Уравнение Блэка – Шоулза

В математических финансах уравнение Блэка-Шоулза , также называемое уравнением Блэка-Шоулза-Мертона , представляет собой уравнение в частных производных (PDE), управляющее эволюцией цен на деривативы в соответствии с моделью Блэка-Шоулза . ^{[ 1 ]} В широком смысле этот термин может относиться к аналогичному PDE, который может быть получен для множества вариантов или, в более общем смысле, к производным .

Моделирование геометрических броуновских движений с параметрами из рыночных данных

Рассмотрим акции, не приносящие дивидендов. Теперь создайте любую производную, имеющую фиксированное время погашения. $T$ в будущем и при созревании это принесет плоды $K(S_{T})$ это зависит от стоимости акций в данный момент (например, европейских опционов колл или пут). Тогда цена дериватива удовлетворяет

{\begin{cases}{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0\\V(T,s)=K(s)\quad \forall s\end{cases}}

где $V(t,S)$ — цена опциона как функция цены акции S и времени t , r — безрисковая процентная ставка, и $\sigma$ это волатильность акции.

Ключевая финансовая идея, лежащая в основе уравнения, заключается в том, что в соответствии с модельным предположением о свободном рынке можно идеально хеджировать опцион, покупая и продавая базовый актив правильным способом и, следовательно, «устраняя риск». Это хеджирование, в свою очередь, подразумевает, что для опциона существует только одна правильная цена, определяемая формулой Блэка-Шоулза .

Финансовая интерпретация

Уравнение имеет конкретную интерпретацию, которая часто используется практиками и является основой для общего вывода, приведенного в следующем подразделе. Уравнение можно переписать в виде:

{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}

Левая часть состоит из термина «затухание во времени», изменения значения производной по отношению ко времени, называемого тета , и термина, включающего вторую пространственную производную гамму , выпуклость значения производной по отношению к основному значению. Правая часть представляет собой безрисковый доход от длинной позиции по деривативу и короткой позиции, состоящей из ${\textstyle {\partial V}/{\partial S}}$ доли базового актива.

Идея Блэка и Скоулза заключалась в том, что портфель, представленный правой частью, безрисков: таким образом, уравнение говорит, что безрисковая доходность за любой бесконечно малый интервал времени может быть выражена как сумма теты и члена, включающего гамму. Для опциона тета обычно имеет отрицательное значение, отражая потерю стоимости из-за меньшего количества времени для исполнения опциона (для европейского опциона колл на базовый актив без дивидендов оно всегда отрицательное). Гамма обычно положительна, поэтому гамма-член отражает прибыль от владения опционом. Уравнение утверждает, что в течение любого бесконечно малого интервала времени потери от теты и выигрыш от гамма-члена должны компенсировать друг друга, чтобы результатом была прибыль по безрисковой ставке.

С точки зрения эмитента опциона, например, инвестиционного банка, гамма-терм — это стоимость хеджирования опциона. (Поскольку гамма является максимальной, когда спотовая цена базового актива близка к цене исполнения опциона, затраты продавца на хеджирование в этом случае будут наибольшими.)

Вывод

Следующий вывод приведен в разделе Халла «Опционы, фьючерсы и другие деривативы» . ^{[ 2 ]}^{: 287–288} Это, в свою очередь, основано на классическом аргументе из оригинальной статьи Блэка–Шоулза.

Согласно приведенным выше предположениям модели, цена базового актива (обычно акции) следует геометрическому броуновскому движению . То есть

{\frac {dS}{S}}=\mu \,dt+\sigma \,dW\,

где W — стохастическая переменная ( броуновское движение ). Обратите внимание, что W и, следовательно, его бесконечно малое приращение dW представляет собой единственный источник неопределенности в истории цен на акции. Интуитивно, W ( t ) — это процесс , который «колеблется вверх и вниз» таким случайным образом, что его ожидаемое изменение за любой интервал времени равно 0. (Кроме того, его дисперсия во времени T равна T ; см. Винеровский процесс § Основные свойства ); Хороший дискретный аналог W — простое случайное блуждание . Таким образом, приведенное выше уравнение утверждает, что бесконечно малая норма прибыли на акции имеет ожидаемое значение μ dt и дисперсию $\sigma ^{2}dt$ .

