Лемма Ито

В математике или лемма Ито формула Ито (также называемая формулой Ито-Дёблина , особенно во французской литературе) — это тождество, используемое в исчислении Ито для нахождения дифференциала зависящей от времени функции случайного процесса . Оно служит стохастическом исчислении в аналогом цепного правила . Его можно получить эвристически, разложив функцию в ряд Тейлора до ее вторых производных и сохранив члены до первого порядка по приращению времени и второго порядка по приращению винеровского процесса . Лемма для стоимости широко используется в математических финансах , и ее наиболее известное применение связано с выводом уравнения Блэка-Шоулза опционов.

Киёси Ито опубликовал доказательство формулы в 1951 году. ^{[ 1 ]}

Мотивация

Предположим, нам дано стохастическое дифференциальное уравнение $dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},$ где $B t$ — винеровский процесс , а функции $\mu _{t},\sigma _{t}$ являются детерминистическими (не стохастическими) функциями времени. В общем, написать решение невозможно $X_{t}$ непосредственно с точки зрения $B_{t}.$ Однако формально мы можем записать интегральное решение $X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.$

Это выражение позволяет нам легко определить среднее значение и дисперсию $X_{t}$ (у которого нет высших моментов). Во-первых, обратите внимание, что каждый $\mathrm {d} B_{t}$ индивидуально имеет среднее значение 0, поэтому ожидаемое значение $X_{t}$ это просто интеграл от функции дрейфа: $\mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.$

Аналогично, поскольку $dB$ термины имеют дисперсию 1 и не коррелируют друг с другом, дисперсия $X_{t}$ это просто интеграл дисперсии каждого бесконечно малого шага случайного блуждания: $\mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.$

Однако иногда мы сталкиваемся со стохастическим дифференциальным уравнением для более сложного процесса $Y_{t},$ в котором процесс появляется в обеих частях дифференциального уравнения. То есть, скажем $dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},$ для некоторых функций $a_{1}$ и $a_{2}.$ В этом случае мы не можем сразу написать формальное решение, как мы это сделали для более простого случая выше. Вместо этого мы надеемся написать процесс $Y_{t}$ как функция более простого процесса $X_{t}$ приняв форму выше. То есть мы хотим определить три функции $f(t,x),\mu _{t},$ и $\sigma _{t},$ такой, что $Y_{t}=f(t,X_{t})$ и $dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.$ На практике для нахождения этого преобразования используется лемма Ито. Наконец, как только мы преобразуем проблему в более простой тип задачи, мы можем определить средний и высший моменты процесса.

Неофициальный вывод

Формальное доказательство леммы основано на пределе последовательности случайных величин. Здесь этот подход не представлен, поскольку он включает в себя ряд технических деталей. Вместо этого мы даем набросок того, как можно вывести лемму Ито, разложив ряд Тейлора и применив правила стохастического исчисления.

Предположим, что $X t$ представляет собой процесс дрейфа-диффузии Ито , который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},

где $B t$ — винеровский процесс .

Если $f (t, x)$ является дважды дифференцируемой скалярной функцией, ее разложение в ряд Тейлора равно

df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,dt^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,dx^{2}+\cdots .

Замена $X t$ на $x$ и, следовательно, $µ t dt + σ t dB t$ на $dx$ дает

df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,dt^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x}}(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,(dt)^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,(dB_{t})^{2}\right)+\cdots .

В пределе $dt \to 0$ слагаемые $dt 2$ и $dt dB t$ стремятся к нулю быстрее, чем $dB 2$ , что является $O (dt)$ . Установка $времени 2$ и $значения dt dB t$ равны нулю, заменяя $dt$ на $dB 2$ (из-за квадратичного изменения винеровского процесса ) и, собрав $члены dt$ и $dB$ , получаем

df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}

по мере необходимости.

Геометрическая интуиция

Предположим, мы знаем, что $X_{t},X_{t+dt}$ являются двумя совместно распределенными по Гауссу случайными величинами, и $f$ нелинейно, но имеет непрерывную вторую производную, то, вообще говоря, ни одно из $f(X_{t}),f(X_{t+dt})$ является гауссовым, и их совместное распределение также не является гауссовским. Однако, поскольку $X_{t+dt}\mid X_{t}$ является гауссовским, мы все еще можем найти $f(X_{t+dt})\mid f(X_{t})$ является гауссовским. Это неправда, когда $dt$ конечно, но когда $dt$ становится бесконечно малым, это становится истиной.

