Метод гомотопического анализа

Два пунктирных пути, показанные выше, гомотопны относительно своих конечных точек. Анимация представляет собой одну из возможных гомотопий.

Метод гомотопического анализа ( МАМ ) — полуаналитический метод решения нелинейных обыкновенных / частных уравнений в производных . Метод гомотопического анализа использует концепцию гомотопии из топологии для создания решения сходящегося ряда для нелинейных систем. Это становится возможным благодаря использованию гомотопического ряда Маклорена для учета нелинейностей в системе.

HAM был впервые разработан в 1992 году Ляо Шицзюнем из Шанхайского университета Цзяотун в его докторской диссертации. и далее модифицировано в 1997 году ввести ненулевой вспомогательный параметр, называемый параметром контроля сходимости , c ₀ , для построения гомотопии дифференциальной системы в общей форме. Параметр управления сходимостью — это нефизическая переменная, которая обеспечивает простой способ проверки и обеспечения сходимости ряда решений. Способность HAM естественным образом демонстрировать сходимость решения ряда необычна для аналитических и полуаналитических подходов к нелинейным уравнениям в частных производных.

Характеристики

HAM отличается от других аналитических методов четырьмя важными аспектами. Во-первых, это метод разложения в ряд , не зависящий напрямую от малых или больших физических параметров. Таким образом, он применим не только для слабо, но и для сильно нелинейных задач, выходя за рамки некоторых ограничений, присущих стандартным методам возмущений . Во-вторых, HAM — это унифицированный метод для искусственного метода малого параметра Ляпунова , метода дельта-разложения, метода разложения Адомиана , и метод гомотопического возмущения . Большая общность метода часто обеспечивает сильную сходимость решения в более крупных пространственных областях и областях параметров. В-третьих, HAM обеспечивает превосходную гибкость в выражении решения и способах его явного получения. Это дает большую свободу выбора базисных функций искомого решения и соответствующего вспомогательного линейного оператора гомотопии. Наконец, в отличие от других методов аналитической аппроксимации, HAM предоставляет простой способ обеспечить сходимость ряда решений.

Метод гомотопического анализа также можно комбинировать с другими методами, используемыми в нелинейных дифференциальных уравнениях, такими как спектральные методы. и аппроксимации Паде . Кроме того, его можно комбинировать с вычислительными методами, такими как метод граничных элементов , чтобы линейный метод мог решать нелинейные системы. В отличие от численного метода продолжения гомотопии , метод гомотопического анализа представляет собой метод аналитической аппроксимации, а не метод дискретных вычислений. Кроме того, HAM использует параметр гомотопии только на теоретическом уровне, чтобы продемонстрировать, что нелинейную систему можно разбить на бесконечное множество линейных систем, которые решаются аналитически, в то время как методы продолжения требуют решения дискретной линейной системы при изменении параметра гомотопии. решить нелинейную систему.

Приложения

За последние двадцать лет HAM применялся для решения растущего числа нелинейных уравнений в обыкновенных и частных производных в науке, финансах и технике. Например, множественные стационарные резонансные волны на большой и конечной глубине воды. были найдены по критерию волнового резонанса произвольного числа бегущих гравитационных волн ; это согласовывалось с критерием Филлипса для четырех волн малой амплитуды. Кроме того, единая волновая модель, примененная к HAM, допускает не только традиционные плавные прогрессивные периодические/уединенные волны, но и прогрессивные уединенные волны с остроконечным гребнем на конечной глубине воды. Эта модель показывает, что пиковые уединенные волны являются непротиворечивыми решениями наряду с известными гладкими. Кроме того, HAM применялся для решения многих других нелинейных задач, таких как нелинейная теплопередача . предельный цикл нелинейных динамических систем, американский опцион пут , точное уравнение Навье–Стокса , ценообразование опционов в условиях стохастической волатильности , электрогидродинамические , потоки уравнение Пуассона –Больцмана для полупроводниковых приборов, и другие.

Краткое математическое описание

Изотопия кофейной чашки в пончик ( тор ).

