Экспонента Долеана-Дада

В стохастическом исчислении экспонента Долеана -Дейда или стохастическая экспонента семимартингала . X является уникальным сильным решением стохастического дифференциального уравнения $dY_{t}=Y_{t-}\,dX_{t},\quad \quad Y_{0}=1,$ где $Y_{-}$ обозначает процесс левых пределов, т.е. $Y_{t-}=\lim _{s\uparrow t}Y_{s}$ .

Концепция названа в честь Катрин Долеанс-Дейд . ^{[ 1 ]} Стохастическая экспонента играет важную роль в формулировке теоремы Гирсанова и естественным образом возникает во всех приложениях, где важны относительные изменения, поскольку $X$ измеряет совокупное процентное изменение $Y$ .

Обозначения и терминология

Процесс $Y$ полученное выше, обычно обозначается ${\mathcal {E}}(X)$ . Терминология «стохастическая экспонента» возникает из-за сходства ${\mathcal {E}}(X)=Y$ к естественной экспоненте $X$ : Если X по абсолютно непрерывен времени, то Y решает по каждому пути дифференциальное уравнение $dY_{t}/\mathrm {d} t=Y_{t}dX_{t}/dt$ , решение которого $Y=\exp(X-X_{0})$ .

Общая формула и частные случаи

Без каких-либо предположений о семимартингале $X$ , у одного есть ${\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp {\Bigl (}X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}^{c}{\Bigr )}\prod _{s\leq t}(1+\Delta X_{s})\exp(-\Delta X_{s}),\qquad t\geq 0,$ где $[X]^{c}$ является непрерывной частью квадратичной вариации $X$ и произведение распространяется на (счетное число) скачков X до момента времени t .
Если $X$ является непрерывным, то ${\mathcal {E}}(X)=\exp {\Bigl (}X-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]{\Bigr )}.$ В частности, если $X$ является броуновским движением , то экспонента Долеана-Дейда является геометрическим броуновским движением .
Если $X$ непрерывно и имеет конечную вариацию, то ${\mathcal {E}}(X)=\exp(X-X_{0}).$ Здесь $X$ не обязательно должны быть дифференцируемыми по времени; например, $X$ может быть функцией Кантора .

Характеристики

Стохастическая экспонента не может постоянно стремиться к нулю, она может только прыгать до нуля. Следовательно, стохастическая экспонента непрерывного семимартингала всегда строго положительна.
Один раз ${\mathcal {E}}(X)$ подскочил до нуля, он поглощен нулем. Первый раз, когда он достигает нуля, это именно первый раз, когда $\Delta X=-1$ .
В отличие от естественной экспоненты $\exp(X_{t})$ , который зависит только от значения $X$ во время $t$ , стохастическая экспонента ${\mathcal {E}}(X)_{t}$ зависит не только от $X_{t}$ но за всю историю $X$ в интервале времени $[0,t]$ . По этой причине необходимо написать ${\mathcal {E}}(X)_{t}$ и не ${\mathcal {E}}(X_{t})$ .
Естественную экспоненту семимартингала всегда можно записать как стохастическую экспоненту другого семимартингала, но не наоборот.
Стохастическая экспонента локального мартингейла снова является локальным мартингейлом.
Все приведенные выше формулы и свойства применимы также к стохастической экспоненте комплексного значения . $X$ . Это находит применение в теории конформных мартингалов и при вычислении характеристических функций.

Полезные айдентики

Формула Йора: ^{[ 2 ]} для любых двух семимартингалов $U$ и $V$ у одного есть ${\mathcal {E}}(U){\mathcal {E}}(V)={\mathcal {E}}(U+V+[U,V])$

Приложения

Стохастическая экспонента локального мартингала появляется в формулировке теоремы Гирсанова . Критерии, гарантирующие, что стохастическая экспонента ${\mathcal {E}}(X)$ непрерывного локального мартингала $X$ является мартингалом, задаются условием Казамаки , условием Новикова и условием Бенеша .

Вывод явной формулы для непрерывных семимартингалов

Для любого непрерывного семимартингала X примите как должное, что $Y$ непрерывен и строго положителен. Тогда применение формулы Ито с ƒ ( Y ) = log( Y ) дает

{\begin{aligned}\log(Y_{t})-\log(Y_{0})&=\int _{0}^{t}{\frac {1}{Y_{u}}}\,dY_{u}-\int _{0}^{t}{\frac {1}{2Y_{u}^{2}}}\,d[Y]_{u}=X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}.\end{aligned}}

Возведение в степень с $Y_{0}=1$ дает решение

Y_{t}=\exp {\Bigl (}X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}{\Bigr )},\qquad t\geq 0.

Это отличается от того, что можно было бы ожидать по сравнению со случаем, когда X имеет конечную вариацию из-за существования члена квадратичной вариации [ X ] в решении.

См. также

Стохастический логарифм

Ссылки

^ Долеанс-Дейд, К. (1970). «Некоторые применения формулы изменения переменных для семимартингалов» . Журнал теории вероятностей и смежных областей ( на французском языке). 16 (3): 181–194. дои : 10.1007/BF00534595 . ISSN 0044-3719 . S2CID 118181229 .
^ Йор, Марк (1976), «О необязательных стохастических интегралах и замечательной последовательности экспоненциальных формул» , X семинар по вероятностям, Страсбургский университет , Конспекты лекций по математике, том. 511, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 481–500, номер домена : 10.1007/bfb0101123 , ISBN. 978-3-540-07681-0 , S2CID 118228097 , получено 14 декабря 2021 г.

Жакод, Дж.; Ширяев А.Н. (2003), Предельные теоремы для случайных процессов (2-е изд.), Springer, стр. 58–61, ISBN 3-540-43932-3
Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00313-4

[1] Долеанс-Дейд, К. (1970). «Некоторые применения формулы изменения переменных для семимартингалов» . Журнал теории вероятностей и смежных областей ( на французском языке). 16 (3): 181–194. дои : 10.1007/BF00534595 . ISSN 0044-3719 . S2CID 118181229 .

[2] Йор, Марк (1976), «О необязательных стохастических интегралах и замечательной последовательности экспоненциальных формул» , X семинар по вероятностям, Страсбургский университет , Конспекты лекций по математике, том. 511, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 481–500, номер домена : 10.1007/bfb0101123 , ISBN. 978-3-540-07681-0 , S2CID 118228097 , получено 14 декабря 2021 г.

[ 1 ]

[ 2 ]