Ключевая идея заключается в том, что $X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+dW_{t}$ имеет детерминированную часть и шумную часть. Когда $f$ нелинейно, шумная часть имеет детерминированный вклад. Если $f$ выпукла, то детерминированный вклад положителен (по неравенству Йенсена ).

Чтобы узнать, насколько велик вклад, запишем $X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z$ , где $z$ является стандартной гауссовой функцией, затем выполните разложение Тейлора. ${\begin{aligned}f(X_{t+dt})&=f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})(\sigma _{t}^{2}z^{2}\,dt+2\mu _{t}\sigma _{t}z\,dt^{3/2}+\mu _{t}^{2}dt^{2})+o(dt)\\&=\left(f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+o(dt)\right)+\left(f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}(z^{2}-1)\,dt+o(dt)\right)\end{aligned}}$ Мы разделили его на две части: детерминированную часть и случайную часть с нулевым средним значением. Случайная часть является негауссовой, но негауссовы части затухают быстрее, чем гауссовская часть, и при $dt\to 0$ предел, остается только гауссова часть. Детерминированная часть имеет ожидаемое $f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt$ , но также часть, обусловленная выпуклостью: ${\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt$ .

Чтобы понять, почему должен быть вклад из-за выпуклости, рассмотрим простейший случай геометрического броуновского блуждания (на фондовом рынке): $S_{t+dt}=S_{t}(1+dB_{t})$ . Другими словами, $d(\ln S_{t})=dB_{t}$ . Позволять $X_{t}=\ln S_{t}$ , затем $S_{t}=e^{X_{t}}$ , и $X_{t}$ является броуновским блужданием. Однако, хотя ожидание $X_{t}$ остается постоянным, ожидание $S_{t}$ растет. Интуитивно это происходит потому, что отрицательная сторона ограничена нулевым значением, а потенциальная выгода не ограничена. То есть, пока $X_{t}$ нормально распределяется, $S_{t}$ имеет логнормальное распределение .

Математическая формулировка леммы Ито.

В следующих подразделах мы обсуждаем варианты леммы Ито для различных типов случайных процессов.

Процессы дрейфа-диффузии Ито (обусловлены: Кунита – Ватанабэ)

В своей простейшей форме лемма Ито утверждает следующее: для процесса дрейфа-диффузии Ито

dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}

и любая дважды дифференцируемая скалярная функция $f (t, x)$ двух действительных переменных $t$ и $x$ имеет

df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.

Это сразу означает, что $f (t, X t)$ сам по себе является процессом дрейфа-диффузии Ито.

В более высоких измерениях, если $\mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}$ – вектор процессов Ито такой, что

d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}

для вектора ${\boldsymbol {\mu }}_{t}$ и матрица $\mathbf {G} _{t}$ , тогда лемма Ито утверждает, что

{\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\[4pt]&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}

где $\nabla _{\mathbf {X} }f$ — градиент f $относительно$ матрица $X$ , $H X f$ — Гессе относительно $f$ , $X$ а $Tr$ — оператор следа .

Пуассоновские скачкообразные процессы

Мы также можем определить функции разрывных случайных процессов.

Пусть $h$ — интенсивность прыжка. Модель процесса Пуассона для скачков заключается в том, что вероятность одного скачка в интервале $[t, t + Δ t]$ равна $h Δ t$ плюс члены более высокого порядка. $h$ может быть константой, детерминированной функцией времени или случайным процессом. Вероятность выживания $p s (t)$ — это вероятность того, что в интервале $[0, t]$ не произошло никакого скачка . Изменение вероятности выживания равно

dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.

Так

p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).

Пусть $S (t)$ — разрывный случайный процесс. Писать $S(t^{-})$ для значения S при приближении к t слева. Писать $d_{j}S(t)$ для небесконечно малого изменения $S (t)$ в результате скачка. Затем

d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))

Пусть z — величина скачка и пусть $\eta (S(t^{-}),z)$ быть распределением z . Ожидаемая величина скачка равна

E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.

Определять $dJ_{S}(t)$ , компенсированный процесс и мартингейл , как

dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-\left(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta \left(S(t^{-}),z\right)\,dz\right)\,dt.

