Стохастическая волатильность

См. также Волатильность (финансы) .

В статистике модели стохастической волатильности — это модели, в которых дисперсия сама случайного процесса по себе распределяется случайным образом. Они используются в области математических финансов для оценки производных ценных бумаг , таких как опционы . Название происходит от того, что модели рассматривают волатильность базовой ценной бумаги как случайный процесс , управляемый переменными состояния, такими как уровень цен базовой ценной бумаги, тенденция волатильности возвращаться к некоторому долгосрочному среднему значению дисперсия и среди прочего, сам процесс волатильности.

Модели стохастической волатильности являются одним из подходов к устранению недостатка модели Блэка – Шоулза . В частности, модели, основанные на модели Блэка-Шоулза, предполагают, что базовая волатильность постоянна на протяжении всего срока действия производного инструмента и на нее не влияют изменения уровня цен базовой ценной бумаги. Однако эти модели не могут объяснить давно наблюдаемые особенности поверхности подразумеваемой волатильности, такие как улыбка и перекос волатильности, которые указывают на то, что подразумеваемая волатильность действительно имеет тенденцию меняться в зависимости от цены исполнения и срока действия. Если предположить, что волатильность базовой цены является случайным процессом, а не константой, становится возможным более точно моделировать деривативы.

Золотую середину между голой моделью Блэка-Шоулза и моделями стохастической волатильности занимают модели локальной волатильности . В этих моделях базовая волатильность не несет в себе какой-либо новой случайности, но и не является постоянной. В моделях локальной волатильности волатильность является нетривиальной функцией базового актива без какой-либо дополнительной случайности. Согласно этому определению, такие модели, как постоянная эластичность дисперсии, будут моделями локальной волатильности, хотя их иногда классифицируют как модели стохастической волатильности. В некоторых случаях классификация может быть немного неоднозначной.

Ранняя история стохастической волатильности имеет несколько корней (то есть стохастический процесс, ценообразование опционов и эконометрика). Она рассматривается в главе 1 книги Нила Шепарда (2005) «Стохастическая волатильность», Oxford University Press.

Базовая модель

Исходя из подхода постоянной волатильности, предположим, что цена базового актива производного инструмента соответствует стандартной модели геометрического броуновского движения :

$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,$

где $\mu \,$ это постоянный дрейф (т.е. ожидаемая доходность) цены ценной бумаги $S_{t}\,$, $\sigma \,$ постоянная волатильность, и $dW_{t}\,$ представляет собой стандартный винеровский процесс с нулевым средним значением и единичной нормой дисперсии . Явное решение этого стохастического дифференциального уравнения имеет вид

$S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.$

Оценщик максимального правдоподобия для оценки постоянной волатильности $\sigma \,$ по заданным ценам акций $S_{t}\,$ в разное время $t_{i}\,$ является

${\begin{aligned}{\widehat {\sigma }}^{2}&=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(\ln S_{t_{i}}-\ln S_{t_{i-1}})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)-{\frac {1}{n}}{\frac {(\ln S_{t_{n}}-\ln S_{t_{0}})^{2}}{t_{n}-t_{0}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\left({\frac {\ln {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}}{t_{i}-t_{i-1}}}-{\frac {\ln {\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{0}}}}}{t_{n}-t_{0}}}\right)^{2};\end{aligned}}$

его ожидаемое значение равно $\operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.$

Эта базовая модель с постоянной волатильностью. $\sigma \,$ является отправной точкой для нестохастических моделей волатильности, таких как модель Блэка-Шоулза и модель Кокса-Росса-Рубинштейна .

Для модели стохастической волатильности замените постоянную волатильность $\sigma$ с функцией $\nu _{t}$ который моделирует дисперсию $S_{t}$. Эта функция дисперсии также моделируется как броуновское движение, а форма $\nu _{t}$ зависит от конкретной исследуемой модели СВ.

