})$ и ж ( ты ) знак равно ты ² в примере (1).

Здесь C (ν, n ) — произведения (или сумма произведений) ν компонентов u, сумма индексов которых равна n , деленная на факториал количества повторяющихся индексов. Это всего лишь практическое правило — систематически упорядочивать декомпозицию, чтобы быть уверенным, что все возникающие комбинации рано или поздно будут использованы.

The $\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}$ равен сумме обобщенного ряда Тейлора относительно u ₀ .

Для примера (1) полиномами Адомиана являются:

${\begin{aligned}A_{0}&=u_{0}^{2}\\A_{1}&=2u_{0}u_{1}\\A_{2}&=u_{1}^{2}+2u_{0}u_{2}\\A_{3}&=2u_{1}u_{2}+2u_{0}u_{3}\\&\cdots \end{aligned}}$

другие возможные варианты выражения An _{Возможны и} .

Серийные решения

Шерруо установил, что члены ряда, полученные методом Адомиана, стремятся к нулю как 1/( mn )! если m — порядок старшего линейного дифференциального оператора и что $\lim _{n\to \infty }\varphi ^{n}=u$. С помощью этого метода решение можно найти путем систематического интегрирования по любому из двух направлений: в направлении x мы будем использовать выражение (3); в альтернативном направлении y мы бы использовали следующее выражение:

$u=c(x)+d(x)y+L_{y}^{-1}\rho (x,y)-L_{y}^{-1}L_{x}u-L_{y}^{-1}Nu$

где: c ( x ), d ( x ) получается из граничных условий при y = - y _l и y = y _l :

${\begin{aligned}u(y=-y_{l})&=g_{1}(x)\\u(y=y_{l})&=g_{2}(x)\end{aligned}}$

Если мы назовем два соответствующих решения x-частичным решением и y-частичным решением , одним из наиболее интересных последствий метода является то, что x-частное решение использует только два граничных условия (1-a) и y-частное решение. использует только условия (1-b).

Таким образом, один из двух наборов граничных функций { f ₁ , f ₂ } или { g ₁ , g ₂ } является избыточным, а это означает, что уравнение в частных производных с граничными условиями на прямоугольнике не может иметь произвольные граничные условия на границах , поскольку условия при x = x ₁ , x = x ₂ должны быть согласованы с условиями, налагаемыми при y = y ₁ и y = y ₂ .

Примером, поясняющим этот момент, является решение задачи Пуассона со следующими граничными условиями:

${\begin{aligned}u(x=0)&=f_{1}(y)=0\\u(x=x_{l})&=f_{2}(y)=0\end{aligned}}$

Используя метод Адомиана и символьный процессор (например, Mathematica или Maple ), легко получить аппроксимацию решения третьего порядка. Этот аппроксимант имеет ошибку менее 5×10. ⁻¹⁶ в любой точке, что можно доказать путем подстановки в исходной задаче и отображения абсолютного значения полученной невязки как функции ( x , y ).

Решение при y = -0,25 и y = 0,25 дается конкретными функциями, которыми в данном случае являются:

$g_{1}(x)=0.0520833\,x-0.347222\,x^{3}+9.25186\times 10^{-17}x^{4}+0.833333\,x^{5}-0.555556\,x^{6}$

и г ₂ ( Икс ) знак равно г ₁ ( Икс ) соответственно.

Если теперь выполнить (двойное) интегрирование в направлении y с использованием этих двух граничных функций, будет получено одно и то же решение, которое удовлетворяет условиям u ( x =0, y ) = 0 и u ( x =0,5, y ) = 0 и не может удовлетворить никакое другое условие на этих границах.

Некоторые люди удивлены этими результатами; кажется странным, что не все начально-краевые условия необходимо явно использовать для решения дифференциальной системы. Однако хорошо установлен факт, что любое эллиптическое уравнение имеет одно и только одно решение для любых функциональных условий на четырех сторонах прямоугольника при условии отсутствия разрыва на краях.Причина заблуждения в том, что ученые и инженеры обычно мыслят граничные условия в терминах слабой сходимости в гильбертовом пространстве (расстояние до граничной функции достаточно мало для практических целей). Напротив, задачи Коши требуют поточечной сходимости к заданной граничной функции и всем ее производным (и это довольно сильное условие!).В первом случае функция удовлетворяет граничному условию, когда область (или другое функциональное расстояние) между ней и истинной функцией, наложенной на границу, настолько мала, насколько это необходимо; однако для вторых функция должна стремиться к истинной функции, наложенной в любой и каждой точке интервала.

Комментируемая задача Пуассона не имеет решения ни для каких функциональных граничных условий f ₁ , f ₂ , g ₁ , g ₂ ; однако по заданным f ₁ , f ₂ всегда можно найти граничные функции g ₁ ^* , г ₂ ^* настолько близко к g ₁ , g _2, насколько это необходимо (в смысле слабой сходимости), для которых задача имеет решение. Это свойство позволяет решать задачи Пуассона и многие другие задачи с произвольными граничными условиями, но никогда для аналитических функций, точно заданных на границах.Читатель может убедиться в высокой чувствительности решений УЧП к небольшим изменениям граничных условий, решив эту задачу, интегрируя вдоль направления x , при этом граничные функции немного отличаются, хотя визуально и не различимы. Например, решение с граничными условиями:

$f_{1,2}(y)=0.00413682-0.0813801\,y^{2}+0.260416\,y^{4}-0.277778\,y^{6}$

при x = 0 и x = 0,5 и решение с граничными условиями:

${\begin{aligned}f_{1,2}(y)=0.00413683&-0.00040048\,y-0.0813802\,y^{2}+0.0101279\,y^{3}+0.260417\,y^{4}\\&-0.0694455\,y^{5}-0.277778\,y^{6}+0.15873\,y^{7}+\cdots \end{aligned}}$

при x = 0 и x = 0,5 образуют латеральные функции с разной знаковыпуклостью, хотя обе функции визуально не различимы.