Затем

d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))\left(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz\right)dt+dJ_{S}(t).

Рассмотрим функцию $g(S(t),t)$ скачкового процесса $dS (t)$ . Если $S (t)$ прыгает на $Δs,$ то $g (t)$ на $Δg прыгает$ . $Δg распределения$ получено из $\eta _{g}()$ что может зависеть от $g(t^{-})$ , дг и $S(t^{-})$ . Прыжковая часть $g$ является

g(t)-g(t^{-})=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).

Если $S$ содержит части дрейфа, диффузии и скачка, то лемма Ито для $g(S(t),t)$ является

dg(t)=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}\left(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g\right)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).

Лемма Ито для процесса, который представляет собой сумму процесса дрейфа-диффузии и скачкообразного процесса, представляет собой просто сумму леммы Ито для отдельных частей.

Ненепрерывные семимартингалы

Лемма Ито также может быть применена к общим $d$ -мерным семимартингалам , которые не обязательно должны быть непрерывными. В общем, семимартингал — это процесс кадлага , и в формулу необходимо добавить дополнительный член, чтобы гарантировать, что скачки процесса правильно определяются леммой Ито. Для любого процесса cadlag $Y t$ левый предел в $t$ обозначается $Y t-$ , который является непрерывным слева процессом. Скачки записываются как $Δ Y t = Y t - Y t-$ . Тогда лемма Ито утверждает, что если $X = (X 1, Х 2, ..., Х д)$ — $d$ -мерный семимартингал, а f — дважды непрерывно дифференцируемая вещественная функция на $R д$ тогда f ( X ) — семимартингал, и

{\begin{aligned}f(X_{t})&=f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&\qquad +\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}

Она отличается от формулы для непрерывных семимартингалов дополнительным членом, суммирующим по скачкам X , что гарантирует, что скачок правой части в момент времени $t$ равен Δ f ( X _t ).

Множественные прерывистые переходные процессы

^{[ нужна ссылка ]}Существует также версия этого для дважды непрерывно дифференцируемой в пространстве один раз во времени функции f, оцениваемой в (потенциально различных) прерывистых полумартингалах, которую можно записать следующим образом:

{\begin{aligned}f(t,X_{t}^{1},\ldots ,X_{t}^{d})={}&f(0,X_{0}^{1},\ldots ,X_{0}^{d})+\int _{0}^{t}{\dot {f}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})d{s}\\&{}+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i)}\\&{}+{\frac {1}{2}}\sum _{i_{1},\ldots ,i_{d}=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i_{1},\ldots ,i_{d}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i_{1})}\cdots X_{s}^{(c,i_{d})}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left[f(s,X_{s}^{1},\ldots ,X_{s}^{d})-f({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\right]\end{aligned}}

где $X^{c,i}$ обозначает непрерывную часть i -го семимартингала.

Примеры

Геометрическое броуновское движение

Говорят, что процесс S следует геометрическому броуновскому движению с постоянной волатильностью σ и постоянным дрейфом µ, если он удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению $dS_{t}=\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt$ , для броуновского движения B . Применяя лемму Ито с $f(S_{t})=\log(S_{t})$ дает

{\begin{aligned}df&=f^{\prime }(S_{t})\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S_{t})(dS_{t})^{2}\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}(-S_{t}^{-2})(S_{t}^{2}\sigma ^{2}\,dt)\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\left(\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[4pt]&=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\,dt.\end{aligned}}

Отсюда следует, что

\log(S_{t})=\log(S_{0})+\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t,

возведение в степень дает выражение для S ,

S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t\right).

Срок коррекции $— .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ σ 2 / 2 ⁠$ соответствует разнице между медианой и средним логарифмически нормального распределения или, что эквивалентно для этого распределения, средним геометрическим и средним арифметическим, причем медиана (среднее геометрическое) ниже. Это связано с неравенством AM – GM и соответствует вогнутости логарифма (или выпуклости вверх), поэтому поправочный член соответственно можно интерпретировать как поправку на выпуклость . Это бесконечно малая версия того факта, что годовая доходность меньше средней доходности, причем разница пропорциональна дисперсии. См. геометрические моменты логнормального распределения для дальнейшего обсуждения.