$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}\,$

$d\nu _{t}=\alpha _{\nu ,t}\,dt+\beta _{\nu ,t}\,dB_{t}\,$

где $\alpha _{\nu ,t}$ и $\beta _{\nu ,t}$ некоторые функции $\nu$, и $dB_{t}$ - еще один стандартный гауссиан, который коррелирует с $dW_{t}$ с постоянным коэффициентом корреляции $\rho$.

Модель Хестона

Основная статья: Модель Хестона

Популярная модель Хестона — это широко используемая модель SV, в которой случайность процесса дисперсии изменяется как квадратный корень дисперсии. В этом случае дифференциальное уравнение дисперсии принимает вид:

$d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dB_{t}\,$

где $\omega$ — средняя долгосрочная дисперсия, $\theta$ - это скорость, с которой дисперсия возвращается к своему долгосрочному среднему значению, $\xi$ - волатильность процесса дисперсии, и $dB_{t}$ это как $dW_{t}$, гауссиан с нулевым средним значением и $dt$ дисперсия. Однако, $dW_{t}$ и $dB_{t}$ коррелируют с постоянным корреляции значением $\rho$.

Другими словами, модель Heston SV предполагает, что дисперсия — это случайный процесс, который

1. имеет тенденцию возвращаться к долгосрочному среднему значению $\omega$ по ставке $\theta$,
2. демонстрирует волатильность, пропорциональную квадратному корню из его уровня
3. и чей источник случайности коррелирует (с корреляцией $\rho$) со случайностью ценовых процессов базового актива.

Некоторая параметризация поверхности волатильности, например «SVI», основаны на модели Хестона.

Модель CEV

Основная статья: Модель постоянной эластичности отклонения

Модель CEV описывает взаимосвязь между волатильностью и ценой, вводя стохастическую волатильность:

$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}^{\,\gamma }\,dW_{t}$

Концептуально, на некоторых рынках волатильность возрастает при росте цен (например, на сырьевых товарах), поэтому $\gamma >1$. На других рынках волатильность имеет тенденцию расти по мере падения цен, что моделируется с помощью $\gamma <1$.

Некоторые утверждают, что, поскольку модель CEV не включает в себя собственный стохастический процесс волатильности, она на самом деле не является моделью стохастической волатильности. Вместо этого они называют это моделью локальной волатильности .

Модель волатильности SABR

Основная статья: Модель волатильности SABR

Модель SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho), представленная Hagan et al. описывает одиночный форвард $F$ (связанный с любым активом, например, индексом, процентной ставкой, облигацией, валютой или акциями) в условиях стохастической волатильности $\sigma$:

$dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }\,dW_{t},$

$d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},$

Начальные значения $F_{0}$ и $\sigma _{0}$ — текущая форвардная цена и волатильность, тогда как $W_{t}$ и $Z_{t}$ представляют собой два коррелированных винеровских процесса (т.е. броуновские движения) с коэффициентом корреляции $-1<\rho <1$. Постоянные параметры $\beta ,\;\alpha$ таковы, что $0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0$.

Главной особенностью модели SABR является способность воспроизводить эффект волатильности .

Модель GARCH

Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности ( GARCH ) — еще одна популярная модель для оценки стохастической волатильности. Предполагается, что случайность процесса дисперсии зависит от дисперсии, в отличие от квадратного корня дисперсии, как в модели Хестона. Стандартная модель GARCH(1,1) имеет следующую форму для непрерывного дифференциала дисперсии:

$d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}\,dB_{t}\,$

Модель GARCH была расширена за счет многочисленных вариантов, включая NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH, Power GARCH, Component GARCH и т. д. Однако, строго говоря, условные волатильности моделей GARCH не являются стохастическими, поскольку во времени t волатильность полностью предопределена (детерминирована) с учетом предыдущих значений.

Модель 3/2

Модель 3/2 аналогична модели Хестона, но предполагает, что случайность процесса дисперсии меняется в зависимости от $\nu _{t}^{3/2}$. Дифференциал дисперсии имеет вид:

$d\nu _{t}=\nu _{t}(\omega -\theta \nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}^{3/2}\,dB_{t}.\,$

Однако значение параметров отличается от модели Хестона. В этой модели и возвращение к среднему значению, и волатильность параметров дисперсии являются стохастическими величинами, определяемыми формулой $\theta \nu _{t}$ и $\xi \nu _{t}$ соответственно.

