Методы конечных разностей для ценообразования опционов

Методы конечных разностей для оценки опционов — это численные методы, используемые в математических финансах для оценки опционов . ^[1] Методы конечных разностей были впервые применены к ценообразованию опционов Эдуардо Шварцем в 1977 году. ^[2]^[3]^: 180

В общем, методы конечных разностей используются для оценки опционов путем аппроксимации дифференциального уравнения (непрерывного времени) , которое описывает, как цена опциона меняется с течением времени, с помощью набора разностных уравнений (дискретного времени) . Затем дискретно-разностные уравнения могут быть решены итеративно для расчета цены опциона. ^[4] Такой подход возникает из-за того, что эволюцию стоимости опциона можно смоделировать с помощью уравнения в частных производных (УЧП) как функцию (по крайней мере) времени и цены базового актива; см., например, PDE Блэка-Шоулза . Приняв эту форму, можно вывести конечно-разностную модель и получить оценку. ^[2]

Этот подход можно использовать для решения проблем ценообразования производных инструментов, которые в целом имеют тот же уровень сложности, что и проблемы, решаемые древовидными подходами . ^[1]

Метод [ править ]

Как указано выше, PDE выражается в дискретизированной форме с использованием конечных разностей , а затем эволюция цены опциона моделируется с использованием решетки с соответствующими размерностями : время проходит от 0 до погашения; и цена изменяется от 0 до «высокого» значения, так что опцион находится глубоко в деньгах или вне денег . Тогда опцион оценивается следующим образом: ^[5]

Сроки погашения — это просто разница между ценой исполнения опциона и стоимостью базового актива в каждой точке (для опциона «колл», например, $C(S,T)=max\{S-K,0\}$ ).
Значения на границах , т. е. в каждый более ранний момент, когда спот находится на самом высоком или нулевом уровне, устанавливаются на основе денежности или арбитражных границ цен опционов (для колла, $C(0,t)=0$ для всех т и $C(S,t)=S-Ke^{-r(T-t)}$ как $S\rightarrow \infty$ ).
Значения в других точках решетки вычисляются рекурсивно (итеративно), начиная с временного шага, предшествующего сроку погашения, и заканчивая моментом времени = 0. Здесь используется такой метод, как Крэнк-Николсон , или явный метод :

PDE дискретизируется в соответствии с выбранным методом, так что значение в каждой точке решетки задается как функция значения в последующих и соседних точках; см. Трафарет (численный анализ) ;
затем значение в каждой точке находится с использованием рассматриваемого метода; работая назад во времени от срока погашения и внутрь от граничных цен.

4. Стоимость опциона сегодня, когда базовый актив находится по спотовой цене (или в любое другое время/цена), затем определяется путем интерполяции .

Приложение [ править ]

Как указано выше, эти методы могут решать проблемы ценообразования производных инструментов, которые в целом имеют тот же уровень сложности, что и проблемы, решаемые древовидными подходами . ^[1] но, учитывая их относительную сложность, обычно используются только тогда, когда другие подходы не подходят; Примером здесь является изменение процентных ставок и / или дивидендной политики, привязанной ко времени . В то же время, как и древовидные методы, этот подход ограничен с точки зрения количества базовых переменных, а для задач с несколькими измерениями обычно методы Монте-Карло для ценообразования опционов . предпочтительны ^[3]^: 182 Обратите внимание, что при применении стандартных допущений явный метод включает в себя методы биномиального и триномиального дерева . ^[6] Таким образом, методы на основе дерева, соответствующим образом параметризованные, являются частным случаем явного метода конечных разностей. ^[7]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Халл, Джон К. (2002). Опционы, фьючерсы и другие деривативы (5-е изд.). Прентис Холл . ISBN 978-0-13-009056-0 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шварц, Э. (январь 1977 г.). «Оценка варрантов: внедрение нового подхода» . Журнал финансовой экономики . 4 : 79–94. дои : 10.1016/0304-405X(77)90037-X .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бойл, Фелим ; Фейдлим Бойл (2001). Деривативы: инструменты, изменившие финансы . Публикации о рисках. ISBN 978-1899332885 .
^ Фил Годдард (Северная Дакота). Оценка опционов – методы конечных разностей
^ Уилмотт, П.; Хауисон, С.; Дьюинн, Дж. (1995). Математика производных финансовых инструментов: введение для студентов . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-49789-3 .
^ Бреннан, М.; Шварц, Э. (сентябрь 1978 г.). «Методы конечных разностей и скачкообразные процессы, возникающие при оценке условных претензий: синтез». Журнал финансового и количественного анализа . 13 (3): 461–474. дои : 10.2307/2330152 . JSTOR 2330152 . S2CID 250121477 .
^ Рубинштейн, М. (2000). «О связи между биномиальными и триномиальными моделями ценообразования опционов» . Журнал деривативов . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . дои : 10.3905/jod.2000.319149 . S2CID 11743572 . Архивировано из оригинала 22 июня 2007 года.

Внешние ссылки [ править ]

Оценка опционов с использованием методов конечных разностей. Архивировано 20 июля 2010 г. в Wayback Machine , профессор Дон М. Ченс, Университет штата Луизиана.
Подход конечных разностей к ценообразованию опционов (включая код Matlab ); Численное решение уравнения Блэка–Шоулза , Том Коулман, Корнельский университет
Оценка опционов – Методы конечных разностей , доктор Фил Годдард
Численное решение уравнений PDE: алгоритм Кранка-Николсона , профессор Р. Джонс, Университет Саймона Фрейзера
Численные схемы вариантов ценообразования , профессор Юэ Куэн Квок, Гонконгский университет науки и технологий
Введение в численное решение уравнений с частными производными в финансах , Клаус Мунк, Орхусский университет
Численные методы оценки производных финансовых инструментов. Архивировано 5 октября 2011 г. в Wayback Machine , DB Ntwiga, Университет Западного Кейпа.
Метод конечных разностей , Катя Роча, Институт прикладных экономических исследований
Аналитические финансы: методы конечных разностей , Ян Рёман, Университет Мелардален

[JHull-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Халл, Джон К. (2002). Опционы, фьючерсы и другие деривативы (5-е изд.). Прентис Холл . ISBN 978-0-13-009056-0 .

[Schwartz-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шварц, Э. (январь 1977 г.). «Оценка варрантов: внедрение нового подхода» . Журнал финансовой экономики . 4 : 79–94. дои : 10.1016/0304-405X(77)90037-X .

[Boyle-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бойл, Фелим ; Фейдлим Бойл (2001). Деривативы: инструменты, изменившие финансы . Публикации о рисках. ISBN 978-1899332885 .

[Goddard-4] Фил Годдард (Северная Дакота). Оценка опционов – методы конечных разностей

[5] Уилмотт, П.; Хауисон, С.; Дьюинн, Дж. (1995). Математика производных финансовых инструментов: введение для студентов . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-49789-3 .

[6] Бреннан, М.; Шварц, Э. (сентябрь 1978 г.). «Методы конечных разностей и скачкообразные процессы, возникающие при оценке условных претензий: синтез». Журнал финансового и количественного анализа . 13 (3): 461–474. дои : 10.2307/2330152 . JSTOR 2330152 . S2CID 250121477 .

[7] Рубинштейн, М. (2000). «О связи между биномиальными и триномиальными моделями ценообразования опционов» . Журнал деривативов . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . дои : 10.3905/jod.2000.319149 . S2CID 11743572 . Архивировано из оригинала 22 июня 2007 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]