Тот же фактор $⁠ σ 2 / 2 ⁠$ появляется во d ₁ и d ₂ вспомогательных переменных формулы Блэка-Шоулза и может интерпретироваться как следствие леммы Ито.

Экспонента Долеана-Дада

Экспонента Долеана -Дейда (или стохастическая экспонента) непрерывного семимартингала X может быть определена как решение СДУ $dY = Y dX$ с начальным условием $Y 0 = 1$ . Иногда его обозначают $Ɛ(X)$ . Применение леммы Ито с f ( Y ) = log( Y ) дает

{\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}\,dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}\,d[Y]\\[6pt]&=dX-{\tfrac {1}{2}}\,d[X].\end{aligned}}

Возведение в степень дает решение

Y_{t}=\exp \left(X_{t}-X_{0}-{\tfrac {1}{2}}[X]_{t}\right).

Формула Блэка – Шоулза

Лемму Ито можно использовать для вывода уравнения Блэка-Шоулза для опциона . ^{[ 2 ]} Предположим, что цена акции следует геометрическому броуновскому движению , заданному стохастическим дифференциальным уравнением $dS = S (σdB + µ dt)$ . Тогда, если стоимость опциона в момент времени $равна$ f ( t , St ) _t , лемма Ито дает

df(t,S_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left(S_{t}\sigma \right)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.

Термин $⁠ \partial f / \partial S ⁠ dS$ представляет собой изменение стоимости во времени dt торговой стратегии, состоящей из удержания суммы $⁠ \partial f / \partial S ⁠$ акции. Если следовать этой торговой стратегии и предполагается, что любые имеющиеся денежные средства будут расти по безрисковой ставке r , то общая стоимость V этого портфеля удовлетворяет SDE.

dV_{t}=r\left(V_{t}-{\frac {\partial f}{\partial S}}S_{t}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.

Эта стратегия повторяет вариант, если V = f ( t , S ). Объединение этих уравнений дает знаменитое уравнение Блэка – Шоулза.

{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\sigma ^{2}S^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0.

Правило продукта для процессов Itô

Позволять $\mathbf {X} _{t}$ быть двумерным процессом Ито с SDE:

d\mathbf {X} _{t}=d{\begin{pmatrix}X_{t}^{1}\\X_{t}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}dt+{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\,dB_{t}

Тогда мы можем использовать многомерную форму леммы Ито, чтобы найти выражение для $d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})$ .

У нас есть $\mu _{t}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}$ и $\mathbf {G} ={\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}$ .

Мы устанавливаем $f(t,\mathbf {X} _{t})=X_{t}^{1}X_{t}^{2}$ и заметьте, что ${\frac {\partial f}{\partial t}}=0,\ (\nabla _{\mathbf {X} }f)^{T}=(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1})$ и $H_{\mathbf {X} }f={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

Подстановка этих значений в многомерную версию леммы дает нам:

{\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=df(t,\mathbf {X} _{t})\\&=0\cdot dt+(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1})\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}(dX_{t}^{1}\ \ dX_{t}^{2}){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dX_{t}^{1}\\dX_{t}^{2}\end{pmatrix}}\\&=X_{t}^{2}\,dX_{t}^{1}+X_{t}^{1}dX_{t}^{2}+dX_{t}^{1}\,dX_{t}^{2}\end{aligned}}

Это обобщение правила произведения Лейбница на недифференцируемые процессы Ито.

Кроме того, использование второй формы многомерной версии, приведенной выше, дает нам

{\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=\left\{0+(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1}){\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[(\sigma _{t}^{1}\ \ \sigma _{t}^{2}){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\right]\right\}\,dt+(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2})\,dB_{t}\\[5pt]&=\left(X_{t}^{2}\mu _{t}^{1}+X_{t}^{1}\mu _{t}^{2}+\sigma _{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)\,dt+(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2})\,dB_{t}\end{aligned}}

Итак, мы видим, что продукт $X_{t}^{1}X_{t}^{2}$ сам по себе является процессом дрейфа-диффузии Ито .