Выплата по опциону (или любому производному инструменту, зависящему от акций $S$ ) $V(S,T)$ при погашении известно. Чтобы найти его значение в более ранний момент времени, нам нужно знать, как $V$ развивается как функция $S$ и $t$ . По лемме Ито для двух переменных имеем

dV=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,dW

Теперь рассмотрим некий портфель, называемый портфелем дельта-хеджирования , состоящий из короткого одного опциона и длинного опциона. ${\textstyle {\partial V}/{\partial S}}$ акции во время $t$ . Стоимость этих активов составляет

\Pi =-V+{\frac {\partial V}{\partial S}}S

За период времени $[t,t+\Delta t]$ , общая прибыль или убыток от изменений стоимости активов составляет (но см. примечание ниже):

\Delta \Pi =-\Delta V+{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta S

Теперь дискретизируем уравнения для dS / S и dV, заменив дифференциалы дельтами:

\Delta S=\mu S\,\Delta t+\sigma S\,\Delta W\,

\Delta V=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta W

и соответствующим образом подставим их в выражение для $\Delta \Pi$ :

\Delta \Pi =\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t

Обратите внимание, что $\Delta W$ термин исчез. Таким образом, неопределенность устранена, и портфель фактически безрисков. Доходность этого портфеля должна быть равна доходности любого другого безрискового инструмента; в противном случае возникнут возможности для арбитража. Теперь предположим, что безрисковая норма доходности равна $r$ мы должны иметь за период времени $[t,t+\Delta t]$

\Delta \Pi =r\Pi \,\Delta t

Если теперь заменить наши формулы на $\Delta \Pi$ и $\Pi =\int \Delta \Pi$ мы получаем:

\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t=r\left(-V+S{\frac {\partial V}{\partial S}}\right)\Delta t

Упрощая, мы приходим к знаменитому уравнению Блэка-Шоулза в частных производных:

{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0

С учетом допущений модели Блэка – Шоулза это уравнение в частных производных второго порядка справедливо для любого типа опциона, пока его ценовая функция $V$ дважды дифференцируемо по $S$ и один раз по отношению к $t$ . Различные формулы ценообразования для различных опционов будут возникать в результате выбора функции выигрыша при истечении срока действия и соответствующих граничных условий.

Техническое примечание: тонкость, скрытая вышеприведенным подходом дискретизации, заключается в том, что бесконечно малое изменение стоимости портфеля произошло только из-за бесконечно малых изменений стоимости удерживаемых активов, а не изменений в позициях в активах. Другими словами, предполагалось, что портфель будет самофинансируемым . ^{[ нужна ссылка ]}

Альтернативный вывод

Вот альтернативный вывод, который можно использовать в ситуациях, когда изначально неясно, каким должен быть портфель хеджирования. (Для справки см. 6.4 Шриве, том II). ^{[ 3 ]}

В модели Блэка-Шоулза, предполагая, что мы выбрали нейтральную к риску вероятностную меру, предполагается, что базовая цена акций S ( t ) развивается как геометрическое броуновское движение:

{\frac {dS(t)}{S(t)}}=r\ dt+\sigma dW(t)

Поскольку это стохастическое дифференциальное уравнение (SDE) показывает, что эволюция цены акций является марковской , любая производная от этого базового актива является функцией времени t и цены акции в текущий момент, S ( t ). Тогда применение леммы Ито дает СДУ для процесса дисконтированной производной. $e^{-rt}V(t,S(t))$ , который должен быть мартингейлом. Для того чтобы это выполнялось, член дрейфа должен быть равен нулю, что подразумевает УЧП Блэка-Шоулза.

Этот вывод, по сути, представляет собой применение формулы Фейнмана-Каца , и его можно попытаться выполнить всякий раз, когда базовый актив(ы) развивается в соответствии с заданными SDE(ами).

Методы решения

После того, как для производной получено УЧП Блэка-Шоулза с граничными и терминальными условиями, УЧП можно решить численно, используя стандартные методы численного анализа, такие как метод конечных разностей . ^{[ 4 ]} В некоторых случаях можно найти точную формулу, как, например, в случае европейского звонка, который сделали Блэк и Скоулз.

Решение концептуально простое. Поскольку в модели Блэка-Шоулза базовая цена акции $S_{t}$ следует геометрическому броуновскому движению, распределение $S_{T}$ , при условии его цены $S_{t}$ во время $t$ , представляет собой логнормальное распределение. Тогда цена дериватива представляет собой просто дисконтированный ожидаемый выигрыш. $E[e^{-r(T-t)}K(S_{T})|S_{t}]$ , который может быть вычислен аналитически, если функция выигрыша $K$ аналитически разрешима, или, если нет, численно.

Чтобы сделать это для опциона колл, вспомните, что в приведенном выше PDE есть граничные условия. ^{[ 5 ]}

{\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\sim S-Ke^{-r(T-t)}{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}

Последнее условие дает стоимость опциона на момент наступления срока его погашения. Возможны и другие условия, когда S стремится к 0 или бесконечности. Например, общие условия, используемые в других ситуациях, заключаются в том, чтобы выбрать дельту для исчезновения при стремлении S к 0 и гамму для исчезновения при стремлении S к бесконечности; они дадут ту же формулу, что и приведенные выше условия (как правило, разные граничные условия дают разные решения, поэтому следует использовать некоторую финансовую интуицию, чтобы выбрать подходящие условия для конкретной ситуации).