Решения эллиптических задач и других уравнений в частных производных очень чувствительны к небольшим изменениям граничной функции, налагаемым при использовании только двух сторон. И эта чувствительность нелегко совместима с моделями, которые должны представлять реальные системы, которые описываются посредством измерений, содержащих экспериментальные ошибки, и обычно выражаются как начально-краевые задачи в гильбертовом пространстве.

Улучшения метода декомпозиции

Сообщалось как минимум о трех методах. для получения граничных функций g ₁ ^* , г ₂ ^* которые совместимы с любым латеральным набором наложенных условий { f ₁ , f ₂ }. Это позволяет с необходимой точностью найти аналитическое решение любой граничной задачи УЧП на замкнутом прямоугольнике, что позволяет решить широкий круг задач, с которыми не смог справиться стандартный метод Адомиана.

Первый из них возмущает две граничные функции, наложенные при x = 0 и x = x ₁ (условие 1-a) с помощью полинома N -го порядка по y : p ₁ , p ₂ таким образом, что: f ₁ ' = f ₁ + p ₁ , f ₂ ' = f ₂ + p ₂ , где норма двух функций возмущения меньше точности, необходимой на границах. Эти p ₁ , p ₂ зависят от набора полиномиальных коэффициентов c _i , i = 1, ..., N . Затем применяется метод Адомиана и на четырех границах получаются функции, которые зависят от набора c _i , i = 1, ..., N . Наконец, граничная функция F ( c ₁ , c ₂ , ..., c _N ) определяется как сумма этих четырех функций и расстояния между F ( c ₁ , c ₂ , ..., c _N ) и реальные граничные функции ((1-a) и (1-b)) минимизируются. Таким образом, задача свелась к глобальной минимизации функции F ( c ₁ , c ₂ , ..., c _N ), которая имеет глобальный минимум для некоторой комбинации параметров c _i , i = 1, , Н. ... Этот минимум можно найти с помощью генетического алгоритма или с помощью какого-либо другого метода оптимизации, например, предложенного Шерруо (1999).

Второй метод получения аналитических аппроксимаций начально-краевых задач состоит в сочетании разложения Адомиана со спектральными методами.

Наконец, третий метод, предложенный Гарсиа-Оливаресом, основан на наложении аналитических решений на четырех границах, но модификации исходного дифференциального оператора таким образом, чтобы он отличался от исходного только в узкой области, близкой к границам, и это заставляет решение удовлетворять точно аналитическим условиям на четырех границах.

Интегральные уравнения

Метод разложения Адомиана также можно применять к линейным и нелинейным интегральным уравнениям для получения решений. Это соответствует тому, что многие дифференциальные уравнения можно преобразовать в интегральные уравнения.

Метод разложения Адомиана

Метод разложения Адомиана для неоднородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода заключается в следующем:

Учитывая интегральное уравнение вида:

$u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u(t)dt$

Мы предполагаем, что можем выразить решение в виде ряда:

$u(x)=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)$

Подстановка формы ряда в интегральное уравнение дает:

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)(\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(t))dt$

Предполагая, что сумма абсолютно сходится к $u(x)$ мы можем целочисленно заменить сумму и интеграл следующим образом:

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}\sum _{n=0}^{\infty }K(x,t)u_{n}(t)dt$

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)=f(x)+\lambda \sum _{n=0}^{\infty }\int _{a}^{b}K(x,t)u_{n}(t)dt$

Разложение суммы в обе стороны дает:

$u_{0}(x)+u_{1}(x)+u_{2}(x)+...=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{0}(t)dt+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{1}(t)dt+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{2}(t)dt+...$

Следовательно, мы можем связать каждый $u_{i}(x)$ следующим рекуррентным образом:

$u_{0}(x)=f(x)$

$u_{i}(x)=\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{i-1}dt,\,\,\,\,\,\,\,\,i\geq 1$

что дает нам решение $u(x)$ в форме решения выше.

Пример

Учитывая интегральное уравнение Фредгольма:

$u(x)=\cos(x)+2x+\int _{0}^{\pi }xt\cdot u(t)dt$

С $f(x)=\cos(x)+2x$, мы можем установить:

$u_{0}(x)=\cos(x)+2x$

$u_{1}(x)=\int _{0}^{\pi }xt\cdot u_{0}dt=\int _{0}^{\pi }xt\cdot (cosx+2x)dt=(-2+{\frac {2\pi ^{3}}{3}})x$

$u_{2}(x)=\int _{0}^{\pi }xt\cdot u_{1}dt=\int _{0}^{\pi }xt\cdot (-2+{\frac {2\pi ^{3}}{3}})t\,dt=({\frac {-2\pi ^{3}}{3}}+{\frac {2\pi ^{6}}{9}})x$

...

Отсюда решение $u(x)$ может быть записано как:

$u(x)=\cos(x)+2x+(-2+{\frac {2\pi ^{3}}{3}})x+({\frac {-2\pi ^{3}}{3}}+{\frac {2\pi ^{6}}{9}})x+...$

Поскольку это телескопический ряд, мы видим, что каждое слагаемое после $cos(x)$ отменяется и может рассматриваться как «шум», Таким образом, $u(x)$ становится:

$u(x)=\cos(x)$

Галерея

См. также

• Порядок приближения