Формула Ито для функций с конечной квадратичной вариацией

Идея Ганса Фёлльмера заключалась в том, чтобы распространить формулу Ито на функции с конечной квадратичной вариацией. ^{[ 3 ]}

Позволять $f\in C^{2}$ быть действительной функцией и $x:[0,\infty ]\to \mathbb {R}$ функция RCLL с конечной квадратичной вариацией. Затем

{\begin{aligned}f(x_{t})={}&f(x_{0})+\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{]0,t]}f''(x_{s-})\,d[x,x]_{s}\\&+\sum _{0\leq s\leq t}\left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s}-{\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^{2})\right).\end{aligned}}

Бесконечномерные формулы

Существует несколько расширений бесконечномерных пространств (например, Парду, ^{[ 4 ]} Жемчуг-Крылов, ^{[ 5 ]} Бжезняк-ван Неервен-Вераар-Вейс ^{[ 6 ]}).

См. также

Примечания

^ Ито, Киёси (1951). «Об одной формуле, касающейся стохастических дифференциалов» . Нагойская математика. Дж . 3 : 55–65. дои : 10.1017/S0027763000012216 .
^ Маллиарис, АГ (1982). Стохастические методы в экономике и финансах . Нью-Йорк: Северная Голландия. стр. 220–223. ISBN 0-444-86201-3 .
^ Фёлльмер, Ганс (1981). «Ито расчет без вероятностей» . Страсбургский вероятностный семинар . 15 : 143–144.
^ Парду, Этьен (1974). «Стохастические уравнения в частных производных монотонного типа». Семинар Жана Лере (3).
^ Дьёндь, Иштван; Крылов Николай Владим Владимирович (1981). «Формула Ито в банаховых пространствах». В М. Арато; Д. Вермес, Д.; А. В. Балакришнан (ред.). Стохастические дифференциальные системы . Конспекты лекций по управлению и информатике. Том. 36. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. стр. 69–73. дои : 10.1007/BFb0006409 . ISBN 3-540-11038-0 .
^ Бжезняк, Здзислав; ван Неервен, Ян МАМ; Вераар, Марк С.; Вайс, Лутц (2008). «Формула Ито в банаховых пространствах UMD и регулярность решений уравнения Закаи». Журнал дифференциальных уравнений . 245 (1): 30–58. arXiv : 0804.0302 . дои : 10.1016/j.jde.2008.03.026 .

Ссылки

Кийоси Ито (1944). Стохастический интеграл. Учеб. Императорский акад. Токио 20 , 519–524. Это статья с формулой Ито; Онлайн
Кийоси Ито (1951). О стохастических дифференциальных уравнениях. Мемуары, Американское математическое общество 4 , 1–51. Онлайн
Бернт Оксендал (2000). Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в приложения , 5-е издание, исправленное 2-е издание. Спрингер. ISBN 3-540-63720-6 . Разделы 4.1 и 4.2.
Филип Э. Проттер (2005). Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения , 2-е издание. Спрингер. ISBN 3-662-10061-4 . Раздел 2.7.

Внешние ссылки

Вывод , профессор Тайер Уоткинс
Неофициальное доказательство , optiontutor

[1] Ито, Киёси (1951). «Об одной формуле, касающейся стохастических дифференциалов» . Нагойская математика. Дж . 3 : 55–65. дои : 10.1017/S0027763000012216 .

[2] Маллиарис, АГ (1982). Стохастические методы в экономике и финансах . Нью-Йорк: Северная Голландия. стр. 220–223. ISBN 0-444-86201-3 .

[3] Фёлльмер, Ганс (1981). «Ито расчет без вероятностей» . Страсбургский вероятностный семинар . 15 : 143–144.

[4] Парду, Этьен (1974). «Стохастические уравнения в частных производных монотонного типа». Семинар Жана Лере (3).

[5] Дьёндь, Иштван; Крылов Николай Владим Владимирович (1981). «Формула Ито в банаховых пространствах». В М. Арато; Д. Вермес, Д.; А. В. Балакришнан (ред.). Стохастические дифференциальные системы . Конспекты лекций по управлению и информатике. Том. 36. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. стр. 69–73. дои : 10.1007/BFb0006409 . ISBN 3-540-11038-0 .

[6] Бжезняк, Здзислав; ван Неервен, Ян МАМ; Вераар, Марк С.; Вайс, Лутц (2008). «Формула Ито в банаховых пространствах UMD и регулярность решений уравнения Закаи». Журнал дифференциальных уравнений . 245 (1): 30–58. arXiv : 0804.0302 . дои : 10.1016/j.jde.2008.03.026 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]