Решение PDE дает стоимость опциона в любой более ранний момент времени: $\mathbb {E} \left[\max\{S-K,0\}\right]$ . Чтобы решить УЧП, мы понимаем, что это уравнение Коши – Эйлера , которое можно преобразовать в уравнение диффузии , введя преобразование замены переменной.

{\begin{aligned}\tau &=T-t\\u&=Ce^{r\tau }\\x&=\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau \end{aligned}}

Тогда УЧП Блэка – Шоулза становится уравнением диффузии

{\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}

Терминальное состояние $C(S,T)=\max\{S-K,0\}$ теперь становится начальным условием

u(x,0)=u_{0}(x):=K(e^{\max\{x,0\}}-1)=K\left(e^{x}-1\right)H(x),

где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда . Функция Хевисайда соответствует обеспечению граничных данных в системе координат S , t, что требует, чтобы при t = T ,

C(S,\,T)=0\quad \forall \;S<K,

предполагая, что оба S , K > 0. При этом предположении это эквивалентно функции max по всем x в действительных числах, за исключением x = 0. Вышеупомянутое равенство между функцией max и функцией Хевисайда находится в том смысле, что распределений, потому что оно не выполняется для x = 0. Хотя это и тонко, но важно, потому что функция Хевисайда не обязательно должна быть конечной при x = 0 или даже определяться, если уж на то пошло. Подробнее о значении функции Хевисайда при x = 0 см. раздел «Нулевой аргумент» в статье Ступенчатая функция Хевисайда .

Используя стандартный метод свертки для решения уравнения диффузии с заданной функцией начального значения u ( x , 0), мы имеем

u(x,\tau )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \tau }}}}\int _{-\infty }^{\infty }{u_{0}(y)\exp {\left[-{\frac {(x-y)^{2}}{2\sigma ^{2}\tau }}\right]}}dy,

что после некоторых манипуляций дает

u(x,\tau )=Ke^{x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }N(d_{+})-KN(d_{-}),

где $N(\cdot )$ - стандартная нормальная кумулятивная функция распределения и

{\begin{aligned}d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right].\end{aligned}}

Это те же решения (с точностью до перевода по времени), которые были получены Фишером Блэком в 1976 году. ^{[ 6 ]}

Возврат $u,x,\tau$ к исходному набору переменных дает указанное выше решение уравнения Блэка – Шоулза.

Теперь можно реализовать асимптотическое условие.

u(x,\,\tau ){\overset {x\rightsquigarrow \infty }{\asymp }}Ke^{x},

что дает просто S при возврате к исходным координатам.

\lim _{x\to \infty }N(x)=1.

Ссылки

^ Оксендал, Бернт (1998). «Цена опциона». Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями (5-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 266–283. ISBN 3-540-63720-6 .
^ Халл, Джон К. (2008). Опционы, фьючерсы и другие деривативы (7-е изд.). Прентис Холл . ISBN 978-0-13-505283-9 .
^ Шрив, Стивен (2004). Стохастическое исчисление в области финансов II (1-е изд.). Спрингер. стр. 268–272. ISBN 0-387-40101-6 .
^ Уилмотт, Пол; Хауисон, Сэм; Дьюинн, Джефф (1995). «Методы конечных разностей» . Математика финансовых производных . Издательство Кембриджского университета. стр. 135–164. ISBN 0-521-49789-2 .
^ Чан, Рэймонд (03 июля 2021 г.), Уравнения Блэка-Шоулза (PDF)
^ См. уравнение (16) в Блэк, Фишер С. (1976). «Ценообразование товарных контрактов». Журнал финансовой экономики . 3 (1–2): 167–179. дои : 10.1016/0304-405X(76)90024-6 .

[1] Оксендал, Бернт (1998). «Цена опциона». Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями (5-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 266–283. ISBN 3-540-63720-6 .

[Hull-2] Халл, Джон К. (2008). Опционы, фьючерсы и другие деривативы (7-е изд.). Прентис Холл . ISBN 978-0-13-505283-9 .

[3] Шрив, Стивен (2004). Стохастическое исчисление в области финансов II (1-е изд.). Спрингер. стр. 268–272. ISBN 0-387-40101-6 .

[4] Уилмотт, Пол; Хауисон, Сэм; Дьюинн, Джефф (1995). «Методы конечных разностей» . Математика финансовых производных . Издательство Кембриджского университета. стр. 135–164. ISBN 0-521-49789-2 .

[5] Чан, Рэймонд (03 июля 2021 г.), Уравнения Блэка-Шоулза (PDF)

[6] См. уравнение (16) в Блэк, Фишер С. (1976). «Ценообразование товарных контрактов». Журнал финансовой экономики . 3 (1–2): 167–179. дои : 10.1016/0304-405X(76)90024-6 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]