модели

Используя оценку волатильности на основе высокочастотных данных, гладкость процесса волатильности была поставлена ​​под сомнение. Было обнаружено, что логарифмическая волатильность ведет себя как дробное броуновское движение с показателем Херста порядка. $H=0.1$, в любой разумный период времени. Это привело к принятию модели дробной стохастической волатильности (FSV). что приводит к общему грубому FSV (RFSV), где «грубое» означает подчеркнуть, что $H<1/2$. Модель RFSV согласуется с данными временных рядов, что позволяет улучшить прогнозы реализованной волатильности.

Калибровка и оценка

После выбора конкретной модели SV ее необходимо откалибровать по существующим рыночным данным. Калибровка — это процесс определения набора параметров модели, которые с наибольшей вероятностью соответствуют наблюдаемым данным. Одним из популярных методов является использование оценки максимального правдоподобия (MLE). Например, в модели Хестона набор параметров модели $\Psi _{0}=\{\omega ,\theta ,\xi ,\rho \}\,$ можно оценить, применяя алгоритм MLE, такой как направленного набора метод Пауэлла [1], к наблюдениям за историческими ценами базовых ценных бумаг.

В этом случае вы начинаете с оценки $\Psi _{0}\,$, вычислите остаточные ошибки при применении исторических данных о ценах к полученной модели, а затем скорректируйте $\Psi \,$ попытаться минимизировать эти ошибки. После выполнения калибровки стандартной практикой является периодическая повторная калибровка модели.

Альтернативой калибровке является статистическая оценка, позволяющая учитывать неопределенность параметров. Было предложено и реализовано множество частотных и байесовских методов, обычно для подмножества вышеупомянутых моделей. В следующем списке содержатся пакеты расширений для статистического программного обеспечения с открытым исходным кодом R , специально разработанные для оценки гетероскедастичности. Первые три предназначены для моделей типа GARCH с детерминированной волатильностью; четвертый посвящен стохастической оценке волатильности.

• Rugarch : ARFIMA, in-mean, внешние регрессоры и различные варианты GARCH, с методами подгонки, прогнозирования, моделирования, вывода и построения графиков.
• fGarch : часть среды Rmetrics для преподавания «Финансовой инженерии и вычислительных финансов».
• bayesGARCH : Байесовская оценка модели GARCH(1,1) с t-новациями Стьюдента.
• stochvol : эффективные алгоритмы для полностью байесовской оценки моделей стохастической волатильности (SV) с помощью методов Монте-Карло цепи Маркова (MCMC).

Со временем было разработано множество численных методов, которые позволили оценить финансовые активы, такие как опционы, с помощью моделей стохастической волатильности. Недавно разработанное приложение — модель локальной стохастической волатильности. Эта локальная модель стохастической волатильности дает лучшие результаты при оценке новых финансовых активов, таких как опционы на Форекс.

Существуют также альтернативные библиотеки статистических оценок на других языках, таких как Python:

• PyFlux включает поддержку байесовского и классического вывода для моделей GARCH и beta-t-EGARCH.

См. также

• Модель Блэка – Шоулза
• Модель Хестона
• Локальная волатильность
• Марковский переключающий мультифрактал
• Риск-нейтральная мера
• Модель волатильности SABR
• Стохастический скачок волатильности
• Подчиненный
• Волатильность
• Кластеризация волатильности
• Неустойчивость, неопределенность, сложность и двусмысленность

Источники

• Стохастическая волатильность и анализ средней дисперсии , Ан Хёнсок, Пол Уилмотт, (2006).
• Решение в закрытой форме для опционов со стохастической волатильностью , С. Л. Хестон, (1993).
• Арбитраж внутренней волатильности , Алиреза Джавахери, (2005).
• Ускорение калибровки моделей стохастической волатильности , Килин, Фиодар (2006).