Рассмотрим общее нелинейное дифференциальное уравнение

${\mathcal {N}}[u(x)]=0$,

где ${\mathcal {N}}$ является нелинейным оператором. Позволять ${\mathcal {L}}$ обозначают вспомогательный линейный оператор, u ₀ ( x ) - начальное предположение u ( x ) и c _{0 -} константу (называемую параметром контроля сходимости) соответственно. Используя параметр вложения q ∈ [0,1] из теории гомотопий, можно построить семейство уравнений:

$(1-q){\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=c_{0}\,q\,{\mathcal {N}}[U(x;q)],$

называемое уравнением деформации нулевого порядка, решение которого непрерывно меняется относительно параметра вложения q ∈ [0,1]. Это линейное уравнение

${\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=0,$

с известным начальным предположением U ( x ; 0) = u ₀ ( x ), когда q = 0, но эквивалентно исходному нелинейному уравнению ${\mathcal {N}}[u(x)]=0$, когда q = 1, т.е. U ( x ; 1) = u ( x )). Следовательно, при увеличении q от 0 до 1 решение U ( x ; q ) уравнения деформации нулевого порядка изменяется (или деформируется) от выбранного начального предположения ( _u0 x ) до решения u ( x ) рассматриваемого уравнения. нелинейное уравнение.

Разлагая U ( x ; q ) в ряд Тейлора относительно q = 0, мы получаем гомотопический ряд Маклорена

$U(x;q)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x)\,q^{m}.$

Предполагая, что так называемый параметр контроля сходимости c ₀ уравнения деформации нулевого порядка выбран правильно и приведенный выше ряд сходится при q = 1, мы имеем решение гомотопического ряда

$u(x)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x).$

Из уравнения деформации нулевого порядка можно напрямую вывести основное um _{уравнение} ( x )

${\mathcal {L}}[u_{m}(x)-\chi _{m}u_{m-1}(x)]=c_{0}\,R_{m}[u_{0},u_{1},\ldots ,u_{m-1}],$

позвонил м ^й уравнение деформации -порядка, где $\chi _{1}=0$ и $\chi _{k}=1$ для k > 1, а правая часть R _m зависит только от известных результатов − ₁ и может _быть легко получена _{u 0 , u 1 , ..., um с} помощью программного обеспечения компьютерной алгебры. Таким образом, исходное нелинейное уравнение преобразуется в бесконечное число линейных, но без предположения о каких-либо малых/больших физических параметрах.

Поскольку HAM основан на гомотопии, у человека есть большая свобода выбора начального предположения u ₀ ( x ), вспомогательного линейного оператора ${\mathcal {L}}$и параметр управления сходимостью c ₀ в уравнении деформации нулевого порядка. Таким образом, HAM предоставляет математику свободу выбора типа уравнения деформации высокого порядка и базовых функций его решения. Оптимальное значение параметра управления сходимостью c ₀ определяется минимумом квадрата остаточной ошибки основных уравнений и/или граничных условий после решения общей формы для выбранного начального предположения и линейного оператора. Таким образом, параметр контроля сходимости c ₀ представляет собой простой способ гарантировать сходимость решения гомотопического ряда и отличает HAM от других методов аналитической аппроксимации. В целом метод дает полезное обобщение понятия гомотопии.

HAM и компьютерная алгебра

HAM — это метод аналитической аппроксимации, разработанный для компьютерной эпохи с целью «вычислений с использованием функций, а не чисел». В сочетании с системой компьютерной алгебры, такой как Mathematica или Maple , можно получить аналитические аппроксимации сильно нелинейной задачи до произвольно высокого порядка с помощью HAM всего за несколько секунд. Вдохновленный недавними успешными применениями HAM в различных областях, в сети появился пакет Mathematica, основанный на HAM, под названием BVPh, предназначенный для решения нелинейных краевых задач [4] . BVPh — это пакет решателей для сильно нелинейных ОДУ с особенностями, множественными решениями и многоточечными граничными условиями на конечном или бесконечном интервале, а также включает поддержку определенных типов нелинейных УЧП. Другой код Mathematica на основе HAM, APOh, был создан для решения явной аналитической аппроксимации оптимальной границы исполнения американского пут-опциона, который также доступен в Интернете [5] .

Анализ частотной характеристики нелинейных генераторов

Недавно сообщалось, что HAM полезен для получения аналитических решений нелинейных уравнений частотной характеристики. Такие решения способны фиксировать различные нелинейные поведения, такие как поведение осциллятора типа ужесточения, смягчения или смешанное поведение. Эти аналитические уравнения также полезны для прогнозирования хаоса в нелинейных системах.

Внешние ссылки

• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm