Опция ретроспективного анализа

Опционы ретроспективного анализа , в терминологии финансов , представляют собой разновидность экзотического опциона с зависимостью от пути, среди многих других видов опционов . Выплата зависит от оптимальной (максимальной или минимальной) цены базового актива в течение срока действия опциона. Опция позволяет держателю «оглянуться назад» во времени, чтобы определить размер выплаты. Существует два типа вариантов ретроспективного анализа: с плавающим страйком и с фиксированным страйком.

Опция ретроспективного анализа с плавающим страйком

Как следует из названия, цена исполнения опциона является плавающей и определяется при наступлении срока погашения. Плавающий страйк — это оптимальное значение цены базового актива в течение срока действия опциона. Выплата представляет собой максимальную разницу между ценой рыночного актива при погашении и плавающей ценой исполнения. Для опциона «колл» цена исполнения фиксируется на уровне самой низкой цены актива в течение срока действия опциона, а для опциона «пут» — на уровне самой высокой цены актива. Обратите внимание, что эти опционы на самом деле не являются опционами, поскольку их владелец всегда будет исполнять их. Фактически, опцион никогда не бывает «вне денег», что делает его более дорогим, чем стандартный опцион. Функции выигрыша для ретроколла и ретроспективного опциона соответственно определяются следующим образом:

$LC_{float}=\max(S_{T}-S_{min},0)=S_{T}-S_{min},~~{\text{and}}~~LP_{float}=\max(S_{max}-S_{T},0)=S_{max}-S_{T},$

где $S_{max}$ максимальная цена актива в течение срока действия опциона, $S_{min}$ - минимальная цена актива в течение срока действия опциона, и $S_{T}$ цена базового актива при погашении $T$.

Вариант ретроспективного анализа с фиксированным страйком

Что касается стандартных европейских опционов , цена исполнения опциона фиксирована. Разница в том, что опцион не исполняется по цене на момент погашения: выигрыш представляет собой максимальную разницу между оптимальной ценой базового актива и ценой исполнения. В случае опциона колл держатель решает исполнить опцион в тот момент, когда цена базового актива достигает самого высокого уровня. В случае опциона пут держатель выбирает исполнение по самой низкой цене базового актива. Функции выигрыша для ретроколла и ретроспективного опциона соответственно определяются следующим образом:

$LC_{fix}=\max(S_{max}-K,0),~~{\text{and}}~~LP_{fix}=\max(K-S_{min},0),$

где $S_{max}$ максимальная цена актива в течение срока действия опциона, $S_{min}$ - минимальная цена актива в течение срока действия опциона, и $K$ это страйк-цена.

Безарбитражная цена ретроспективных опционов с плавающим страйком

Используя модель Блэка-Шоулза и ее обозначения, мы можем оценить европейские ретроспективные опционы с плавающим страйком. Метод ценообразования гораздо сложнее, чем для стандартных европейских вариантов, и его можно найти в Musiela . Предположим, что существует постоянно начисляемая безрисковая процентная ставка. $r>0$ и постоянная волатильность акций $\sigma >0$. Предположим, что время до погашения равно $T>0$, и что мы определим цену опциона вовремя $t<T$, хотя жизнь опциона началась в нулевой момент времени. Определять $\tau =T-t$. Наконец, установите это

$M=\max _{0\leq u\leq t}S_{u},~~m=\min _{0\leq u\leq t}S_{u}{\text{ and }}S_{t}=S.$

Тогда цена ретроспективного опциона колл с плавающим страйком определяется следующим образом:

$LC_{t}=S\Phi (a_{1}(S,m))-me^{-r\tau }\Phi (a_{2}(S,m))-{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (-a_{1}(S,m))-e^{-r\tau }(m/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (-a_{3}(S,m))),$

где

$a_{1}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}$

$a_{2}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-\sigma {\sqrt {\tau }}$

$a_{3}(S,H)={\frac {\ln(S/H)-(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-{\frac {2r{\sqrt {\tau }}}{\sigma }},{\text{ with }}H>0,S>0,$

и где $\Phi$ — стандартная нормальная кумулятивная функция распределения , $\Phi (a)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{a}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx$.

Аналогично, цена ретроспективного пут-опциона с плавающим страйком определяется по формуле:

$LP_{t}=-S\Phi (-a_{1}(S,M))+Me^{-r\tau }\Phi (-a_{2}(S,M))+{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (a_{1}(S,M))-e^{-r\tau }(M/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (a_{3}(S,M))).$

Частичные варианты ретроспективного анализа

Частичные ретро-опционы — это подкласс ретро-опционов с той же структурой выплат, но с целью снижения справедливой цены. Один из способов — линейно масштабировать справедливую цену с постоянной $\lambda$, где $0<\lambda <1$. Таким образом, выигрыш составит:

$\lambda (\max\{S_{i}\}_{1}^{T}-S_{T})$

Выбор конкретных дат — это более сложный способ создания частичных параметров ретроспективного анализа и других частичных параметров, зависящих от пути. Принцип заключается в выборе подмножества дат мониторинга, чтобы условия ретроспективного анализа были менее строгими и, следовательно, снижали премию. Примеры включают вариант частичного ретроспективного анализа, предложенный Хейненом и Кэт, и вариант ретроспективного анализа при амнезии, предложенный Чангом и Ли. Дискретные частичные опционы, зависящие от пути, переоценены при непрерывных предположениях; их ценообразование является сложным и обычно производится с использованием численных методов.